三点共线定理及等和线课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

三点共线定理 及 等和线 1 三点共线定理是一个应用比较广泛的定理，常用于向量推导、系数求解等， 体现了数与形的双重属性. 对于共起点的向量求参类题目，首先观察图中是否有共线的三点， 找到共线的三点，利用三点共线定理，直接将所求向量用一组不共线的向量表示， 也可以由此得到参数关系. 等和线与平面向量三点共线都能很好地将系数和的代数式运算与线段的比例 关系进行转化，因为等和线与三个向量之间存在关联，同时这里会出现一种特殊 情况，就是共起点的三个向量终点共线的结论. 2 1.三点共线定理 是直线外一点，是平面内一点且与, 不重合， 根据平面向量基本定理，可知有且仅有一对实数,， 使得，以下两个语句互为充要条件, ,, 三点共线; . 3 证明如下: 必要性 由，得,即, 进一步整理可得 ，即, 根据向量的减法运算“共起点，换开头，换位置”，上式可以写为 ， 向量，共线同时还有一个公共点，所以,, 三点共线. 4 证明如下: 充分性 由,,三点共线可得向量，共线，根据向量共线定理可知， 存在实数,使得 .故有， 移项合并之后可得 ，根据平面向量基本定理， 可知有且仅有一对实数,,使得， 对比系数可得,，所以 . 5 【例题】如图，已知A，B，C三点共线，且满足 ， 求证： . 若平面内的点O，A，B，C 满足 ，则 A，B，C三点共线 6 7 示例1 如图，在中，,是上的一点， ，则实数 的值为( ) C A. B. C. D. 8 解析 （方法一）,, 三点共线, , , . （方法二）设，则 , 解得 示例2 如图所示，在平行四边形中，,, 与相交于点，记,,则 ( ) C A. B. C. D. 10 解析（方法一）连接（图略），,,三点共线， 由三点共线定理可得，存在唯一的一个实数使得 , 又， , 同理，存在唯一的一个实数使得 . ， 由①②两式可得解得 . 11 （方法二）设 , 又 . 解得故 . 2.三点共线定理的延伸——等和线 已知,不共线，， 当点不在直线上时，过点作直线 ， 与直线,分别交于,两点，如图所示， 由，，三点共线得, ， 又由平行线分线段成比例得,， 所以,即 , ， 故， 我们将直线及过点且平行于的直线 称为等和线. 15 如图，存在以下几种情况： （1）当等和线恰为直线时， ； （2）当等和线在点与直线之间时， ； （3）当直线在点与等和线之间时， ； （4）当等和线过点时， ； （5）当点在直线与等和线之间时， ; （6）若存在两等和线关于点对称，则两定值, 互为相反数； （7）定值的变化与等和线到点的距离成正比，其中 . 16 示例3 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆， 为圆上任一点，若，则 的最大值为( ) C A. B. 2 C. D. 1 解析 如图所示，作的平行线与圆相切于点， 分别交,的延长线于点,,连接，设与交于点 . 由题可知,,当点在上， 即点与点重合时，取得最大值， . 18 $