精品解析：上海市顾村中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年顾村高一下期中考试数学试卷 一､填空题 1. 若角的终边经过点，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】已知角的终边经过点，则. 2. 已知四边形是边长为1的正方形，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果. 【详解】, 故答案为：. 3. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 1，则扇形的弧长是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式直接计算即可. 【详解】扇形的圆心角为，半径为 1， 所以扇形的弧长为. 故答案为：. 4. 已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为______． 【答案】（4，3） 【解析】 【分析】设出点，根据列方程组解决. 【详解】设，又 A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4） ， 所以点. 故答案为：（4，3） 5. 在上满足的的取值范围是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数图像数形结合去求的取值范围 【详解】在同一坐标系内作出上和的图像， 则在上满足的的取值范围是 故答案为： 6. 已知函数，则函数的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 7. 已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】已知平面向量， 则在上的投影向量. 8. 方程在内的解为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】由正弦函数的定义写出方程的解集，再求出给定范围的解． 【详解】方程的一个解为. 因为，，所以或. 9. 若函数的最大值为13，则常数__________. 【答案】 【解析】 【详解】已知函数的最大值为13， 则，解得，进而. 10. 若函数的图像如图所示，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象求得，再根据函数周期性求解即可. 【详解】根据图像得，，则. 因为过点，则，所以， 所以，取，. 则. 因为，， 则. 11. 定义运算，则函数的值域为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到：，分别求出和的值域即可. 【详解】由题知：， 当时， ，. 当时， ，. 综上：的值域为 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的定义，同时考查了三角函数求值域，属于中档题. 12. “向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积坐标公式计算结合辅助角公式计算求解. 【详解】平面向量  为单位向量，设平面向量  的夹角为， 则  ，由得， 又  ，设，其中， 则， 当时， 故① 而 ②， 其中为锐角且，故， 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 故此时， 当时， 故③ 而 ④， 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 故此时， 综上， 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分） 13. 已知，，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，则，，或，，则必要性不成立； 综上所述：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 14. 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 15. 下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性及周期性和奇偶性对选项一一分析即可. 【详解】对于选项A，为奇函数，故A错误； 对于选项B，，当时，，根据余弦函数性质知单调递减，故B错误； 对于选项C，，当时，单调递增，且是的偶函数，故C正确； 对于选项D，的周期，故D错误. 故选：C. 16. 设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设，则，从而将问题转化为在上有4个零点，从而得到，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案. 【详解】设，则， 所以在上有4个零点， 因为，所以， 所以， 所以，即，满足的只有A. 故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用. 三､解答题（本大题共有5题，共8+8+10+12+14=52分，解答下列各题必须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件求得，根据两角和的正切直接求解即可； （2）利用弦化切直接求解即可. 【小问1详解】 由题知，，， 则. 【小问2详解】 由题知，. 18. 已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求平面向量的坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据向量共线求解即可. （2）根据向量垂直以及向量的模求解即可. 【小问1详解】 已知， 若，则， 解得. 【小问2详解】 设. 已知，则，即①. 已知，则，即②. 由①式可得，将代入②式可得： ，解得. 当时，； 当时，. 所以，平面向量的坐标为或. 19. 已知三个内角所对的边分别为. （1）若，求的面积； （2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可. （2）在中由余弦定理得，进而在中得，再根据正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，得. 因为，且， 所以. 所以的面积. 【小问2详解】 已知的中点为，则. 在中，，， 由余弦定理， 即，解得. 在中，由余弦定理， 解得. 由正弦定理， 由（1）知，则， 所以. 20. 在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解即可. （2）根据两角和的正弦、余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，则. 根据三角函数定义，. 又因为，所以： 因为是第二象限角，，两边约去得： 两边平方得：，解得. 因为是第二象限角，所以.故. 【小问2详解】 由（1）知，则. 所以. 设旋转后的角为，则.设，则： ∴点的坐标. 21. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】（1）； （2）       单调递减区间为； （3），或. 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （2）利用五点作图法，结合函数图象进行求解即可； （3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，且， 所以有，即； 【小问2详解】 列表如下： 函数，的大致图象如下图所示： 单调递减区间为； 【小问3详解】 由题意可知：， 因为， 所以中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，或， 因此的值为，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年顾村高一下期中考试数学试卷 一､填空题 1. 若角的终边经过点，则__________. 2. 已知四边形是边长为1的正方形，则________ 3. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 1，则扇形的弧长是_____. 4. 已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为______． 5. 在上满足的的取值范围是_________________. 6. 已知函数，则函数的最小值为_____. 7. 已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为__________. 8. 方程在内的解为__________. 9. 若函数的最大值为13，则常数__________. 10. 若函数的图像如图所示，则__________. 11. 定义运算，则函数的值域为____________ 12. “向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____. 二､选择题（本大题共有4题，满分12分，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分） 13. 已知，，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A. B. C. D. 15. 下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（ ） A. B. C. D. 16. 设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共有5题，共8+8+10+12+14=52分，解答下列各题必须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知平面向量. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求平面向量的坐标. 19. 已知三个内角所对的边分别为. （1）若，求的面积； （2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值. 20. 在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标. 21. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $