三角形解的个数问题课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

三角形 解的个数 1 当已知三边、两角及一边或两边及其夹角时，三角形是唯一确定的. 但在已知三角形的两边及其中一边的对角的条件下解三角形时，解的个 数就会出现不同的情况——有可能一解，有可能两解，还有可能无解. 2 (多选)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 A.a＝1，b＝，B＝45° B.a＝，b＝，A＝30° C.a＝6，b＝20，A＝30° D.a＝5，B＝60°，C＝45° 对于A，由正弦定理得sin A＝＝＝.因为b＞a，所以B＞A， 即0°＜A＜45°，所以A＝30°，则三角形有唯一解，故A正确； 对于B，由正弦定理得sin B＝＝＝.因为b＞a，所以B＞A， 即30°＜B＜150°，所以B＝60°或B＝120°，则三角形有两解，故B错误； (多选)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 A.a＝1，b＝，B＝45° B.a＝，b＝，A＝30° C.a＝6，b＝20，A＝30° D.a＝5，B＝60°，C＝45° 对于C，由正弦定理得sin B＝＝＝，无解，故C错误； 对于D，当三角形的两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，故D正确. 故选AD. (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝m，b＝4，A＝，若该三角形有两解，则实数m的取值范围为__________. (2，4) 要使三角形有两解，只需bsin A＜a＜b，即4sin ＜m＜4， 解得2＜m＜4，故实数m的取值范围为(2，4). 示例 在中，内角,,的对边分别为,,,已知 ，，， 则 的解的个数为( ) A A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 （方法一）由得，所以 的解的个数为0. （方法二）由余弦定理得， 判别式，此方程无解，所以 的解的个数为0. （方法三）作出角，在的一边上确定顶点，使， 以顶点为圆心，以为半径画圆，如图所示， 该圆与 没有交点，说明该三角形的解的个数为0. 6 解决问题的方法 （1）方法一：在已知<m></m>中的边<m></m>，<m></m>和角<m></m>，且已知<m></m>，<m></m>的大小关系时， 可以利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下： 首先利用“大边对大角”，判断出角<m></m>与角<m></m>的大小关系， 然后利用正弦定理求出<m></m>的值，最后根据正弦函数的有界性求解. （2）方法二：余弦定理法——可避免讨论，尤其适用于求边长的问题 当已知<m></m>中的边<m></m>，<m></m>和角<m></m>时，我们可对角<m></m>应用余弦定理，并将其整理为 关于<m></m>的一元二次方程<</m>， 若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解； 若该方程有两个相等的正数解或是一个非正解、一个正解，则该三角形有一解； 若该方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解. 7 （3）方法三：作图法——直观判断 已知中，若为已知角，我们可以先画出角，确定顶点， 再在 的一边上确定顶点，使边长为已知长度，最后以顶点为圆心， 的长为半径画圆，看该圆与 的另一边是否有交点， 若没有交点，则说明该三角形的解的个数为0； 若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1； 若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2. 8 作图法原理 设已知<m></m>的两边<m></m>，<m></m>和角<m></m>，作图步骤如下： ①先作出已知角<m></m>，把未知边<m></m>画为水平的，角<m></m>的另一条边为已知边<m></m>； ②以<m></m>为圆心，边<m></m>的长为半径作圆<m></m>； ③观察圆<m></m>与边<m></m>交点的个数，便可得此三角形解的个数. 显然，当<m></m>为锐角时， 有如图所示的四种情况： 当 为钝角或直角时， 有如图所示的四种情况： ＞ 一解 ＞ 一解 ≤ 无解 ≤ 无解 9 根据上面的分析可知，由于， 长度关系的不同，导致了解三角形问题中三角形有不同个数的解. 当为锐角时，只有当不小于时才有解，随着增大得到的解的个数也是不相同的. 当 为直角或钝角时，只有当大于 时才有解. 为锐角 为钝角或直角 图形 _______________ ______________ 关系式 解的情况 一解 两解 一解 一解 10 在中，内角,,所对的边分别为,, ，则下列判断正确的是( ) D A. ，，，有两解 B. ，， ，有一解 C. ，，，有一解 D. ，， ，无解 解析 选项A,因为,所以, 只有一解,故A错误； 选项B,因为,所以 有两解,故B错误； 选项C,因为,所以 有两解,故C错误； 选项D,因为,所以 无解,故D正确. 故选D. 11 判断三角形解的个数的两种方法 （1）正弦定理法（也称代数法或三角形中大边对大角法）: 不妨设已知的两边,和角 ,根据正弦定理,可得. 12 判断三角形解的个数的两种方法 （2）公式法：不妨设已知的两边,和角 ,三角形解的个数的判断公式如下表. 一解 两解 一解 无解 一解 无解 13 在中，内角，，的对边分别为，，，其中 ，， 若这个三角形有两组解，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 解析 若这个三角形有两组解,则,因为,, 所以 .故选D. 14 课 堂 总 结 The End $