4.2提公因式法（第2课时提公因式为单项式的公因式）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

4. 2 提公因法 导学案 第2课时 提公因式为多项式的因式分解 1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解. 2.能运用整体思想进行因式分解. 学习重点：掌握提公因式的思路与步骤. 学习难点：在变形后识别潜在整体公因式，并正确提取. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.我们把多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式. 2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式 ，将多项式化成两个因式 的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 情景引入 思考：下面的多项式有公因式吗？ （1）a(x-y)-b(x-y); （2）2a(b+c)-3(b+c); （3）a(x-3)+2b(x-3); （4）y(x+1)+. 以上多项式有公因式，并且是多项式形式，那么怎样因式分解呢？ 新知自研：自研课本第114--115页随堂练习上面的内容． 【学法指导】 自研课本第114--115页随堂练习上面的内容，思考： ●探究一：公因式是多项式的因式分解 ◆1.尝试交流 把下列各式因式分解: （1）a(x-3)+2b(x-3) ； （2）y(x+1)+. ◆2.新知归纳 提公因式法的基本步骤： (1)找出公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个 的形式. (2)提公因式并确定另一个因式. 注意：整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. ◆3.练一练 把5(a-b)+m(a-b)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是(　　) A.5+m B.5-m C.-5+m D.-5-m ●探究二：变形后公因式是多项式的因式分解 ◆1. 尝试交流 把下列各式分解因式. （1）a(x-y)+b(y-x)； （2）. ◆2.知识归纳 提公因式法因式分解的步骤： (1)观察； (2) ； (3)确定 ； (4)提取公因式. ◆3.练一练 把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)·(8b-7a)分解因式的结果是(　　) A.8(7a-8b)(a-b) B.2 C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b) ◆4.思考交流 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流. 1.公因式必须是多项式的每一项都含有的因式，公因式的系数取 ，相同字母取 次幂； 2.多项式既可以是单项式也可以是 ，还可以是多项式幂的形式，注意符号变形； 3.首项为负，通常先提 ； 4.公因式要提干净，分解到不能 为止； 5.最后检验是否正确时，可以按照 把因式乘回去检验. ●探究三：提公因式法因式分解的应用 ◆1.尝试思考 如图所示，有三张不同型号的长方形卡片。 (1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗? (2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗? (3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解?你是怎样想的? 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1：把下列各式因式分解： (1)m(m-5)+2(m-5); (2)+y(y-x)；  (3)(a+b)(a-b)-a-b. 例2:先因式分解，再求值：4(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨多项式中公因式是多项式的如何利用提公因式法分解因式； B.探讨如何用提公因式法解决因式分解的应用问题. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结方法. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.因式分解 时应提取的公因式是(　　) A. B. C. D. 以上都不对 2.将 因式分解，应提的公因式是(　　) A. B. C. D. 3.把多项式 因式分解，结果正确的是(　　) A. B. C. D. 4.若 ，则 的值是(　　) A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 5.把式子 因式分解，结果是(　　) A. B. C. D. 6.若 ，则 等于(　　) A. B. C. D. 7.因式分解：=_____. 8.把多项式 提取公因式 后, 余下的部分是____. 9.已知 ，则 _____. 10.已知 则 _____. 11.把下列各式进行因式分解： 12.请仔细观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别用两种方法因式分解的过程: 甲:am+an+bm+bn =(am+an)+(bm+bn)(分成两组) = a(m+n)+b(m+n)(提公因式) =(m+n)(a+b)。 乙:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)(分成两组) = m(a+b)+n(a+b)(提公因式) =(a+b)(m+n)。 运用他们提供的因式分解的方法,把下面的多项式因式分解: （1） （2） 题型一：确定公因式----多项式 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是______． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）与的公因式是________． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）与的公因式是______． 6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式和的公因式是______． 题型二：提公因式为多项式的因式分解 7．（25-26八年级上·重庆·月考）多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·天津·期末）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是( ) A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 10．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 11．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解 (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：提公因式为多项式的因式分解的应用 13．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 14．（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求代数式的值． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，利用因式分解求的值． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． ▲1、提公因式法的基本步骤： (1)找出公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个 的形式. (2)提公因式并确定另一个因式. ▲２、利用提公因式法进行因式分解常用技巧： 1.公因式必须是多项式的每一项都含有的因式，公因式的系数取 ，相同字母取 次幂； 2.多项式既可以是单项式也可以是 ，还可以是多项式幂的形式，注意符号变形； 3.首项为负，通常先提 ； 4.公因式要提干净，分解到不能 为止； 5.最后检验是否正确时，可以按照 把因式乘回去检验. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4. 2 提公因法 导学案 第2课时 提公因式为多项式的因式分解 1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解. 2.能运用整体思想进行因式分解. 学习重点：掌握提公因式的思路与步骤. 学习难点：在变形后识别潜在整体公因式，并正确提取. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积 的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 情景引入 思考：下面的多项式有公因式吗？ （1）a(x-y)-b(x-y); （2）2a(b+c)-3(b+c); （3）a(x-3)+2b(x-3); （4）y(x+1)+. 解：x-y，b+c，x-3，y(x+1) 以上多项式有公因式，并且是多项式形式，那么怎样因式分解呢？ 新知自研：自研课本第114--115页随堂练习上面的内容． 【学法指导】 自研课本第114--115页随堂练习上面的内容，思考： ●探究一：公因式是多项式的因式分解 ◆1.尝试交流 把下列各式因式分解: （1）a(x-3)+2b(x-3) ； （2）y(x+1)+. 解：（1）a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b); （2）y(x+1)+ ＝y(x+1) [1+y(x+1)] ＝y(x+1) (xy+y+1). ◆2.新知归纳 提公因式法的基本步骤： (1)找出公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. (2)提公因式并确定另一个因式. 注意：整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. ◆3.练一练 把5(a-b)+m(a-b)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是(　　) A.5+m B.5-m C.-5+m D.-5-m 解：A ●探究二：变形后公因式是多项式的因式分解 ◆1. 尝试交流 把下列各式分解因式. （1）a(x-y)+b(y-x)； （2）. 解：(1)a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) = (x-y)(a-b); (2) =6 -12 = 6-12 =6(m-n-2) ◆2.知识归纳 提公因式法因式分解的步骤： (1)观察； (2)适当变形； (3)确定公因式； (4)提取公因式. ◆3.练一练 把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)·(8b-7a)分解因式的结果是(　　) A.8(7a-8b)(a-b) B.2 C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b) 解：(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) ＝(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)·(7a -8b) ＝(7a-8b)［(3a-4b) -(11a-12b)］ ＝(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) ＝(7a-8b)(-8a+8b) ＝8(7a-8b)(b-a). 选C ◆4.思考交流 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流. 1.公因式必须是多项式的每一项都含有的因式，公因式的系数取最大公约数，相同字母取最低次幂； 2.多项式既可以是单项式也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式，注意符号变形； 3.首项为负，通常先提负号； 4.公因式要提干净，分解到不能再分解为止； 5.最后检验是否正确时，可以按照整式乘法把因式乘回去检验. ●探究三：提公因式法因式分解的应用 ◆1.尝试思考 如图所示，有三张不同型号的长方形卡片。 (1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗? 解：能，选择前两张卡片能拼成长方形，如下图所示. (2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗? 解：能，拼成的长方形如下图所示. (3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解?你是怎样想的? 解：(1)中由拼图可得an+bn=n(a+b). (2)中由拼图可得an+bn+(a+b)m=(m+n)(a+b). 同一个图形，由两种不同的面积表示形式建立等量关系，从而得到多项式的因式分解结果. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1：把下列各式因式分解： (1)m(m-5)+2(m-5); (2)+y(y-x)；  (3)(a+b)(a-b)-a-b. 解:(1)m(m-5)+2(m-5)        ＝(m-5)(m+2). (2)方法1：+y(y-x)        ＝-y(x-y)        ＝(x-y)(x-y-y)       ＝(x-y)(x-2y). 方法2：+y(y-x)        ＝+y(y-x)        ＝(y-x)(y-x+y)       ＝(y-x)(2y-x). (3)(a+b)(a-b)-a-b ＝(a+b)(a-b)-(a+b) ＝(a+b)(a-b-1) 例2:先因式分解，再求值：4(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3. 解:原式=(x+7)(4-3). 当a=-5,x=3时, 原式=(3+7)×[4×-3]=970. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨多项式中公因式是多项式的如何利用提公因式法分解因式； B.探讨如何用提公因式法解决因式分解的应用问题. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结方法. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.因式分解 时应提取的公因式是(　　) A. B. C. D. 以上都不对 解:C 2.将 因式分解，应提的公因式是(　　) A. B. C. D. 解:D 3.把多项式 因式分解，结果正确的是(　　) A. B. C. D. 解:C 4.若 ，则 的值是(　　) A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 解:A 5.把式子 因式分解，结果是(　　) A. B. C. D. 解:A 6.若 ，则 等于(　　) A. B. C. D. 解:C 7.因式分解：=_____. 解:(x-2)(x-1)　　　　　 8.把多项式 提取公因式 后, 余下的部分是____. 解:(m+2) 9.已知 ，则 _____. 解:0 10.已知 则 _____. 解:15 11.把下列各式进行因式分解： 解:(1) x(a+b)+y(a+b)＝(a+b)(x+y)； (2) 3a(x-y)-(x-y)＝(x-y)(3a-1)； (3) 6-12(q+p)＝6(p+q)(p+q-2)； (4)p-q＝(p-q)； (5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a) ＝a(x-a)-b(x-a)-c(x-a) ＝(x-a)(a-b-c). 12.请仔细观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别用两种方法因式分解的过程: 甲:am+an+bm+bn =(am+an)+(bm+bn)(分成两组) = a(m+n)+b(m+n)(提公因式) =(m+n)(a+b)。 乙:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)(分成两组) = m(a+b)+n(a+b)(提公因式) =(a+b)(m+n)。 运用他们提供的因式分解的方法,把下面的多项式因式分解: （1） 解：(1)(方法一)ab-ac+bc- =(ab-ac)+(bc-) =a(b-c)-b(b-c) =(b-c)(a-b)。 (方法二)ab-ac+bc- =(ab-)+(bc-ac) =b(a-b)+c(b-a) =b(a-b)-c(a-b) =(a-b)(b-c)。 （2） 解：(2)(方法一)+5n-mn-5m =(-mn)+(5n-5m) =m(m-n)+5(n-m) =m(m-n)-5(m-n) =(m-n)(m-5)。 (方法二)+5n-mn-5m =(-5m)+(5n-mn) =m(m-5)+n(5-m) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)。 题型一：确定公因式----多项式 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是______． 【答案】 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母或多项式因式的最低指数次幂，从而确定公因式即可． 本题主要考查了公因式，解题关键是熟练掌握公因式的定义． 【详解】解：与公因式是， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）与的公因式是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的公因式，把两个多项式分解因式后即可得解． 【详解】解：，，则公因式为； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）与的公因式是______． 【答案】 【分析】本题考查公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 利用平方差公式将进行因式分解，即可解答． 【详解】解：， 与的公因式是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式和的公因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 题型二：提公因式为多项式的因式分解 7．（25-26八年级上·重庆·月考）多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 8．（25-26八年级上·天津·期末）把提公因式后一个因式是，则另一个因式是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键．适当变形后提公因式，可得答案． 【详解】解：原式， 另一个因式是， 故选：A． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 10．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 11．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三：提公因式为多项式的因式分解的应用 13．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 14．（25-26七年级下·陕西西安·月考）若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解和整体代入求值的知识点，掌握先因式分解再整体代入的方法，可避免解复杂的二元一次方程组，简化计算过程． 先对代数式提取公因式进行因式分解，再将括号内的式子化简，最后利用已知条件和整体代入求值． 【详解】解：原式 ． ，， 原式． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，利用因式分解求的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握提取公因式将代数式转化为含已知条件的形式是解题的关键． 观察代数式结构，提取公因式，化简后转化为含和的形式，再代入已知条件求值． 【详解】解：原式． ，， 原式． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，掌握先提取公因式化简代数式，再代入数值计算，简化运算过程是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后化简代数式，再代入数值计算 （2）先将变形为，使两项出现公因式，提取公因式后化简，再代入数值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． 当，，时， 原式 ． ▲1、提公因式法的基本步骤： (1)找出公因式：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. (2)提公因式并确定另一个因式. ▲２、利用提公因式法进行因式分解常用技巧： 1.公因式必须是多项式的每一项都含有的因式，公因式的系数取最大公约数，相同字母取最低次幂； 2.多项式既可以是单项式也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式，注意符号变形； 3.首项为负，通常先提负号； 4.公因式要提干净，分解到不能再分解为止； 5.最后检验是否正确时，可以按照整式乘法把因式乘回去检验. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $