《5.3分式方程》自主达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式方程核心知识，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|分式方程概念、解法|单选1-5考查概念辨析，解答17直接解方程，夯实运算能力| |能力提升|含参数方程、解的讨论|单选4结合增根，填空13分析解的正负，培养推理意识| |综合应用|实际问题、规律探究|解答21-23以工程、行程为情境建模型，解答20通过特例归纳规律，发展应用意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.3分式方程》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 3．若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 5．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．4 B．7 C．6 D．5 7．某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 8．某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶 C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶 二、填空题（满分24分） 9．若代数式的值是，则___________． 10．当________时，分式与分式互为相反数． 11．关于的方程的解为，则________． 12．若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 13．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 14．若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________． 15．新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6元，第2次花费54.56元．已知两次收费标准相差0.16元，则李明的新能源汽车电池容量为____________． 16．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 三、解答题（满分72分） 17．（12分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）若关于x的分式方程的解比方程的解大5，求m的值． 19．（10分）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 20．（12分）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ；...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 21．（8分）为缓解城市交通压力，某市启动地铁工程．在一号线地铁工程开工期间，某工程队负责修建一条长的隧道．工程队计划采用新的施工方式，工效可以提升，预计提前40天完成任务．这个工程队原计划每天修建隧道多少米？ 22．（10分）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 23．（12分）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 参考答案 1．D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 2．A 【分析】先确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要漏乘． 【详解】解：将原方程的右侧分母变形得， 方程两边同时乘以最简公分母，得． 3．A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，将代入原方程可得到关于的一元一次方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵原分式方程的解为，且时原方程各分母均不为， ∴将代入原方程得： 即 两边同乘去分母得： 去括号得： 移项并合并同类项得： ∴， 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，解题的关键是掌握分式方程有解的情况． 先将分式方程化为整式方程，再结合分式方程有解的条件：整式方程有解且解不为原方程的增根，确定m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴方程两边同乘（且），得， 整理得：， ∵分式方程有解， ∴， 由得， 由得， 由得，即，恒成立， ∴且， 故选：D． 5．B 【分析】根据摸到红球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可. 【详解】解：设红球有个，则袋子中总球数为个， ∵ 搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴ 根据概率公式可得 ， 交叉相乘得 ， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得 ，经检验符合题意； ∴ 红球的个数为4. 6．A 【分析】先解不等式组，根据至少有4个整数解确定整数a的范围，再解分式方程，结合分式方程有整数解且无增根，筛选出符合条件的a，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∵不等式组至少有4个整数解，整数解为， ∴ ，即，且a为整数， 解分式方程，两边同乘得： ，整理得， 当时，，且（时分母为0，是增根）． ∵分式方程有整数解，a为整数， ∴是2的整数约数，即， 解得， 结合，排除，剩余， 当时，，是增根，舍去， ∴只有符合条件，符合条件的所有整数a的和为． 7．C 【分析】先根据设出的未知数表示出星际穿越票的单价，再分别求出两种票可购买的数量，最后根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设火星漫步票的单价为元，则星际穿越票单价为元， ∵总费用为元， ∴可购买火星漫步票数量为张，可购买星际穿越票数量为张， ∵购买的星际穿越票比火星漫步票少张， ∴． 8．A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为，则提速后速度为，根据时间等于路程除以速度，结合方程两边的式子可得答案． 【详解】解：设提速前平均速度为，则提速后速度为， 方程左边表示提速前行驶所用的时间，方程右边表示提速后行驶所用的时间， ∵方程表示两者时间相同 ∴说明相同时间内，提速后比提速前多行驶 ∴补充条件为选项A， 故选：A． 9． 【分析】根据题意列出分式方程求解的值，再检验即可．注意分式有意义的条件，分母不能为． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 检验当时，， 因此是原分式方程的解． 10．8 【分析】本题考查解分式方程，根据互为相反数的两个数和为列出方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：由题意，分式与互为相反数，故它们的和为零， 即， 由于，所以， 代入方程得， 即， 解得， 经检验，当时，分母，符合题意． 11． 【分析】将代入分式方程，求出的值即可． 【详解】∵关于的方程的解为， ∴将代入方程，得， 即， 解得：． 12．10 【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的整数，然后求和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简得 ， ∴． 依题意，为正整数且， ∴为正整数且不等于2． 设，则，其中为正整数且．又因为， ∴， 解得， 即（为正整数）． 因此． 对应值：当 ，； 当，； 当，． ∴所有整数的和为 ． 故答案为 10． 13．/ 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再根据解为负数，结合分式方程分母不为零的限制条件，确定的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为 方程两边同乘最简公分母去分母得 整理得 ∵方程的解为负数 ∴，即 解得 又∵分式方程分母不能为， ∴，即，解得 ，则自然成立 故答案为 14．4 【分析】本题主要考查分式方程的解和求代数式的值，将代入方程，化简分式后得到，再代入代数式，即，计算得值． 【详解】解：∵是方程的解， 原方程化为 ， 即 ． 整理得 ． ∴， 故答案为：4． 15．31 【分析】根据两次充电花费的差额和收费标准的差，利用电池容量不变列方程求解. 【详解】解：设电池容量为 ，第一次收费标准为 元，第二次为 元，由题意可得： 解得： 经检验，是原方程的解. 答：李明的新能源汽车电池容量为. 故答案为. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意，列出分式方程并求解. 16．60 【分析】设第一批鲜花礼盒每盒的进价为元，则第二批每盒进价为元，根据第二批购进盒数是第一批的倍，列分式方程求解检验即可. 【详解】解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元. 第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒. ∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍， ∴， 交叉相乘化简得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元. 17．(1) (2)原方程无解 【分析】根据“去分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验”的步骤求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18． 【分析】本题考查了分式方程的解法及根据方程解的关系求参数，解题的关键是先求出已知分式方程的解，再根据“解大5”的条件得到目标分式方程的解，最后将此解代入目标方程求解参数． 先解分式方程，得到其解；再根据题意计算出目标分式方程的解；然后将目标分式方程化为整式方程，把求得的解代入整式方程，求解的值即可． 【详解】解：先解方程， 方程两边同乘，得，，． 经检验，是原方程的解． 由题意，得分式方程的解为． 方程两边同乘，得，，． 把代入，得，，，． 经检验，符合题意． 故的值为． 19．(1) (2)的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键； （1）将代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，， 即， 两边同乘得，， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或． 20．①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 21．10米 【分析】设这个工程队原计划每天修建隧道米，依题意列出分式方程，求出x的值，再检验是否符合题意即可． 【详解】解：设这个工程队原计划每天修建隧道米，由题意得 解得： 经检验是原方程的解且符合实际意义． 答：这个工程队原计划每天修建隧道10米． 22．“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 23．(1)甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 (2)的值为 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $