几何体的截面问题课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

几何体截面问题 权 奎 人教A版必修第二册138页例3 人教B版必修第四册130页第20题 课本溯源 苏教版必修第二册184页第13题 沪教版必修第三册25页例3 课本溯源 人教A版必修第二册145页第15题 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上， 再将容器倾斜。随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形; （3）水面EFGH所在四边形的面积为定值;（4）棱A1D1始终与水面所在平面平行; （5）当容器倾斜如图(3)所示时，BE-BF是定值.其中所有正确命题的序号是 ，为什么? 课本溯源 人教B版必修第四册95页例2 人教B版必修第四册96页第5题 课本溯源 人教B版必修第四册131页第3题 苏教版必修第二册155页例2 课本溯源 苏教版必修第二册157页第6题 北师大版必修第二册255页第10题 课本溯源 苏教版必修第二册184页第17题 课本溯源 课本溯源 沪教版必修第三册50页 探究与实践 课本溯源 沪教版必修第三册50页 探究与实践 探究与实践 正方体截面问题 寻觅截面 问题1 你能给出截面的准确含义吗？观察以下图片：这些图形中的阴影部分能作为相应几何体的截面吗？什么样的图形才能作为几何体的截面？ 用一个平面去截一个几何体得到的平面图形，叫做截面. 说明 截面的边界线一定是原几何体与平面的交线，即截面边界线（直线或曲线）必须在几何体的表面. 均不是 12 探究截面 空间几何体 面面平行的性质定理 基本事实1 基本事实3 基本事实2 点 直线 平面 引导语 “把空间问题转化为平面问题”是研究空间问题的一种重要方法.用一个平面去截空间几何体，形成截面图形，也是将空间问题“平面化”的一种重要方法. 探索规律的不变性 探究如何全面、准确地认识一个空间几何体—正方体 13 确定研究问题 问题2 用一个平面截正方体，对于截面你能提出哪些研究问题？ 研究主题 用模具及图形计算器研究正方体截面的形状. 研究对象 正方体截面. 研究工具 模具、图形计算器. 研究截面的形状， 截面的面积、周长等等. 14 确定研究思路 追问 用一个平面去截一个正方体，所得到的截面可能是什么形状？ 截面按照边的数量可分为三角形、四边形、五边形、六边形. 传统实验 信息技术 不透明 不可循环 探究1:三角形截面探究 探究2:四边形截面探究 探究3:多边形截面探究 探究4:截面图形其他分类 15 探究1 三角形截面探究 问题3 在三角形的截面中，具体有哪些类型？ 如何判断？ 若用一个平面截正方体，截面只与正方体两两相交的三个表面相交，此时截面与正方体表面恰好有三条交线，此为截面多边形中边数最少的图形. 按边分 16 探究1 三角形截面探究 证明：假设三角形截面顶点所在的棱相交于点. 设,的长度分别为 由勾股定理，可知 容易得到 结合余弦定理，可以证明的三个内角均小 形 数 锐角三角形 截面 三角形 按角分 不可能出现 直角或钝角三角形 17 探究1 三角形截面探究 也可用反证法证明不会有直角三角形. 证明：如图所示，不妨假设 因为平面, 所以. 所以平面. 因为平面, 所以. 与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立. 18 探究1 三角形截面探究 追问 怎样截能截出最大截面的三角形？请说明理由. 证明：三棱锥为三个面是直角三角形的三棱锥，记 正方体棱长为 可得 而 ，. 所以，当且仅当分别重合时， 即三角形为正三角形时面积最大.设正方体棱长为1，此时面积最大为. 19 探究2 四边形截面探究 问题4 用一个平面截正方体得到的四边形截面有哪些类型？如何判断？ 平面与正方体的两对平行表面相交 平面与正方体的一对平行表面相交 面面平行性质定理 梯形或矩形 平行四边形 交线对应平行 至少一组对边平行 20 探究3 多边形截面探究 问题5 一个平面是否能够同时与正方体的五个表面相交？什么时候截面图形为六边形？ 基本事实1：三个不共线的点确定一个平面 寻找截面与正方体表面的交线 截面所在平面与正方体五个面相交时， 截面为五边形 截面五边形必有两组对边分别平行 基本事实3 截面所在平面与正方体六个面相交时， 截面为六边形 截面六边形三组对边两两平行 面面平行性质定理 探索规律的不变性 21 探究3 多边形截面探究 追问 能否截出正五边形，为什么？ 证明：由于截面五边形必有两组对边分别平行， 而在平面内，两直线平行同旁内角互补， 故. 显然与正五边形各内角相等，分别为相矛盾. 故不存在正五边形截面. 22 探究4 截面图形其他分类 问题6 在什么条件下会产生三角形、四边形、五边形、六边形截面，或者特殊的多边形截面？你能找到规律吗？用一些特殊位置的平面截正方体试一试. 截面 与正方体的一条面对角线平行 与正方体的一条棱平行（或一个面垂直） 与正方体的一条面对角线垂直 与正方体的一条体对角线平行 与正方体的一条体对角线垂直 矩形 三角形、四边形、五边形 正三角形、六边形 （含正六边形） 等腰三角形、四边形、 五边形、六边形 矩形 23 应用截面 例1 正方体的棱长为2，是棱的中点， 画出平面截该正方体的截面. 解：取中点, 连接 四边形为所求正方体截面. 24 应用截面 例2 中国的钢产量从无到有、从有到多，现在已经可以名副其实地称之为“钢多气多”.如图所示是钢材料中常见的“方矩管”，它的直截面为标准正方形，这种材料在使用中多用于建筑的支撑结构. 若某方矩管在使用后留下三个不同位置的小孔，那么在钢材料回收时，应该如何切割呢？ 方案一：可以过点作直截面，因为这是面积最小的截面，是操作工艺最简单的方式，也方便存储和运输. 方案二：可以过点作出截面，虽然操作复杂一点，但是保留的钢材料是最多的，与节约环保的理念吻合. 方案三：可以只过点作截面，保证过截面的一条截线和原边界线平行，算是一种折中的方案. 25 归纳小结 问题7 回顾上述探究过程，是按照怎样的知识脉络或者逻辑顺序展开探究的？ 正方体截面的形状 三角形 四边形 五边形 六边形 等腰三角形 等边三角形 锐角三角形 长方形 梯形 平行四边形 不能是正五边形 可以是正六边形 正方形 按边 的数量 按边 分 不可能是 直角三角形和钝角三角形 发现截面 寻觅截面 研究截面 应用截面 研究路径 26 归纳小结 数学思想：数形结合、分类讨论. 数学感悟：在数学探究过程中逐步发现有价值的问题，在解决问题的同时归纳方法、探索规律，站在更高维度去认识数学，从而揭示数学研究的本质——探索规律的不变性. 提出问题 猜想结论 拟定方案 论证结论 分析总结 拓展应用 数学探究一般研究路径 问题7 回顾上述探究过程，是按照怎样的知识脉络或者逻辑顺序展开探究的？ 27 常见几何体的 常见截面情况 横 切 （水平截面） 竖 切 （竖直截面，与底面垂直） 斜 切 仅过侧面 过两个底面 经过一个底面 ________ _________ 圆 矩形 椭圆 曲线 线段 圆柱的截面 29 圆锥的截面截不出梯形 横 切 竖 切 斜 切 过顶点 不过顶点 过顶点 不过顶点 和底面 不过顶点 但过底面 圆 等腰三角形 曲线 线段 等腰三角形 椭圆 曲线 线段 在所有过圆锥顶点的截面中，当轴截面顶角 满足 时，轴截面的面积最大； 当 时，顶角为 的截面的面积最大，最大值为为圆锥母线长 . 30 横 切 竖 切 斜 切 轴截面 （过上、下底面圆心） 非轴截面 圆 等腰梯形 曲线 线段 椭圆 曲线 线段 圆台的截面 31 常用性质 图示 （1）用一个平面去截球，截面都是圆面，轴截面为面积最大的截面 （2）球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆 （3）如图，为球心，为截面圆的圆心，即为球心到截面圆的距离，设球的半径为，截面圆的半径为 ，则中，有 是圆的内接三角形，可利用正弦定理求圆 的半径 球的截面 32 【延伸】若半径为的球中有两个截面，截面圆，的半径分别为，， 球心 到两截面的距离分别为，，则. 当两个截面平行时，两个截面间的距离可能为 ，也可能为 ，注意不要漏解. 球的截面 三棱柱的截面 截面是三角形 截面是四边形 截面是五边形 _________ _____ ____ _________ _________ _________ 截面是三角形 截面是四边形 截面是五边形 截面是六边形 ______________ ______________ ____________ 等边三角形 等腰梯形 普通梯形 普通五边形 普通六边形 长方体的截面 等腰三角形 普通五边形 普通六边形 普通三角形 矩形 平行四边形 菱形 普通五边形 普通六边形 35 截面是三角形 截面是四边形 截面是五边形 截面是六边形 ___________ ______________ ______________ _________________ （有两组分别平行的边，同 时有两个角相等） _________________ （有三组分别平行的边） ______________ 等边三角形 菱形 等腰梯形 普通梯形 普通五边形 普通六边形 正六边形 正方体的截面 等腰三角形 矩形 矩形 平行四边形 锐角三角形 正方形 正方形 矩形 截面不可能是直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形 36 正方体截面的情况很多，其中几个特殊截面面积如下（设正方体棱长为 ）： 矩形最大面积为 等腰梯形若梯形的高为， 则等腰梯形面积 正方体的截面 菱形面积 正三角形面积 正六边形面积 37 几何体的 特殊截面情况 定义相关要素 截面 虚截点 截线 实截点 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面；截面中能够确定的一部分平面叫做小截面. 截面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. 截面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. 截面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. 截面图的绘制原则 一刀切原则 想象用一把无限大的刀进行切割，不能使用小刀只切部分。 连续切割 必须一次切到底，不能中途停止或刻意改变切割方向。 直线切割 刀不能拐弯，必须保持直线运动。 作截面的理论依据 确定平面的条件:①不在同一直线的三点确定一个平面; ②两条平行线确定一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们相交于过此点的一条直线. 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. α A C B α A C B m l α l A B 如果一条直线平行于一个平面， 且经过这条直线的平面与这个平面相交， 那么这条直线就和交线平行. 如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 . 作截面的理论依据 作截面的具体步骤 方式1中被延长的小截面上的直线，可以位于小截面外围；也可以位于小截面内部；具体选取哪条，取决于延长后，交点是否易于标识 . 具体选择哪种方式找截点，取决于实际操作中哪种方式下的交点是否易于标识 . 方式1：延长小截面上的一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点. 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体棱于截点. 找截点 连接同一平面内的两个截点， 成截线 连截线 将各截线首尾相连，围成截面 围截面 多面体截面的找法 直接连接法 有两点在几何体的同一个面上,连接该两点即为几何体与截面的交线,找截面就是找交线的过程. 过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 若直线相交但是立体图形中未体现,可通过作延长线的方法先找到交点,然后借助交点找到截面形成的交线. 平行线法 延长线交点法 多面体截面的找法 直接连接法 平行线法 延长线交点法 作截面的过程实际就是找交线的过程； 多面体上位于同一面内的两个截点可连接成截线. 确定截面与多面体棱的交点，即为截点； 49 52 53 答 案 The End $