精品解析：广东惠州市实验中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题数学

惠州市实验中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数学科 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（    ） A. B. 20 C. 12 D. 4. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（ ） A. m B. m C. m D. m 8. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.要求选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，分别为内角，，所对的边，若，，，则的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 11. 第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 13. 已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 14. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤. 15. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求周长的范围. 18. 《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. （1）在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； （2）若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积. 19. 如图，设正三角形的边长为1.为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点， （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的值（用表示）. （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市实验中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数学科 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法及虚部的概念求解即可． 【详解】解：， 故复数的虚部为． 2. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，，， 所以. 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（    ） A. B. 20 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合已知求出原平面四边形的各边长，即可得解. 【详解】将直观图还原为原图，如图， 由题，，则， 故，， 所以， 而，， 所以四边形是平行四边形，周长为. 故选：B 4. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 5. 已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知，所以， 故向量在向量上的投影向量为. 6. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得，即， 当且仅当时，等号成立，故. 因此，面积的最大值为. 故选：B. 7. 矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【详解】设OP＝h，依题意，，， ，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，可得：，解得：. 8. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】 假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为. 因为，所以. 则， . 设剩余的米的质量为， 则，解得， 所以剩余的米的质量为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.要求选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，分别为内角，，所对的边，若，，，则的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】在中，，，所以或， 当时，，为直角三角形，所以； 当时，，， 由正弦定理得，所以. 所以的值为或. 10. 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式可判断A选项；根据扇形的弧长公式可判断B选项；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式可判断C选项；将圆锥沿着展开，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，设圆锥的母线长、底面半径、高分别为、、， 由题知，圆锥的侧面积，所以，圆锥高， 故该圆锥的体积为，A错； 对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角，B对； 对于C选项，由圆的几何性质可知，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，故， 当且仅当，即当时，等号成立， 此时，故，C对； 对于D选项，由B选项知，侧面展开图扇形圆心角， 点在上且，则， 展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为， 最短路径为线段，且，D对. 故选：BCD. 11. 第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求得，从而得到，对于ACD，将其代入，有解即可判断正确；对于B，根据基本不等式得到，可判断. 【详解】由题意知，，，， 因为， 所以，故， 对于A，当时，则，此时，， 所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确； 对于B，因，故，即，故B错误； 对于C，当时，将代入得， 解得满足，故C正确； 对于D，当时，，代入得， 即满足，故D正确. 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为实数，且复数为纯虚数，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由纯虚数的概念知，实部为0，虚部不为0，取交集即可得的值. 【详解】由纯虚数的概念知，可得 故答案为：2 13. 已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 【答案】 【解析】 【详解】如图，因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，所以. 14. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得圆锥内切球半径，进而求得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值. 【详解】由题可知当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球. 作出圆锥和其内切球的轴截面如图，圆锥的底面半径，圆锥的高，则母线长， 设圆锥的内切球半径， 由，可得，即，解得， 棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为， 令，解得. 所以实数的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤. 15. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）运用数量积和模长公式求出夹角余弦值，再得到夹角即可；（2）运用向量坐标的模长公式求解即可. 【小问1详解】 由于， 则， 又，则与的夹角为； 【小问2详解】 ，则 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求周长的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)用正弦定理、正弦的和角公式进行求解； (2)利用辅助角公式并结合锐角三角形的条件进行求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 在中，，代入得： 得到，即 又，且，所以，又因为，可得. 【小问2详解】 设外接圆半径为，则， 周长 而 代入化简得： 利用辅助角公式可得： 因为是锐角三角形，且，所以， 则，则， 所以周长 即：周长的取值范围为. 18. 《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. （1）在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比； （2）若，： ①在右图（图二）中，求三棱锥的高. ②求三棱锥外接球的体积. 【答案】（1） 2； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出阳马和鳖臑，，再计算其体积比即可. （2）①根据即可得到三棱锥的高；②根据计算得到三棱锥外接球的半径为，再求外接球表面积即可. 【小问1详解】 如图所示：阳马为四棱锥，鳖臑为三棱锥， 设，，，则，， 于是，所以阳马和鳖臑的体积比为2. 【小问2详解】 ①，， 等腰的面积， 设三棱锥的高为，由，得， 解得，所以三棱锥的高为. ②依题意，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥外接球的半径为，则 所以三棱锥外接球的体积. 19. 如图，设正三角形的边长为1.为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点， （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的值（用表示）. （参考公式：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量基本定理得到，，进而得，利用向量数量积公式求出，进而求解. （2）根据向量基本定理得到，，，，从而得到，进而求解； （3）求出，，利用向量数量积公式即可求解. 【小问1详解】 当时，，即， 所以， 同理可得， 所以， 所以， 所以， 因为正三角形ABC的边长为1．O为的外心， 由正弦定理得， 所以，且， 故 ， 所以， 所以； 【小问2详解】 当时，， 即，所以， 同理可得，……，， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为正三角形ABC的边长为1．O为的外心， 所以， 则， 因为，所以分别为的10等分点， 又，所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $