第七单元 分数乘法（易错培优讲练）易错点拨+16个考点讲练+优选真题拔尖练 共68题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

2025-2026学年苏教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第七单元 分数乘法『易错笔记培优讲练』 〔解析版〕 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 模块二 易错点拨 思路指引 1、分数和整数相乘的意义和计算方法 （1）分数乘整数的意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，表示求几个相同加数的和的简便运算。 分数乘整数表示求几个几分之几相加，不是表示求几分之几个几相加。 （2）分数和整数相乘的计算方法 整数和分母约分后，要把整数约分后的结果和原来的分子相乘。 2、求一个数的几分之几是多少，用乘法计算 3、计算分数乘分数时，不能忘记分子与分子相乘，同时也不能忘记分母与分母相乘。 4、在已知条件较多的情况下，一定要分清哪些条件与所求问题有关，找准所乘分数对应的单位“1”。 5、计算分数乘法时，计算结果能约分的一定要约成最简分数。 6、互为倒数的两个数相互依存，不能单独存在，即2是倒数这种说法是错误的。 7、非0自然数都有倒数，即0没有倒数。 8、不能将互为倒数的两个数用等号连接。 9、因为假分数大于或等于1，所以它的倒数小于或等于1。 模块三 易错考点 讲练结合 高频易错考点一 分数乘整数的计算 【典例精讲】（25-26五年级上·山东·课后作业）脱式计算。 　　　　　　　　　　　         【答案】；；； 【易错思路引导】分数连乘，计算顺序是从左往右。 【规范解答】 【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）                  【答案】；；； ；； 【变式训练2】（24-25六年级上·全国·单元复习）计算。 【答案】 【易错思路引导】分数乘整数：用分子乘整数的积作分子，分母不变，能先约分的可以先约分再计算； 分数乘分数：用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。 先计算括号里的，10＋14＝24，再根据分数乘整数以及分数乘分数的法则进行计算即可。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ 高频易错考点二 分数乘整数的实际应用 【典例精讲】（25-26六年级上·广西桂林·期末）9所学校邀请举行篮球比赛，每两个学校都要比赛一场，一共要比赛( )场。 【答案】36 【易错思路引导】每两个学校都要比赛一场的意思是任意两所学校之间只进行1场比赛，不能重复计算，可以用公式进行计算。 【规范解答】 （场） 一共要比赛36场。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏南京·期中） 3.02立方分米＝( )升( )毫升    小时＝( )分 1.2平方米＝( )平方分米    2.05公顷＝( )平方米 【答案】 3 20 36 120 20500 【规范解答】1立方分米＝1升＝1000毫升，1小时＝60分，1平方米＝100平方分米，1公顷＝10000平方米，根据低级单位换算成高级单位用除法计算，高级单位换算成低级单位用乘法计算完成填空。 【解答】3立方分米＝3升，0.02×1000＝20，则0.02立方分米＝20毫升，所以3.02立方分米＝3升20毫升 ，所以小时＝36分 1.2×100＝120，所以1.2平方米＝120平方分米 2.05×10000＝20500，所以2.05公顷＝20500平方米 【变式训练2】（25-26五年级上·山东·课后作业）小红正在看一本180页的科普读物，第一天看了这本书的，第二天看了第一天的。小红第二天看了多少页？她第三天应从第几页看起？ 【答案】看了12页；从第85页看起 【易错思路引导】用总页数乘小红第一天看的对应的分率，求出小红第一天看的页数；然后用小红第一天看的页数乘小红第二天看的页数占第一天看的页数的对应的分率，求出小红第二天看的页数。最后用小红第一天看的页数加第二天看的页数，再加1即可求出她第三天应从第几页看起。 【规范解答】小红第一天看的页数：180×＝72（页） 小红第二天看的页数：72×＝12（页） 72＋12＋1＝85（页） 答：小红第二天看了12页，她第三天应从第85页看起。 高频易错考点三 整数乘分数的计算 【典例精讲】2025六年级上·河南·专题练习）看图列式计算。 【答案】24km 【易错思路引导】从图中可知，总长度为120km，将120km看作单位“1”，已经修了，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出已经修了的长度，再用总长减去已经修改的长度就是要求部分长度； 或将120km看作单位“1”，已经修了，则还剩下的长度是总长的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出还剩下的长度。 【规范解答】120－120× ＝120－96 ＝24（km） 或120×（1－） ＝120× ＝24（km） 还剩下24km没有修。 【变式训练1】（24-25五年级下·河北承德·期中）直接写出得数。                                                【答案】；；；；； ；9；；；3 【变式训练2】（25-26六年级上·全国·随堂练习）脱式计算。          【答案】6；；18 【易错思路引导】分数乘整数：用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变，能约分的先约分再计算。 分数乘分数：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，能约分的先约分再计算。有括号的先算括号里面的。据此解答即可。 【规范解答】（1） （2） （3） 高频易错考点四 整数乘分数的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏盐城·期中）甲、乙、丙三堆围棋子各有60枚，甲堆中的白子和乙堆中的黑子同样多，丙堆中白子枚数占。三堆中共有白子多少枚？ 【答案】80枚 【易错思路引导】先根据甲堆白子数等于乙堆黑子数，结合乙堆总数，推导出甲、乙两堆白子总数等于一堆棋子的数量； 再根据丙堆白子占总数的，把丙堆棋子的总数看作单位“1”，单位“1”已知，用丙堆棋子的总数乘，求出丙堆白子数； 最后将三部分白子数相加即可。 【规范解答】因为甲堆中的白子和乙堆中的黑子同样多，且乙堆棋子总数＝乙堆黑子数＋乙堆白子数＝60枚，所以甲堆白子数＋乙堆白子数＝60枚。 丙堆白子数为：60×＝20（枚） 三堆共有白子：60＋20＝80（枚） 答：三堆中共有白子80枚。 【变式训练1】（24-25六年级上·江苏盐城·期末）如图，在一个平行四边形中，丙的面积是90平方厘米，甲的面积占平行四边形面积的，甲的面积是( )平方厘米，乙的面积是( )平方厘米。 【答案】 60 30 【易错思路引导】从图中可知，三角形丙与平行四边形等底等高，则平行四边形的面积是三角形丙面积的2倍； 已知甲的面积占平行四边形面积的，把平行四边形的面积看作单位“1”，单位“1”已知，用平行四边形的面积乘，求出甲的面积； 再用平行四边形的面积减去甲的面积，再减去丙的面积，求出乙的面积。 【规范解答】平行四边形的面积：90×2＝180（平方厘米） 甲的面积：180×＝60（平方厘米） 乙的面积：180－60－90＝30（平方厘米） 所以，甲的面积是60平方厘米，乙的面积是30平方厘米。 【变式训练2】（25-26六年级上·河南平顶山·期末）科学创客小组设计了甲、乙两个机器人，将它们放在相距8米的直线跑道两端，并遥控它们同时出发，相向而行。10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的。这时两个机器人相距多少米？ 【答案】米 【易错思路引导】把全程看作单位“1”，10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的，单位“1”已知，用全程乘、，分别求出甲、乙走的路程；然后用全程减去甲、乙走的路程，就是此时甲、乙相距的距离。 【规范解答】8×＝3（米） 8×＝（米） 8－3－ ＝5－ ＝（米） 答：这时两个机器人相距米。 高频易错考点五 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】（25-26六年级上·广西钦州·期末）一袋米，第一天吃了这袋米的，第二天吃了剩下部分的，哪天吃的多？（    ）。 A．两天吃的一样多 B．第二天吃的多 C．第一天吃的多 【答案】A 【易错思路引导】把这袋米的总质量看作单位“1”，第一天吃了这袋米的，则剩下部分占这袋米的（1－），第二天吃了剩下部分的，第二天吃了这袋米的（1－）的，即（1－）×，求出第二天吃的大米质量占总质量的分率，最后和比较大小，据此解答。 【规范解答】第一天： 第二天：（1－）× ＝× ＝ 因为＝，所以两天吃的一样多。 故答案为：A 【变式训练1】（25-26六年级上·江苏连云港·期末）小明有100枚邮票，他把自己邮票枚数的送给小丽后，两人的邮票枚数就相等了。小军说：“小明的邮票比小丽多20枚。”小军的说法对吗？为什么？（先画一画，再说理） 【答案】画图见详解 小军的说法不对；送之前，小明比小丽多40枚 【易错思路引导】把自己邮票枚数的送给小丽后，两人的邮票枚数就相等了，说明小明比小丽的邮票数量多两个，画一条线段表示小明的邮票100枚，把它平均分成5份，其中的1份就表示，再画一条比小明的线段少2份的线段，表示小丽原有的枚数； 把小明原来的邮票数量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用100×求出小明送给小丽的数量，则小明还剩下（100－100×）枚邮票，也就是小丽现在的邮票数量，再用小丽现在的邮票数量减去小明送给小丽的邮票数量，求出小丽原来的邮票数量，最后用小明原来的邮票数量减去小丽原来的邮票数量求出小明比小丽多的数量即可判断。 【规范解答】如图： （枚） 100－20＝80（枚） 80－20＝60（枚） 100－60＝40（枚） 答：小军的说法不对，因为送之前，小明比小丽多40枚。 【变式训练2】（24-25六年级上·浙江温州·期末）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 【答案】作图见详解；53.38米 【易错思路引导】 如图，小狗可跑的距离＝半径16米的圆的周长＋半径（16－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5－5）米的圆的周长，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式解答。 【规范解答】 2×3.14×16×＋2×3.14×（16－5）×＋2×3.14×（16－5－5）×＋2×3.14×（16－5－5－5）× ＝2×3.14×16×＋2×3.14×11×＋2×3.14×6×＋2×3.14×1× ＝3.14×（2×16×）＋3.14×（2×11×）＋3.14×（2×6×）＋3.14×（2×1×） ＝3.14×（32×）＋3.14×（22×）＋3.14×（12×）＋3.14×（2×） ＝3.14×8＋3.14×5.5＋3.14×3＋3.14×0.5 ＝3.14×（8＋5.5＋3＋0.5） ＝3.14×17 ＝53.38（米） 答：最多可跑53.38米。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，准确画出小狗跑的路线。 高频易错考点六 分数乘分数的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏淮安·期中）计算下面各题。                           【答案】；24；； 【易错思路引导】分数连乘，按从左往右依次计算，先约分再相乘更简便； 整数与分数相乘，先约分，再按从左往右依次计算； 分数连乘，先约分，再将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母； 分数与整数相乘，先约分，再依次计算。 【规范解答】 ＝ ＝24 【变式训练1】（24-25五年级下·四川成都·期中）脱式计算。                                       【答案】2；；         ；13； 【易错思路引导】，根据加法交换律和结合律，转化成，同时算出两边小括号里的加法，再算括号外的加法； ，根据减法的性质去括号，括号里的减号变加号，带号搬家交换减数和加数的位置，再从左往右算； ，带号搬家交换两个减数的位置，再从左往右算； ，从左往右算； ，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，先约分再计算。 【规范解答】 【变式训练2】（24-25五年级下·广东深圳·期中）用你喜欢的方法计算，并写出计算过程。                          【答案】；； 【易错思路引导】（1）先根据减法的性质a－（b－c）＝a－b＋c把变成，然后交换“”和“”的位置，再按顺序计算； （2）先根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），把变成，再按顺序计算； （3）根据分数乘分数的计算方法，分子和分子相乘的积作为分子，分母与分母相乘的积作为分母；在计算过程中能约分的先约分，再计算。 【规范解答】（1）                                                                                          （2）                     （3） 高频易错考点七 分数乘分数的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个街心花园占地公顷，其中草坪占，花圃占地公顷，其余是人行道。人行道的面积是多少公顷？ 【答案】 公顷 【易错思路引导】要计算人行道的面积，需用街心花园的总面积，减去草坪的面积（将街心花园的总面积看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用总面积乘草坪所占的分率可得到草坪面积），再减去花圃的面积，进而得到人行道的面积。 【规范解答】草坪的面积：（公顷） 人行道的面积： （公顷） 答：人行道的面积是公顷。 【变式训练1】（25-26六年级上·广东广州·期中）李叔叔每天的睡眠时间占全天时间的，每天的运动时间是睡眠时间的。李叔叔每天运动多少小时？（用两种方法解决） 方法一： 方法二： 【答案】2小时 【易错思路引导】根据题意，一天的时间是24小时。先把全天的时间看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用24乘算出每天的睡眠时间。再把每天的睡眠时间看作单位“1”，用每天的睡眠时间乘，算出李叔叔每天运动的时间。 或用乘算出每天的运动时间占全天时间的几分之几。再把全天的时间看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法。用24乘每天的运动时间占全天时间的几分之几，就是每天运动时间是多少小时。 【规范解答】方法一：24×＝8（小时） 8×＝2（小时） 方法二：×＝ 24×＝2（小时） 答：李叔叔每天运动2小时。 【变式训练2】（24-25六年级上·江苏南通·期中）帆帆家到舅舅家的路程的是上坡路，是下坡路。她从家到舅舅家往返一次共走上坡路千米，帆帆从舅舅家回家时走了多少千米上坡路？ 【答案】千米 【易错思路引导】帆帆家到舅舅家的路程的是上坡路，是下坡路。去的时候的上坡路就是回来时候的下坡路，去的时候的下坡路就是回来时候的上坡路，因此帆帆从舅舅家回家时是上坡路，是下坡路。＋＝1，则往返一次，共走的上、下坡路均为一个全程，为千米。所以帆帆从舅舅家回家时走的上坡路为×，计算即可。 【规范解答】×＝（千米） 答：帆帆从舅舅家回家时走了千米上坡路。 【考点剖析】解题关键是理解往返上坡路的总和等于全程，再根据去时下坡路占比求出返回时的上坡路长度。掌握往返时上下坡的转化规律，就能顺利解决此类问题。 高频易错考点八 分数乘小数的计算 【典例精讲】（25-26六年级上·山东菏泽·期中）看图列式计算。 【答案】2.4×＝1.6（m） 【易错思路引导】线段图显示总长度为2.4米，被平均分成了3份，要求的是其中的2份的长度，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算。 【规范解答】2.4×＝1.6（m） 答：2份的长度是1.6m。 【变式训练1】（25-26六年级上·全国·课后作业）算一算。（写出计算过程）                   【答案】；；； ；； 【易错思路引导】小数乘分数计算法则，把小数化成分数，然后按照分数乘分数的法则进行计算。分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，能约分的先约分再计算会更简便。如果分数能化成有限小数，可把分数化成小数，再按照小数乘法的法则进行计算。小数乘法先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 当小数与分数的分母存在倍数关系时，可以直接约分，然后再计算。 【规范解答】 【变式训练2】（24-25六年级上·甘肃陇南·期中）直接写出得数。                                                     【答案】；；；3.9； ；1；； 高频易错考点九 分数乘小数的实际应用 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期中）花青素有助于缓解视觉疲劳，对预防近视、舒缓眼睛压力等都有一定的作用，葡萄里含有大量的花青素，妈妈买来一些葡萄重4.8kg，淘气吃了这些葡萄的，乐乐吃了剩下葡萄的。乐乐吃了多少千克葡萄？ 【答案】1.2千克 【易错思路引导】首先将葡萄的总重量4.8千克看作单位“1”，则淘气剩下的分率为，求一个数的几分之几的问题可以用乘法解决，乐乐吃了剩下葡萄的，则乐乐吃的分率为，用葡萄的总重量4.8千克乘乐乐吃的分率，即可求出乐乐吃了多少千克葡萄。 【规范解答】 （千克） 答：乐乐吃了1.2千克葡萄。 【变式训练1】（25-26六年级上·海南海口·期中）一辆运沙石的货车车厢是长方体，车厢的底面积是4.5平方米，装沙石的高度是米，如果每立方米沙石重吨，这车沙石重多少吨？ 【答案】5.4吨 【易错思路引导】根据长方体的体积＝底面积×高，算出这车沙石的体积，再乘每立方米沙石的重量即可。 【规范解答】（吨） 答：这车沙石重5.4吨。 【变式训练2】（25-26六年级上·海南海口·期中）一辆运沙石的货车车厢是长方体，车厢的底面积是4.5平方米，装沙石的高度是米，如果每立方米沙石重吨，这车沙石重多少吨？ 【答案】5.4吨 【易错思路引导】已知长方体车厢的底面积是4.5平方米，装沙石的高度是米，根据“长方体体积＝底面积×高”求出沙石的体积； 又已知每立方米沙石重吨，用每立方米沙石的重量乘沙石的体积即可求出这车沙石的重量。 【规范解答】4.5×＝3.6（立方米） ×3.6＝5.4（吨） 答：这车沙石重5.4吨。 高频易错考点十 分数的连乘运算的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·河北邢台·期中）直接写得数。                                               【答案】；；； ；；；12 【变式训练1】（23-24五年级上·山东泰安·期中）计算（要写出计算过程，能简算的要简算）。 ①       ②          ③ ④       ⑤          ⑥ 【答案】①；②0；③ ④10；⑤；⑥15 【易错思路引导】①＋－，先算加法，再算减法； ②－（＋），根据减法性质，原式化为：－－，再进计算； ③＋＋－，根据加法交换律，原式化为：＋＋－，再根据加法结合律，原式化为：（＋）＋（－），再进行计算； ④11－－，根据减法性质，原式化为：11－（＋），再进行计算； ⑤××，先约分，再进行计算； ⑥8××，先约分，再进行计算。 【规范解答】①＋－ ＝＋－ ＝－ ＝ ②－（＋） ＝－－ ＝－ ＝0 ③＋＋－ ＝＋＋－ ＝（＋）＋（－） ＝1＋ ＝ ④11－－ ＝11－（＋） ＝11－1 ＝10 ⑤×× ＝ ＝ ⑥8×× ＝ ＝15 【变式训练2】（23-24五年级上·山东烟台·期中）脱式计算。（能简算的要简算） －－        －－＋      ＋＋ ＋＋     ××       ×× 【答案】；； ；； 【易错思路引导】－－，原式化为：－ －，再进行计算； －－＋，根据加法交换律，原式化为：＋－－，再根据加法结合律和减法性质，原式化为：（＋）－（＋），再进行计算； ＋＋，根据加法交换律，原式化为：＋＋，再进行计算； ＋＋，根据加法交换律，原式化为：＋＋，再进行计算； ××，先约分，再进行计算； ××，先约分，再进行计算。 【规范解答】－－ ＝－ － ＝－ － ＝－ ＝－ ＝ －－＋ ＝＋－－ ＝（＋）－（＋） ＝－ ＝ ＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝ ＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝ ×× ＝ ＝ ×× ＝ ＝ 高频易错考点十一 分数的连乘运算的实际应用 【典例精讲】（25-26六年级上·山西太原·期末）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 【答案】70万人次 【易错思路引导】先把长风街站的客运量看作单位“1”，大南门站的客运量是长风街站的，用乘法求出大南门站的客运量；然后把大南门站的客运量看作单位“1”，府西街站的客运量是大南门站的，再用乘法求出府西街站的客运量。 【规范解答】96×× ＝84× ＝70（万人次） 答：府西街站的客运量是70万人次。 【变式训练1】（24-25六年级上·江苏盐城·期末）兔妈妈准备给孩子们到书店购买一套《数学童话故事）共16本。兔妈妈让孩子们先分别到三家书店看一下，到哪一家买比较划算？ 小灰兔说：“甲书店，每本《数学童话故事》要6元，现在搞促销可以按原价的出售。” “我是到乙书店，发现现在买10本免费送3本，不满10本的不赠送。每本单价也是6元。”小黑兔在一边说。 小白兔迫不及待地说：“我是到丙书店，促销的方式是买3本可赠送一本，每本《数学童话故事》的单价也是6元。” 请你根据信息算一算，兔妈妈到哪家书店买比较划算？ 【答案】丙书店 【易错思路引导】根据题意，先计算出买一套《数学童话故事）共16本在甲、乙、丙三个书店分别需要多少钱，再比较大小即可。（1）根据求一个数的几分之几，用乘法计算，求出一本书的单价，再乘书的数量，求出在甲书店买需要用的钱数；（2）乙书店现在买10本免费送3本，所以买了10本之后，再买3本，即在乙书店买10＋3＝13本，就可以到手16本书。所以用13乘单价，就可以求出在乙书店买需要用的钱数；（3）丙书店，促销的方式是买3本可赠送一本，即买3本到手4本，所以要想到手16本，只需要买（16÷4） ×3＝12（本），用12乘单价，就可以求出在丙书店买需要用的钱数。 【规范解答】根据分析求出在甲、乙、丙三个书店分别需要多少钱： 甲书店：6××16 ＝×16 ＝4.8×16 ＝76.8（元） 乙书店：（10＋3）×6 ＝13×6 ＝78（元） 丙书店：（16÷4） ×3×6 ＝4×3×6 12×6 ＝72（元） 78＞76.8＞72 答：兔妈妈到丙书店买比较划算。 【变式训练2】（25-26六年级上·河南周口·期中）为了让同学们深刻体会“边疆无小事，事事关国防”的责任与担当，培文小学组织学生去红星耀双河陈列馆开展爱国主义教育实践活动。全校共有900名学生，其中有的学生参与了此次活动，参与活动的男生人数占参与活动总人数的参与活动的男生有多少名？ 【答案】300名 【易错思路引导】先把全校学生的总人数看作单位“1”，其中有的学生参与了此次活动，单位“1”已知，用全校学生总人数乘，求出参加此次活动的学生总人数； 再把参加活动的总人数看作单位“1”，参与活动的男生人数占参与活动总人数的，单位“1”已知，用参加活动的总人数乘，求出参与活动的男生人数。 【规范解答】900×× ＝540× ＝300（名） 答：参与活动的男生有300名。 高频易错考点十二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏南通·期末）充足的睡眠有利于儿童的生长发育，小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的。明明今天体育锻炼了70分钟，( )达到最低体育锻炼时间（填“有”或“没有”）。请用计算说明理由：( )。 【答案】 有 24××＝1（小时），70分钟＞1小时 【易错思路引导】已知小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，把一天24小时看作单位“1”，单位“1”已知，用一天的时间乘，求出小学生每天最低的睡眠时间；已知小学生每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的，把小学生每天最低的睡眠时间看作单位“1”，单位“1”已知，用小学生每天最低的睡眠时间乘，求出小学生每天最低的体育锻炼时间，再与70分钟进行比较，得出明明今天的体育锻炼时间是否达到最低体育锻炼时间要求。 【规范解答】24×× ＝10× ＝1（小时） 1小时＝60分钟 70分钟＞60分钟 明明今天体育锻炼了70分钟，有达到最低体育锻炼时间要求。请计算说明：24××＝1（小时），70分钟＞1小时。 【变式训练1】（25-26六年级上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年4月23日是第30个世界读书日，我市开展了丰富多彩的读书主题活动。这一天新华书店新购进900册畅销图书，上午卖出了总数的，下午卖出的是上午的。 (1)下午卖出多少本图书？ (2)这一天卖出的图书占新购进图书的几分之几？ 【答案】(1)240本 (2) 【易错思路引导】（1）求一个数的几分之几是多少用乘法计算，即一个数（单位“1”的量）×几分之几＝部分量。据此可知：上午卖出的册数＝总册数（900册）×，下午卖出的册数＝上午卖出的册数×，也就是下午卖出的册数＝总册数××，所以求下午卖出的册数列式为900××。 （2）根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用这一天卖出的图书（上午卖出＋下午卖出）÷新购进的图书（900册）即可解答。 【规范解答】（1）900×× ＝300× ＝60×4 ＝240（本） 答：下午卖出240本图书。 （2）上午卖出：900×＝300（本） 一天卖出：300＋240＝540（本） 540÷900＝＝＝ 答：这一天卖出的图书占新购进图书的。 【变式训练2】（24-25六年级上·浙江金华·期末）随着科技的发展，列车的速度不断提升，C字头列车最高时速是200千米，D字头列车的最高时速是C字头列车的，G字头列车的最高时速是D字头列车的，G字头列车的最高时速是多少千米？ 【答案】350千米 【易错思路引导】分析题目，先把C字头列车的最高时速看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式求出D字头列车的最高时速；再把D字头列车的最高时速看作单位“1”，用D字头列车的最高时速乘即可得到G字头列车的最高时速。 【规范解答】200×× ＝250× ＝350（千米/时） 答：G字头列车的最高时速是350千米。 高频易错考点十三 因数和积的大小关系（分数乘法) 【典例精讲】（24-25六年级上·河南周口·期末）若a，b，c都大于0，且a×＝b×＝c×，下面正确的是（    ）。 A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c 【答案】A 【易错思路引导】首先明确题目条件：a、b、c都大于0，且（积相等）。 思考逻辑：当几个正数的乘积相等时，其中一个因数越大，对应的另一个因数就越小（因为要保持积不变，一个数变大，另一个数必须变小）。所以需要先比较 、、 的大小，再反向推出a、b、c的大小关系。 【规范解答】1. 比较乘数的大小： 将分数转化为小数（或通分）比较： ， ，。 可得： 。 2. 推导a、b、c的大小： 因为（积相等），乘数越大，对应的数越小，所以：  c ＞a ＞ b 。 故答案为：A 【变式训练1】（24-25六年级上·宁夏吴忠·期末）甲数的正好与乙数的相等，且两个数都不等于0，则甲数（    ）乙数。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】A 【易错思路引导】根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，则甲数×＝乙数×（甲数、乙数都不等于0），当乘法算式的乘积一定时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小；比较已知两个分数的大小即可。据此解答。 【规范解答】甲数×＝乙数× ；；＜，所以为＜。 因为＜，所以甲数＞乙数。 故答案为：A 【变式训练2】（25-26六年级上·北京大兴·期中）下面四个算式的积，（    ）在和之间。 A． B． C． D． 【答案】B 【易错思路引导】A．一个非零数乘小于1的数小于它本身。 B、D．两个分数相乘，分子与分子相乘作分子，分母与分母相乘作分母，能约分的要约分。据此计算出结果，再进行判断。 C． 一个非零数乘大于1的数大于它本身。 【规范解答】A．因为＜1，所以＜，所以不在和之间。 B．＝，因为3＞2，所以＜，7＞5，所以＜，所以在和之间。 C．因为2＞1，所以＞，所以不在和之间。 D．＝，＝，＝，所以＞，即＞，所以不在和之间。 所以在和之间。 故答案为：B 高频易错考点十四 倒数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏连云港·期末）下面四个说法正确的有（    ）个。 （1）0既不是正数也不是负数。 （2）两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。 （3）真分数的倒数都大于1。 （4）在一个数的末尾添上0或者去掉0，这个数的大小不变。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【易错思路引导】（1）0是正数、负数的分界点，比0大的是正数，比0小的是负数，0既不是正数也不是负数； （2）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形； （3）分数的分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1；分数的倒数是将分数的分子、分母交换位置； （4）小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变；整数的末尾添上0或者去掉0，整数的大小改变。 【规范解答】（1）0既不是正数也不是负数，原说法正确； （2）两个面积相等的梯形不一定完全一样，不一定能拼成一个平行四边形，原说法错误； （3）真分数的分子＜分母；倒数是交换分子和分母的位置，此时分数的分子＞分母，大于1，原说法正确； （4）在一个小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变，原说法错误。 说法正确的有（1）（3）共2个。 【变式训练1】（25-26六年级上·江苏无锡·期末）如图为一个正方体纸盒展开图，要使它折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为倒数，则★是（    ）。 A．2 B． C． D．1 【答案】B 【易错思路引导】 这个正方体展开图属于“2－3－1”结构，折叠成正方体，★面对应1.5面，1面对应1面，面对应面；根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，据此解答。 【规范解答】 根据分析可知，折叠成正方体，★面对应1.5面，1面对应1面，面对应面。 1.5＝ 的倒数是，所以★是。 一个正方体纸盒展开图，要使它折成正方体后，相对的面上的两个数互为倒数，则★是。 故答案为：B 【变式训练2】（25-26六年级上·四川泸州·期末）下面关于倒数的说法正确的有（    ）个。 ①1的倒数是1，0的倒数是0。 ②因为，所以0.875的倒数是。 ③真分数的倒数都大于1。 ④因为，所以，，互为倒数。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【易错思路引导】乘积是1的两个数互为倒数，1的倒数是1，0没有倒数。分子小于分母的分数是真分数，真分数的值小于1，将其分子分母互换位置可得到它的倒数，此时分子大于分母，所以真分数的倒数一定大于1。 【规范解答】①倒数的定义为乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1（因为1×1＝1），但0没有倒数（因为0乘任何数都得0，无法得到1），说法错误； ②0.875＝，×＝1，满足倒数定义（乘积为1的两个数互为倒数）。因此“0.875的倒数是”，说法正确。 ③真分数是分子小于分母的分数，其倒数为分子分母互换后的分数（分子大于分母），即假分数，假分数的值大于1。例如的倒数是2（大于1），的倒数是（大于1），说法正确。 ④互为倒数是指两个数之间的关系，即“两个数互为倒数”。三个数的乘积为1，不能称为“互为倒数”。因此，，互为倒数，说法错误。 所以正确的说法为②和③，共2个。 故答案为：B 高频易错考点十五 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】（25-26五年级上·山东淄博·期中）( )( )( )( )。 【答案】 //1.5 /0.4 / /0.125 【易错思路引导】已知题干中每个乘法算式的结果都等于1，根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数，因此对于每个乘法算式，只要找到其中一个数的倒数，就能确定另一个数。 求倒数的方法：先把这个数转化为真分数或假分数（整数看作分母是1的分数，带分数先化成假分数，小数先化成分数），再将分子和分母交换位置，即可求出这个数的倒数。 【规范解答】的倒数是，也可以写成或1.5； ，的倒数是，也可以写成0.4； ，的倒数是，也可以写成； 8的倒数是，也可以写成0.125。 所以，第一个空格可以填或或1.5，第二个空格可以填或0.4，第三个空格可以填或，第四个空格可以填或0.125。 即 。 【变式训练1】（25-26六年级上·河南南阳·期中）如果（m、n均不为0），那么m＞n。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】假设 ＝1，根据乘积是1的两个数互为倒数，据此推算出m和n分别是多少。再比较大小，并判断。 【规范解答】假设＝1 m＝，n＝，＞。 m＞n 原题正确。 故答案为：√ 【变式训练2】（25-26六年级上·江苏宿迁·期中）的倒数是( )，0.4与它的倒数相差( )。 【答案】 //1.2 2.1// 【易错思路引导】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，把的分子和分母调换位置求出它的倒数；0.4的倒数是1÷0.4，在此基础上减去0.4求出0.4与它的倒数的差，据此解答。 【规范解答】1÷0.4－0.4 ＝2.5－0.4 ＝2.1 的倒数是，0.4与它的倒数相差2.1。 高频易错考点十六 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·课后作业）两个自然数的和是5，它们的倒数和是，这两个自然数分别是( )和( )。 【答案】 2 3 【易错思路引导】首先，找出和为5的自然数组合，可能的组合有1和4、2和3。然后分别计算每组的倒数和：1和4的倒数和是，不符合题目中倒数和为的条件；2和3的倒数和是，符合题目要求。 【规范解答】两个自然数的和是5，它们的倒数和是，这两个自然数分别是（2）和（3）。 【变式训练1】（24-25六年级上·湖南邵阳·期中）一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数是( )。 【答案】 4 【易错思路引导】一个自然数的倒数是分子是1的真分数，这个自然数与它的倒数作差时，这个自然数要拿出一个1来减真分数，所以结果的整数部分加1就是原来的这个自然数，据此解答。 【规范解答】3.75＝＝3＋ 3＋1＝4 1－＝ 4和互为倒数，所以这个自然数是4。 一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数是4。 【考点剖析】本题关键在于明确这个自然数的倒数是一个分子为1的真分数，这个自然数减真分数时需要从自然数中拿出一个1来减。 【变式训练2】（24-25六年级上·四川资阳·期末）一个自然数与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 【答案】3 【易错思路引导】自然数是几，它的倒数就是几分之一。化成带分数是，而＝3＋，3和互为倒数，由此可知：这个自然数是3。 【规范解答】通过分析可得： ＝＝3＋，3的倒数是，则这个自然数是3。 模块四 易错真题 提升训练 1．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）下图是一个正方体的展开图，正方体的每个面上都有一个数，且相对的两个面上的数互为倒数。那么☆×▲的结果是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【易错思路引导】在正方体的平面展开图中，通过观察结合相对的面不相邻，可知3与相对，1与☆相对，2与▲相对。再根据乘积为1的两个数互为倒数，求出☆和▲的值，进而计算出☆×▲的结果。 【规范解答】因为1的倒数是1，所以☆＝1； 因为1÷2＝，即2的倒数是，所以▲＝。 ☆×▲＝1×＝ 2．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）下图中，涂色部分表示米的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【易错思路引导】“求一个数的几分之几是多少，用具体量乘分率”，据此方法，分别计算四个选项中涂色部分的具体数量，再与米比较，确定相等的选项。 【规范解答】 A．，表示求２米的是多少米。（米），与题干不相符。 B．，表示求３米的是多少米。（米），与题干不相符。 C．，表示求米的是多少米。（米），与题干不相符。 D．，表示求米的是多少米，（米），与题干相符。 涂色部分表示米的是。 3．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）在求“是多少”的过程中，画图表示不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【易错思路引导】根据分数乘分数的意义可知，算式表示先把一个单位“1”平均分成2份，取其中的一份，再把这1份看作单位“1”，将它平均分成4份，取这4份中的3份，据此逐项分析即可解答。 【规范解答】A．将线段平均分成2份，取其中1份，再将这1份平均分成4份，取其中3份，表示正确； B．图中千米，将其平均分成4份，取其中3份，表示正确； C．图中表示将长方形平均分成2份，取其中1份，表示不正确； D．图中表示将圆形平均分成2份，取其中1份，再将这1份平均分成4份，取其中3份，表示正确。 4．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）下面算式中，结果大于1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错思路引导】分别计算出四个乘法算式的结果，再与1比较大小，找出结果大于1的算式即可。 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数＜1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数≥1。 【规范解答】A．＝，结果小于1，不符合题意； B．，结果大于1，符合题意； C．＝1，结果等于1，不符合题意； D．，结果小于1，不符合题意。 5．（25-26六年级上·江苏泰州·期中）两根同样长的绳子，从第一根上先剪去米，再剪去余下的；从第二根上先剪去它的，再剪去米，两根都仍有剩余，则剪去部分（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较哪根长 【答案】B 【易错思路引导】这道题需明确带单位的具体长度“米”不带单位的分率“”的不同，通过计算两根绳子剪去的总长度，就能比较出长短。两根绳子原长相同，可以将原长设为米。第一根先剪固定长度米，再剪剩下部分的。第二根剪法：先剪原长的，再剪固定长度米。两次剪的意义完全不同，一个是具体的长度，一个是占某段长度的分率，应先分别写出两根绳子剪去总长度的算式，再对比两个算式的大小，就能确定哪根剪去的更长，据此解答。 【规范解答】根据分析： 设两根绳子的原长都是米（＞米）。 求第一根绳子剪去的总长度： 第一次剪：直接剪去米，此时绳子剩下的长度为：米。 第二次剪：米 剪去的总长度 米 求第二根绳子剪去的总长度： 第一次剪：剪去“原长的”，也就是剪去米。 第二次剪：直接剪去米。 剪去的总长度： 米 比较两根绳子剪去的长度 第一根：米，第二根：米 因，即 所以 所以剪去部分第二根长。 故答案为：B 【考点剖析】分数后面带单位是具体的量，数值固定不变；分数后面不带单位是分率，表示一个数占另一个数的比例，必须找到对应的“单位1”，才能算出具体长度。 6．（24-25六年级下·江苏苏州·期中）2只大桶和8只小桶装满油，正好是40升。已知每只小桶的容量是大桶的，每只大桶装油( )升。 【答案】 10 【易错思路引导】设每只大桶装油升。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，所以每只小桶装油升。所有小桶的装油总量＝每只小桶的装油量×小桶的数量，所有大桶的装油总量＝每只大桶的装油量×大桶的数量；根据等量关系“所有小桶的装油总量＋所有大桶的装油总量＝总油量”列出方程并求解。 【规范解答】解：设每只大桶装油升，每只小桶装油升。 即每只大桶装油10升。 7．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）弟弟把错当成进行计算，这样算出的结果与正确结果相差( )。 【答案】 【易错思路引导】根据乘法分配律展开中的小括号，再减去即可求出这样算出的结果与正确结果相差多少。 【规范解答】 即这样算出的结果与正确结果相差。 8．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）一根彩带长米，如果用去，还剩( )米；如果用去米，还剩( )米。 【答案】 【易错思路引导】把这根彩带的长度看作单位“1”，用去，剩下部分的长度占这根彩带总长度的（1－），剩下彩带的长度＝这根彩带的总长度×（1－）； 剩下彩带的长度＝这根彩带的总长度－用去部分的长度，据此解答。 【规范解答】×（1－） ＝× ＝（米） － ＝－ ＝（米） 所以一根彩带长米，如果用去，还剩米；如果用去米，还剩米。 9．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）有三堆围棋子，每堆棋子的枚数同样多，第一堆有是黑子，第二堆的白子与第三堆的黑子同样多，那么三堆中的白子共占三堆总数的，如果三堆中的黑子共有120枚，那么每堆棋子有（    ）枚。 【答案】； 【易错思路引导】（1）因为每堆棋子的枚数同样多，所以将三堆的总数看作单位“”。每堆就是总数的。因为“第一堆有是黑子”，所以第一堆的量被看作单位“”。第一堆的白子就是第一堆的，那么就是总量的。因为第二堆的白子和第三堆的黑子同样多，则两堆棋子中白棋子的个数和等于一堆棋子的个数。因此可知三堆中的白子共占三堆总数的几分之几。 （2）根据题意，把每堆棋子个数看作单位“1”，因为第二堆的白子和第三堆的黑子同样多，则两堆棋子中黑棋子的个数和等于一堆棋子的个数，所以有关系式：每堆棋子的个数，求单位“1”，用除法计算即可。 【规范解答】 三堆中的白子共占三堆总数的。 （枚） 每堆棋子有枚。 10．（24-25六年级上·江苏南京·期末）一名叫巴尔末的数学教师成功从光谱数据，，，，…中得到用于氢原子谱线波长的经验公式，从而打开了光谱奥秘的大门。按照这种规律，第7个数据是( )。 【答案】 / 【易错思路引导】分析光谱数据，，，，…，分子依次是9、16、25、36，对应32、42、52、62，可知第n个数的分子是（n＋2）2；分母依次是5、12、21、32，可用对应的分子减4得到。 当n＝7时，分子是（7＋2）2＝81，分母是对应分子减4，即81－4＝77。 【规范解答】当n＝7时， （n＋2）2 ＝（7＋2）2 ＝92 ＝81 81－4＝77 所以第7个数据是。 【考点剖析】分别观察分子、分母的规律，计算得到对应（第7个数据）的分子与分母，进而得到结果。 11．（24-25六年级下·江苏徐州·期中）计算下面各题，能简便的用简便方法运算（第③小题在○添上合适的符号，使算式可以简便计算，并算出结果） ①           ②           ③6○○ 【答案】①110；②15；③6××；1 【易错思路引导】①利用乘法结合律，将8.8拆分为8×1.1，先算12.5×8＝100，简化计算。 ②利用乘法分配律的逆运算，提取相同因数，简化计算。 ③在○中填入“×”和“×”，利用乘法结合律，先算×，简化计算。 【规范解答】①12.5×8.8 ＝12.5×（8×1.1） ＝（12.5×8）×1.1 ＝100×1.1 ＝110 ② ＝ ＝ ＝ ＝15 ③要让算式能简便运算，可以在○中填入“×”和“×”。 6×× ＝6×（×） ＝6× ＝1 12．（2025六年级上·广东广州·专题练习）先计算，再观察每组题目及结果，你发现了什么？               我发现了：___________________。 【答案】 ；；； 发现见详解 【易错思路引导】分数乘法法则：（1）分数与整数相乘，用整数与分子的积作为分子，分母不变；（2）分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母；（3）计算结果能约分的要约分。据此计算出每个算式的答案。 观察算式和相应的计算结果，即可确定积和原数的大小关系，也可以有其他发现，答案合理即可。 【规范解答】              我发现了：一个数（0除外），乘大于1的数，积比这个数大；一个数（0除外），乘小于1的数（0除外），积比这个数小。 （答案不唯一） 13．（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。 (2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ① ② 【答案】(1) (2)① ② 【易错思路引导】（1），可以写成； ，可以写成； ，可以写成； …… 由此可知，这类分数可以写成分母中第一个乘数的倒数减去第二个乘数的倒数的形式，即 ，据此解答。 （2）①直接应用 ，将写成，写成，写成…写成，消去中间项，得，计算可得结果。 ②已知6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5…72＝8×9，90＝9×10，将写成的形式，应用 ，消去中间项，得，计算可得结果。 【规范解答】（1） （2）① ② 【考点剖析】①本类题型适用于分子为1，分母为两个连续非0自然数乘积的分数连加运算，核心公式为 （n为非0自然数）。 ②遇到分母为非连续自然数乘积但可分解为两个连续自然数乘积的变式（如、），需先对分母分解因数，转化为 的形式，再消去中间项，最后计算出结果。 14．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）李阿姨的餐馆因诚信经营生意兴隆，又扩大了门面，为此花1600元添置了4张桌子和16把椅子。椅子的单价是桌子的，桌子和椅子的单价各是多少元？ 【答案】桌子200元；椅子50元 【易错思路引导】根据“椅子的单价是桌子的”，可以设桌子的单价为元，则椅子的单价为 元； 根据“花1600元添置了4张桌子和16把椅子”可得出等量关系：桌子的单价×桌子的数量＋椅子的单价×椅子的数量＝买桌子和椅子的总价，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设桌子的单价为元，则椅子的单价为 元。 4＋ ×16＝1600 4＋4＝1600 8＝1600 ＝1600÷8 ＝200 椅子的单价：200×＝50（元） 答：桌子的单价是200元，椅子的单价是50元。 15．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）春节将至，李婶打算给长方体形状的阳台花架做一圈装饰围布（不做底面和顶面），花架长米，宽米，高米，做这圈围布至少需要多少平方米的布料？（忽略接头处的损耗） 【答案】平方米 【易错思路引导】不做底面和顶面，就是求这个长方体的侧面积，长方体的侧面积＝（前面的面积＋左面的面积）×2。 【规范解答】 （平方米） 答：至少需要平方米的布料。 16．（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）学校六年级开展研学活动，去“坝陵河大桥”研学的有45人，去“红飘带”研学的是去“坝陵河大桥”的，去“天河潭”研学的是去“红飘带”研学的。提一个连乘的问题并解答。 【答案】有多少人去“天河潭”研学？ 27人 【易错思路引导】分数连乘，即连续求一个数的几分之几是多少的问题，有两个单位的“1”，可以提问：有多少人去“天河潭”研学？ 将去“坝陵河大桥”研学的人数看作单位“1”，去“坝陵河大桥”研学的人数×去“红飘带”研学的对应份数＝去“红飘带”研学的人数；再将去“红飘带”研学的人数看作单位“1”，去“红飘带”研学的人数×去“天河潭”研学的对应分率＝去“天河潭”研学的人数。 【规范解答】有多少人去“天河潭”研学？ （人） 答：有27人去“天河潭”研学。 17．（25-26六年级下·全国·课后作业）一架飞机所带的油料可供其飞行9小时，飞出去时，每小时行800km；返回时的速度是去时的。这架飞机最多飞出去多远就要返航？ 【答案】3360km 【易错思路引导】飞出去的路程和返回的路程相等，飞出去的速度×飞出去的时间＝返回的速度×返回的时间，据此解答。 【规范解答】设飞出去的时间为x小时，则返回的时间为（9－x）小时。 飞出去的路程：800x， 返回的路程：， 两者相等可列方程。 解：设这架飞机飞出去的时间为x小时。          4.2×800＝3360（km） 答：这架飞机最多飞出去3360千米远就要返航。 【考点剖析】飞出去的路程和返回的路程相等，列方程。 18．（2025·浙江杭州·小升初真题）鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁洛克斯三角形的周长就等于分米。你认为正确吗？请说明你的理由。 【答案】不正确；鲁洛克斯三角形的每条边是圆心角为60°、半径为5分米的圆弧，每条圆弧长为分米，总周长为分米，而非分米 【易错思路引导】因为等边三角形的每个内角为60°，所以每条圆弧对应的圆心角为60°，即圆心角为60°的圆弧占整个圆的。圆的周长为，即一条圆弧的长度为。这样的圆弧一共有三条，再将数值再乘3，即可得出这个鲁洛克斯三角形的周长，据此可判断出本题的说法是否正确。 【规范解答】（分米） ＝ （分米） （分米） 答：我认为说法不正确，因为鲁洛克斯三角形的每条边是圆心角为60°、半径为5分米的圆弧，每条圆弧长为分米，总周长为分米，而非分米。 【考点剖析】鲁洛克斯三角形的周长，本质上是三条等长圆弧之和。关键在于识别出每条圆弧的圆心（等边三角形的顶点）、半径（等边三角形的边长）和圆心角（等边三角形的内角，即60°）。 19．（25-26五年级上·山东·课后作业）弟弟的零用钱是姐姐的，如果姐姐给弟弟12元，那么弟弟的零用钱就是姐姐的。姐弟二人原来各有零用钱多少元？ 【答案】 姐姐252元；弟弟168元 【易错思路引导】设姐姐原来有零用钱x元，因为弟弟的零用钱是姐姐的，所以弟弟原有元；姐姐给弟弟12元后，姐姐的钱变为x−12元，弟弟的钱变为＋12元，此时弟弟的钱是姐姐的，据此列出方程（x−12）×＝＋12。 【规范解答】解：设姐姐原来有零用钱x元，则弟弟原来有零用钱元。 答：姐姐原来有252元，弟弟原来有168元。 【考点剖析】先根据原比例设未知数（设单位“1”的量为x），再表示出变化后的数量，最后依据新比例列出方程求解——本质是将“比的关系”转化为“等式方程”，把抽象的分数问题转化为具体的代数计算。 20．（25-26六年级上·江西上饶·月考）小明读一本书，已读的部分是未读的，如果再读24页，已读的部分是未读部分的。这本书一共多少页？ 【答案】288页 【易错思路引导】设第一次读书已读的部分为页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决，则未读部分为页；如果再读24页，则已读部分变成页，未读部分变成页，则未读部分乘即为已读部分，由此即可列方程并解，则即为这本书一共多少页。 【规范解答】解：设第一次读书已读的部分为页，则未读部分为（）页 答：这本书一共288页。 【考点剖析】可以根据读书页数的变化即可列方程求出总页数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第七单元 分数乘法『易错笔记培优讲练』 〔原卷版〕 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 模块二 易错点拨 思路指引 1、分数和整数相乘的意义和计算方法 （1）分数乘整数的意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，表示求几个相同加数的和的简便运算。 分数乘整数表示求几个几分之几相加，不是表示求几分之几个几相加。 （2）分数和整数相乘的计算方法 整数和分母约分后，要把整数约分后的结果和原来的分子相乘。 2、求一个数的几分之几是多少，用乘法计算 3、计算分数乘分数时，不能忘记分子与分子相乘，同时也不能忘记分母与分母相乘。 4、在已知条件较多的情况下，一定要分清哪些条件与所求问题有关，找准所乘分数对应的单位“1”。 5、计算分数乘法时，计算结果能约分的一定要约成最简分数。 6、互为倒数的两个数相互依存，不能单独存在，即2是倒数这种说法是错误的。 7、非0自然数都有倒数，即0没有倒数。 8、不能将互为倒数的两个数用等号连接。 9、因为假分数大于或等于1，所以它的倒数小于或等于1。 模块三 易错考点 讲练结合 高频易错考点一 分数乘整数的计算 【典例精讲】（25-26五年级上·山东·课后作业）脱式计算。 　　　　　　　　　　　         【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁·随堂练习）                   【变式训练2】（24-25六年级上·全国·单元复习）计算。 高频易错考点二 分数乘整数的实际应用 【典例精讲】（25-26六年级上·广西桂林·期末）9所学校邀请举行篮球比赛，每两个学校都要比赛一场，一共要比赛( )场。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏南京·期中） 3.02立方分米＝( )升( )毫升    小时＝( )分 1.2平方米＝( )平方分米    2.05公顷＝( )平方米 【变式训练2】（25-26五年级上·山东·课后作业）小红正在看一本180页的科普读物，第一天看了这本书的，第二天看了第一天的。小红第二天看了多少页？她第三天应从第几页看起？ 高频易错考点三 整数乘分数的计算 【典例精讲】2025六年级上·河南·专题练习）看图列式计算。 【变式训练1】（24-25五年级下·河北承德·期中）直接写出得数。                                                【变式训练2】（25-26六年级上·全国·随堂练习）脱式计算。          高频易错考点四 整数乘分数的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏盐城·期中）甲、乙、丙三堆围棋子各有60枚，甲堆中的白子和乙堆中的黑子同样多，丙堆中白子枚数占。三堆中共有白子多少枚？ 【变式训练1】（24-25六年级上·江苏盐城·期末）如图，在一个平行四边形中，丙的面积是90平方厘米，甲的面积占平行四边形面积的，甲的面积是( )平方厘米，乙的面积是( )平方厘米。 【变式训练2】（25-26六年级上·河南平顶山·期末）科学创客小组设计了甲、乙两个机器人，将它们放在相距8米的直线跑道两端，并遥控它们同时出发，相向而行。10秒后，甲走了全程的，乙走了全程的。这时两个机器人相距多少米？ 高频易错考点五 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】（25-26六年级上·广西钦州·期末）一袋米，第一天吃了这袋米的，第二天吃了剩下部分的，哪天吃的多？（    ）。 A．两天吃的一样多 B．第二天吃的多 C．第一天吃的多 【变式训练1】（25-26六年级上·江苏连云港·期末）小明有100枚邮票，他把自己邮票枚数的送给小丽后，两人的邮票枚数就相等了。小军说：“小明的邮票比小丽多20枚。”小军的说法对吗？为什么？（先画一画，再说理） 【变式训练2】（24-25六年级上·浙江温州·期末）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 高频易错考点六 分数乘分数的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏淮安·期中）计算下面各题。                           【变式训练1】（24-25五年级下·四川成都·期中）脱式计算。                                       【变式训练2】（24-25五年级下·广东深圳·期中）用你喜欢的方法计算，并写出计算过程。                          高频易错考点七 分数乘分数的实际应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个街心花园占地公顷，其中草坪占，花圃占地公顷，其余是人行道。人行道的面积是多少公顷？ 【变式训练1】（25-26六年级上·广东广州·期中）李叔叔每天的睡眠时间占全天时间的，每天的运动时间是睡眠时间的。李叔叔每天运动多少小时？（用两种方法解决） 方法一： 方法二： 【变式训练2】（24-25六年级上·江苏南通·期中）帆帆家到舅舅家的路程的是上坡路，是下坡路。她从家到舅舅家往返一次共走上坡路千米，帆帆从舅舅家回家时走了多少千米上坡路？ 高频易错考点八 分数乘小数的计算 【典例精讲】（25-26六年级上·山东菏泽·期中）看图列式计算。 【变式训练1】（25-26六年级上·全国·课后作业）算一算。（写出计算过程）                   【变式训练2】（24-25六年级上·甘肃陇南·期中）直接写出得数。                                                     高频易错考点九 分数乘小数的实际应用 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期中）花青素有助于缓解视觉疲劳，对预防近视、舒缓眼睛压力等都有一定的作用，葡萄里含有大量的花青素，妈妈买来一些葡萄重4.8kg，淘气吃了这些葡萄的，乐乐吃了剩下葡萄的。乐乐吃了多少千克葡萄？ 【变式训练1】（25-26六年级上·海南海口·期中）一辆运沙石的货车车厢是长方体，车厢的底面积是4.5平方米，装沙石的高度是米，如果每立方米沙石重吨，这车沙石重多少吨？ 【变式训练2】（25-26六年级上·海南海口·期中）一辆运沙石的货车车厢是长方体，车厢的底面积是4.5平方米，装沙石的高度是米，如果每立方米沙石重吨，这车沙石重多少吨？ 高频易错考点十 分数的连乘运算的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·河北邢台·期中）直接写得数。                                               【变式训练1】（23-24五年级上·山东泰安·期中）计算（要写出计算过程，能简算的要简算）。 ①       ②          ③ ④       ⑤          ⑥ 【变式训练2】（23-24五年级上·山东烟台·期中）脱式计算。（能简算的要简算） －－        －－＋      ＋＋ ＋＋     ××       ×× 高频易错考点十一 分数的连乘运算的实际应用 【典例精讲】（25-26六年级上·山西太原·期末）太原地铁二号线自运营以来，长风街站、大南门站、府西街站客运量稳居前三位，表明这些车站长期是客流热点。历史数据显示，开通百日时长风街站客运量达96万人次，大南门站的客运量是长风街站的，府西街站的客运量是大南门站的，府西街站的客运量是多少万人次？ 【变式训练1】（24-25六年级上·江苏盐城·期末）兔妈妈准备给孩子们到书店购买一套《数学童话故事）共16本。兔妈妈让孩子们先分别到三家书店看一下，到哪一家买比较划算？ 小灰兔说：“甲书店，每本《数学童话故事》要6元，现在搞促销可以按原价的出售。” “我是到乙书店，发现现在买10本免费送3本，不满10本的不赠送。每本单价也是6元。”小黑兔在一边说。 小白兔迫不及待地说：“我是到丙书店，促销的方式是买3本可赠送一本，每本《数学童话故事》的单价也是6元。” 请你根据信息算一算，兔妈妈到哪家书店买比较划算？ 【变式训练2】（25-26六年级上·河南周口·期中）为了让同学们深刻体会“边疆无小事，事事关国防”的责任与担当，培文小学组织学生去红星耀双河陈列馆开展爱国主义教育实践活动。全校共有900名学生，其中有的学生参与了此次活动，参与活动的男生人数占参与活动总人数的参与活动的男生有多少名？ 高频易错考点十二 连续求一个数的几分之几是多少的问题 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏南通·期末）充足的睡眠有利于儿童的生长发育，小学生每天的睡眠时间应不少于一天的，每天体育锻炼的时间应不少于睡眠时间的。明明今天体育锻炼了70分钟，( )达到最低体育锻炼时间（填“有”或“没有”）。请用计算说明理由：( )。 【变式训练1】（25-26六年级上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年4月23日是第30个世界读书日，我市开展了丰富多彩的读书主题活动。这一天新华书店新购进900册畅销图书，上午卖出了总数的，下午卖出的是上午的。 (1)下午卖出多少本图书？ (2)这一天卖出的图书占新购进图书的几分之几？ 【变式训练2】（24-25六年级上·浙江金华·期末）随着科技的发展，列车的速度不断提升，C字头列车最高时速是200千米，D字头列车的最高时速是C字头列车的，G字头列车的最高时速是D字头列车的，G字头列车的最高时速是多少千米？ 高频易错考点十三 因数和积的大小关系（分数乘法) 【典例精讲】（24-25六年级上·河南周口·期末）若a，b，c都大于0，且a×＝b×＝c×，下面正确的是（    ）。 A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c 【变式训练1】（24-25六年级上·宁夏吴忠·期末）甲数的正好与乙数的相等，且两个数都不等于0，则甲数（    ）乙数。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【变式训练2】（25-26六年级上·北京大兴·期中）下面四个算式的积，（    ）在和之间。 A． B． C． D． 高频易错考点十四 倒数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏连云港·期末）下面四个说法正确的有（    ）个。 （1）0既不是正数也不是负数。 （2）两个面积相等的梯形一定能拼成一个平行四边形。 （3）真分数的倒数都大于1。 （4）在一个数的末尾添上0或者去掉0，这个数的大小不变。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26六年级上·江苏无锡·期末）如图为一个正方体纸盒展开图，要使它折叠成正方体后，相对的面上的两个数互为倒数，则★是（    ）。 A．2 B． C． D．1 【变式训练2】（25-26六年级上·四川泸州·期末）下面关于倒数的说法正确的有（    ）个。 ①1的倒数是1，0的倒数是0。 ②因为，所以0.875的倒数是。 ③真分数的倒数都大于1。 ④因为，所以，，互为倒数。 A．1 B．2 C．3 高频易错考点十五 与倒数有关的综合计算 【典例精讲】（25-26五年级上·山东淄博·期中）( )( )( )( )。 【变式训练1】（25-26六年级上·河南南阳·期中）如果（m、n均不为0），那么m＞n。( )（判断对错） 【变式训练2】（25-26六年级上·江苏宿迁·期中）的倒数是( )，0.4与它的倒数相差( )。 高频易错考点十六 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·课后作业）两个自然数的和是5，它们的倒数和是，这两个自然数分别是( )和( )。 【变式训练1】（24-25六年级上·湖南邵阳·期中）一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数是( )。 【变式训练2】（24-25六年级上·四川资阳·期末）一个自然数与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 模块四 易错真题 提升训练 1．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）下图是一个正方体的展开图，正方体的每个面上都有一个数，且相对的两个面上的数互为倒数。那么☆×▲的结果是（    ）。 A． B． C． 2．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）下图中，涂色部分表示米的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）在求“是多少”的过程中，画图表示不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）下面算式中，结果大于1的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·江苏泰州·期中）两根同样长的绳子，从第一根上先剪去米，再剪去余下的；从第二根上先剪去它的，再剪去米，两根都仍有剩余，则剪去部分（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较哪根长 6．（24-25六年级下·江苏苏州·期中）2只大桶和8只小桶装满油，正好是40升。已知每只小桶的容量是大桶的，每只大桶装油( )升。 7．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）弟弟把错当成进行计算，这样算出的结果与正确结果相差( )。 8．（25-26六年级上·河南平顶山·期末）一根彩带长米，如果用去，还剩( )米；如果用去米，还剩( )米。 9．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）有三堆围棋子，每堆棋子的枚数同样多，第一堆有是黑子，第二堆的白子与第三堆的黑子同样多，那么三堆中的白子共占三堆总数的，如果三堆中的黑子共有120枚，那么每堆棋子有（    ）枚。 10．（24-25六年级上·江苏南京·期末）一名叫巴尔末的数学教师成功从光谱数据，，，，…中得到用于氢原子谱线波长的经验公式，从而打开了光谱奥秘的大门。按照这种规律，第7个数据是( )。 11．（24-25六年级下·江苏徐州·期中）计算下面各题，能简便的用简便方法运算（第③小题在○添上合适的符号，使算式可以简便计算，并算出结果） ①           ②           ③6○○ 12．（2025六年级上·广东广州·专题练习）先计算，再观察每组题目及结果，你发现了什么？               我发现了：___________________。 13．（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。 (2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ① ② 14．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）李阿姨的餐馆因诚信经营生意兴隆，又扩大了门面，为此花1600元添置了4张桌子和16把椅子。椅子的单价是桌子的，桌子和椅子的单价各是多少元？ 15．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）春节将至，李婶打算给长方体形状的阳台花架做一圈装饰围布（不做底面和顶面），花架长米，宽米，高米，做这圈围布至少需要多少平方米的布料？（忽略接头处的损耗） 16．（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）学校六年级开展研学活动，去“坝陵河大桥”研学的有45人，去“红飘带”研学的是去“坝陵河大桥”的，去“天河潭”研学的是去“红飘带”研学的。提一个连乘的问题并解答。 17．（25-26六年级下·全国·课后作业）一架飞机所带的油料可供其飞行9小时，飞出去时，每小时行800km；返回时的速度是去时的。这架飞机最多飞出去多远就要返航？ 18．（2025·浙江杭州·小升初真题）鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁洛克斯三角形的周长就等于分米。你认为正确吗？请说明你的理由。 19．（25-26五年级上·山东·课后作业）弟弟的零用钱是姐姐的，如果姐姐给弟弟12元，那么弟弟的零用钱就是姐姐的。姐弟二人原来各有零用钱多少元？ 20．（25-26六年级上·江西上饶·月考）小明读一本书，已读的部分是未读的，如果再读24页，已读的部分是未读部分的。这本书一共多少页？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $