解三角形微专题02 三角形的形状及解的个数的判断 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二微专题——02 三角形的形状及解的个数的判断 一、题型梳理 题型1：利用正弦定理判断三角形的解的个数 题型2：从“角”的角度判断三角形的形状 题型3：从“边”的角度判断三角形的形状 二、知识梳理 1、利用正弦定理判断三角形的形状 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 2、利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 3、三角形解的个数的判断： （1）已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无 解的情况，三角形不能被唯一确定. ①从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况， 下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： 若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； 若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； 若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大 角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. ②从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 三、典例讲解 题型1：利用正弦定理判断三角形的解的个数 例1、在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 例3．在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 例4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 题型2：从“角”的角度判断三角形的形状 例5、设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 例6、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 例7、在中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例8．设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 例9．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 例10．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 题型3：从“边”的角度判断三角形的形状 例11、在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例12、已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 例13．在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例14．将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的 例15．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．C为直角的直角三角形 B．C为钝角的钝角三角形 C．B为直角的直角三角形 D．A为锐角的三角形 例16．在△ABC中，若，则△ABC的形状可能为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 【跟踪训练】 专题02 三角形的形状及解的个数的判断 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 3、在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 5．在中，，，，则三角形的解的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 7．已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．，，A＝60°，无解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 10．在三角形ABC中，下列命题正确的有（    ） A．若，，，则三角形ABC有两解 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则的形状是等腰或直角三角形 11．在中，分别为，，的对边，下列叙述正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则不等式恒成立 B．，则 C．若，则为钝角三角形 D．若,，则三角形的形状唯一确定 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的三条边，，满足，则的形状是 三角形（填“锐角”，“钝角”或“直角”）. 13．在中，，，，则的解的个数是 个. 14．在中，已知，则的形状为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 16．在△ABC中，已知c= ，A=45°，试判断当a分别取10，5，时，角C的解的个数． 17．的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 18．已知在中，角、、所对应的边分别为、、，且. (1)求角； (2)若，，根据的取值范围讨论解的个数. 19．已知分别为三个内角的对边，且，. (1)求； (2)若，试讨论当取不同值时，解的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二微专题——02 三角形的形状及解的个数的判断 一、题型梳理 题型1：利用正弦定理判断三角形的解的个数 题型2：从“角”的角度判断三角形的形状 题型3：从“边”的角度判断三角形的形状 二、知识梳理 1、利用正弦定理判断三角形的形状 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 2、利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 3、三角形解的个数的判断： （1）已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无 解的情况，三角形不能被唯一确定. ①从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况， 下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： 若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； 若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； 若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大 角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. ②从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 三、典例讲解 题型1：利用正弦定理判断三角形的解的个数 例1、在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数. 【详解】 因为，所以符合条件的三角形个数是2个.故选：C. 例2．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又，所以，或，所以解的个数为2．故选：C． 例3．在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【详解】由题，所以，又，所以， 所以且由正弦定理，所以由得或，故三角形解的个数为2.故选：C. 例4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由正弦定理，可得，三角形无解，故A正确；对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在，故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时，三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解，故D错误；故选：A 题型2：从“角”的角度判断三角形的形状 例5、设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理整理等式，解得角，可得答案. 【详解】由，根据正弦定理可得， 则，由，则，可得，由，解得.故选：D. 例6、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】先利用余弦定理求出，继而利用余弦定理求出，即可判断出三角形形状. 【详解】由余弦定理可知，．因为，所以，得，即， 则，则，从而△ABC是钝角三角形．故选：C 例7、在中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为，由正弦定理得，即， 因为，所以，所以或，所以或， 所以的形状一定是等腰或直角三角形.故选：B. 例8．设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理可得或；或，利用三角形的性质验证得，可得结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 因为，为三角形的内角，所以或，即或，同理可得或； 当时，不可能成立（三内角和不等于），当时，也不可能成立， 所以只有，即为等边三角形．故选：B 例9．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，，∴由正弦定理，得． 又，，．，即，即， 因为，或，即或，为等腰三角形或直角三角形．故选：D 例10．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出，由两角差的余弦公式和辅助角公式求出，从而可判断的形状. 【详解】，，即，由正弦定理及余弦定理得，，∵，∴，又，，整理得，因为，，所以，所以，为等腰三角形．故选：C． 题型3：从“边”的角度判断三角形的形状 例11、在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知，所以， 整理得，即的形状是直角三角形.故选：B. 例12、已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果. 【详解】设，由余弦定理，得，整理得，所以，所以为等腰三角形． 故选：D 例13．在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化简题设条件即可得解. 【详解】因为，所以由余弦定理，整理化简得.所以即，或即，所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形.故选：D 例14．将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定的 【答案】A 【分析】不妨设为斜边，则，各边增加1之后，为三边中最长的边，所对角为新三角形的最大角，设新三角形最大角为，计算，分析正负，即得解. 【详解】由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故，各边增加1，可得三边长为：， 此时为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，不妨设新三角形最大角为， 故，由于，，为三角形的三条边，故， ，又为锐角，因为新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形.故选：A 例15．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．C为直角的直角三角形 B．C为钝角的钝角三角形 C．B为直角的直角三角形 D．A为锐角的三角形 【答案】C 【分析】由余弦定理将转化为，化简得到，结合勾股定理知△ABC为直角三角形. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴， ∴，∴B为直角.故选：C. 例16．在△ABC中，若，则△ABC的形状可能为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可. 【详解】由已知及余弦定理得：，整理得，解得或，当时，是等腰三角形，当时，是直角三角形， 当且时，是等腰直角三角形.故选：ABC. 【跟踪训练】 专题02 三角形的形状及解的个数的判断 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得，整理可得，因此，为等腰三角形.故选：A. 2．在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断. 【详解】由正弦定理得，则,故不存在，即满足条件的三角形不存在．故选：C 3、在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据三角形三边的大小关系，可以判定角为最大角，结合余弦定理，求得，即得所求. 【详解】在中，因为，，，则，所以，由余弦定理可知：，所以角为钝角，则是钝角三角形.故选：C. 4．已知中，， ， ，则的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到的值，因为为三角形中的角，即，利用正弦函数的性质得到满足条件的个数即可. 【详解】因为，根据正弦定理得，代入得到，由大边对大角可知，，所以或.故选：C. 5．在中，，，，则三角形的解的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出，即可求出，即可判断. 【详解】∵在中，，，，由正弦定理，即，解得， 又，所以，所以，∴三角形的解的个数是，故选：B 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【答案】D 【分析】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【详解】由，由余弦定理得，化简得，当时，即，则为直角三角形；当时，得，则为等腰三角形；综上：为等腰或直角三角形，故D正确．故选：D． 7．已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ，，或，当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得，由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形，综上所述：该三角形是等腰或直角三角形.故选：D 8．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾，从而只能，所以，所以或，所以或,所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．，，A＝60°，无解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 【答案】BC 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断即可判断出正误. 【详解】选项A，由正弦定理，得，又，故，则三角形有一解，故选项A错误；选项B，因为，所以，则三角形有一解，故选项B正确；选项C，因为，所以，则三角形无解，故选项C正确； 选项D，因为，所以，则三角形无解，故选项D错误.故选：BC 10．在三角形ABC中，下列命题正确的有（    ） A．若，，，则三角形ABC有两解 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则的形状是等腰或直角三角形 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理，对A进行判断，得到A，B都是锐角，再利用同角三角函数的基本关系，及两角和与差的三角函数公式得，对B进行判断，利用余弦函数的性质对C进行判断，利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式，对D进行判断，从而得出结论. 【详解】对于A，因为，，，所以由正弦定理得, 所以角只有一个解，A选项错误； 对于B，由，即，所以，即， 所以，所以，故一定是钝角三角形，B选项正确； 对于C，因为所以，所以，C选项正确；对于D，因为，由正弦定理可得， 所以因为，，所以，解得或，即或，所以的形状是等腰或直角三角形，D选项正确.故选：BCD. 11．在中，分别为，，的对边，下列叙述正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则不等式恒成立 B．，则 C．若，则为钝角三角形 D．若,，则三角形的形状唯一确定 【答案】ABC 【分析】由是锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性，可判定A正确；由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，可判定B正确；由两角和的正切公式得到，得到，可判定C正确；化简得到，求得或，可判定D不正确. 【详解】对于A中，若是锐角三角形，可得，所以，且，可得，所以，即不等式恒成立，所以A正确； 对于B中，因为，由正弦定理得， 又由，所以，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以，所以B正确；对于C中，在中，可得，所以，因为，可得，所以必有一个小于，不妨设，可得，所以为钝角三角形，所以C正确；对于D中，由且， 可得，解得或， 因为，可得或，所以的形状不唯一，所以D不正确.故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的三条边，，满足，则的形状是 三角形（填“锐角”，“钝角”或“直角”）. 【答案】钝角 【分析】根据题目比例关系不妨取，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，不妨设，解得，可知角C为最大角，且，又因为，可得角C为钝角，所以的形状是钝角三角形.故答案为：钝角. 13．在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，，，由则，如图： 所以此时有两解.故答案为: 2. 14．在中，已知，则的形状为 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即，而，因此或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)一解；(2)两解；(3)无解 【分析】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可. 【详解】（1）由正弦定理，∴， ∵，∴，∴只有一解，三角形解的个数为一解. （2）由正弦定理，∴，∴， ∵，，∴，∴有两解，三角形解的个数为两解. （3）∵，∴，∴，∴无解，三角形无解. 16．在△ABC中，已知c= ，A=45°，试判断当a分别取10，5，时，角C的解的个数． 【答案】答案见解析 【分析】根据给定的每一个a值，利用正弦定理解“已知两边及一边的对角解三角形”的方法逐一计算判断作答. 【详解】(1)当a=10时，因c=，A=45°，有a>c，则角C比角A小，角C是锐角，所以角C有一解； (2)当a=5时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则，所以角C有一解； (3)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，而，则或，所以角C有两解； (4)当时，因c=，A=45°，有c>a，则，无解，所以角C无解. 17．的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【答案】(1)；(2)是等腰直角三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【详解】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得，即， 可得，因为，所以，则， 那么，因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得，即，又因为，所以； （2）已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则，   由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 18．已知在中，角、、所对应的边分别为、、，且. (1)求角； (2)若，，根据的取值范围讨论解的个数. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理进行求解即可； （2）根据边上的高的大小分类讨论进行求解即可. 【详解】（1），得， ∵∴，由正弦定理可得： ，因为，所以，所以化简得，则，因为，所以，所以； （2）在三角形中，作边上的高，则，如下图所示： 当或，即或时，三角形有一解； 当且即时，三角形有两解； 当时，三角形有无解． 19．已知分别为三个内角的对边，且，. (1)求； (2)若，试讨论当取不同值时，解的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合的值将边化角后，利用两角和的正弦公式化简并计算即可得解； （2）由余弦定理可得与有关一元二次方程，结合根的判别式与根与系数的关系讨论该一元二次方程的正根的个数即可得解. 【详解】（1）由，，则， 即有， 由，故，故有，即，则； （2）由余弦定理，结合、与， 可得与有关一元二次方程，， 则当，即时，该方程无解，即此时解的个数为； 当，即时，有，此时有，即此时解的个数为； 当，即时，设该方程有两个根、，则，， 则当，即时，，则、，故此时解的个数为； 当，即，则，则、中有且仅有一个为正，故此时解的个数为； 综上所述，当时，解的个数为；当或时，解的个数为； 当时，解的个数为. 学科网（北京）股份有限公司 $