4.3 公式法（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解 √知识梳理 运用平方差公式因式分解 a2-b2= 当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一 解题策略 步因式分解 √针对训练 1.下列多项式中，能用平方差公式因式分 (3)(x十3)2-(x-5)2; 解的是 ( A.a2-1 B.-a2-1 C.a2+1 D.a2+a 2.把4x2一9y2因式分解正确的是( ) A.(4x+y)(x-9y) B.(3x+2y)(3x-2y) (4)x2(x-1)-16(x-1). C.(2x+9y)(2x-y) D.(2x+3y)(2x-3y) 3.若多项式a2+b2十m可以运用平方差公 式因式分解，则m可以是 ( ) A.2bc B.-2ab C.362 D.-5b2 6.如图，在边长为acm的正方形纸片上剪 4.因式分解： 去一个边长为bcm的小正方形. (1)m2-25= (1)求图中阴影部分的面积；（用含a,b 的式子表示) (2)3x2-12= (2)若a=6.75,b=3.25,求图中阴影部 5.把下列各式因式分解： 分的面积. (1)25-7m, (2)x3-9xy2; ·24· 第2课时运用完全平方公式因式分解 √知识梳理 运用完全平方 a2+2ab+b2= ,a2-2ab+b2= 公式因式分解 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解， 公式法 这种因式分解的方法叫作公式法 运用公式法的前提是符合平方差或完全平方式的一般形式（有时需要变形）；公式 解题策略 法通常与提公因式法综合使用 √针对训练 1.若y2一8y十m是一个多项式的平方，则 (2)9x2-6xy+y2; m的值为 ( A.2 B.4 C.8 D.16 2.分解因式4y2+4y+1的结果正确的是 (3)-4x2y+8xy2-4y3; ( A.(2y+1)2 B.(2y-1)2 C.(4y+1)2 D.(4y-1)2 3.分解因式a2b-2ab十b的结果正确的是 (4)(m2十n2)2-4m2n2. A.b(a2-2a) B.ab(a-2) C.b(a2-2a+1) D.b(a-1)2 4.下列因式分解正确的是 A.ab+ac+a=a(b十c) 6.已知a十6=2，ab=10,求2a6+a26+ B.a2-4b2=(a+4b)(a-4b) 司a的值。 C.9a2+6a+1=3a(3a+2)+1 D.a2-4ab+4b=(a-2b)2 5.把下列各式因式分解： (1)m2-10m+25; ·25·5 0 4 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 知识梳理 整式1 针对训练 1.B2.B3.A4.5 5.解：(1)移项、合并同类项，得2x≥4.两边都除以2，得x≥2.这个不等式的解集在数 轴上的表示如图所示. -1012345→ (2)移项、合并同类项，得一3x>9.两边都除以一3，得x<一3.这个不等式的解集在数 轴上的表示如图所示。 -5-4-3-2-1012 (3)去括号，得5x一5<4+2x.移项、合并同类项，得3x<9.两边都除以3，得x<3.这 个不等式的解集在数轴上的表示如图所示， 101234 (4)去分母，得18一3(x一2)≤2x.去括号，得18一3x+6≤2x.移项、合并同类项，得 5≤一24.两边都除以-5，得≥兽这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 24 5 10123456 第2课时一元一次不等式的应用 针对训练 1.A2.D3.434.4 5.解：设商店老板每辆自行车可以降价x元.根据题意，得720一x一400≥400×40%， 解得x160.答：商店老板每辆自行车最多可以降价160元. 6.解：设需借调x名工人.根据题意，得5×10×10+(30一10)×10(x十5)>2000，解 得x>2.5..x为整数，∴.x的最小值为3.答：至少需借调3名工人。 3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数 知识梳理 (1)x>c(2)x=c(3)x<c 针对训练 1.C2.A3.x>-1 （y=2x, 3 4.解：(1)联立 ,解得区=云'点A的坐标为（号，3）(2)不等式2x≥ y=3. 2十4的解集为≥是 .2 第2课时一元一次不等式与一次函数的应用—选择方案 针对训练 1.B 2.(1)(0.9x+10)(0.95x+2.5)(2)①100<x150②150③x>150 3.解：(1)设y甲=k1x.把(5,100)代入，得5k1=100,解得k1=20..y甲=20x.设yz= k2x+100.把(20,300)代入，得20k2+100=300,解得k2=10.∴.yz=10x+100.(2)由 y甲<yz,得20x<10x+100,解得<10；由ym=yz,得20x=10x+100,解得x=10; 由y甲>yz,得20x>10x十100，解得x>10.综上所述，当入园次数小于10次时，选择 甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数 -43 大于10次时，选择乙消费卡比较合算。 4一元一次不等式组 知识梳理 公共部分a<x<b无解 针对训练 1.D2.D3.24.m1 5.解：(1)解不等式①，得x≥2.解不等式②，得x>一2.'.原不等式组的解集是x≥2 解集在数轴上的表示如图所示 -4-3-2-101234 (2)解不等式①，得x>1.解不等式②，得x≤4..原不等式组的解集是1<x≤4.解 在数轴上的表示如图所示， -1012345 第三章图形的平移与旋转 1图形的平移 第1课时平移的概念、性质及作图 针对训练 1.C2.C3.34.26 5.解：如图，五边形FGHPQ即为所求 第2课时沿x轴或y轴方向一次平移的坐标变化 针对训练 1.A2.C3.(1,2)4.(3,2) 第3课时沿x轴或y轴方向两次平移的坐标变化 针对训练 1.D2.先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度（答案不唯一） 3.解：(1)如图所示.(2)四边形A'B'C'D'如图所示，A(-1,2),B(4,2),C(5 5),D'(0,5). 2图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 针对训练 1.C2.D3.75°20°34.29° 第2课时旋转作图 针对训练 1.B2.90° 3.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)A1(4,-2),B1(4,0),C1(1,1). -44 5-43-2 第3课时中心对称 针对训练 1.B2.C3.3 4.解：如图，四边形A'BCD'即为所求. D 3简单的图案设计 针对训练 1.B2.B3.轴对称旋转平移 4.图形①绕点D顺时针旋转90°，再向下平移3个小方格得到图形②（答案不唯一） 第四章因式分解 1因式分解 针对训练 1.B2.C3.a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b) 4.解：由题意可知x2-4x十m=(x十a)(x-6),即x2-4x十m=x2十(a-6)x-6a. /0-6=-4 -6a=m, 解得=2， m=-12. 2提公因式法 第1课时提公因式为单项式的因式分解 针对训练 1.A2.C3.C4.-1 5.解：(1)原式=-5x(1-y).(2)原式=2ab(a-2b).(3)原式=一x(xy-y十z).(4)原 式=3ab(2+2b-4).(5)原式=x2y(1-2y2-3x). 第2课时提公因式为多项式的因式分解 针对训练 1.A2.A 3.解：(1)原式=(x-y)(2m-3n).(2)原式=x(a-b)-y(a-b)+3(a-b)=(a-b)(x -y十3).(3)原式=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)=(a-3)(a-1).(4)原式= 2xy(x+y)[2(x+y)-3x]=2xy(x+y)(2y-x). 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 知识梳理 (a+b)(a-b) 针对训练 1.A2.D3.D4.(1)(m+5)(m-5)(2)3(x+2)(x-2) 5.解：1)原式=(5+2m）)(5-合m）(2)原式=x(x-9)=z(x+3)(x-30. (3)原式=(x+3+x-5)(x+3-x+5)=(2x-2)×8=16(x-1).(4)原式=(x- 45 1)(x2-16)=(x-1)(x+4)(x-4). 6.解：(1)图中阴影部分的面积为a2-b2.(2)当a=6.75,b=3.25时，a2-2=(a十 b)(a一b)=(6.75+3.25)×(6.75-3.25)=35(cm2).即图中阴影部分的面积为 35cm2. 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识梳理 (a+b)2(a-b)2 针对训练 1.D2.A3.D4.D 5.解：(1)原式=(m-5)2.(2)原式=(3x-y)2.(3)原式=-4y(x2-2xy+y2)= -4y(x-y)2.(4)原式=(m2+n2+2mn)(m2+n2-2mn)=(m十n)2(m-n)2. 6.解：原式=号cbc2+2ab+8)=合6(a+0.当a+6=2,ab=10时，原式-号×10 ×22=20. 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的有关概念 针对训练 1.c2.D3.1-52241号(2)-15.62。 第2课时分式的基本性质 针对训练 1.A2.C3.(1)10a2b(2)3y(3)2a2+2ab 4.解：(1)原式=- x(x-5) a(2)原武三二(x十5)(x-5)-x十5 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 知识梳理 分子分母 bd 颠倒位置 ac 乘方 ad 针对训练 1.A2.B3.D 4解：1原式益·()=萄2原式-号·()·兰=一号3)原式 9ab2 5(a-b)=15b -(a+b)(a-b 3a6aa(④)原式-t22.x+32-x+y 4x(x+3y) x一y Ax 第2课时同分母分式的加减法 针对训练 1.C2.A 3熊：1原式=2“》-会=号(2)原式=司-+品 a(a+2)aa+2=a·《3原式、 3m+n_2m+m-3m十n=2m-m=二n+2m=-1. n-2m n-2m n-2m n-2m 第3课时异分母分式的加减法 针对训练 1.C2.- 2 x(x+2)3. .m(m+1) 4ab 3ab 7ab 7 4.解：1D原式=10+102-0=10ab(2)原式=2a+3+a+3a-3 1 3 a-3+6 1 =2(a+3)(a-3)2a-6 46 第4课时分式的混合运算 知识梳理 乘方最简分式 针对训练 1.A2.A 3.解：(1)原式=a1÷2a-1=a-1. a2 2。层·2a气岩。2)原式-》.3生 3-x a十2-3 .a(a+2)=a-1 .a(a+2)=a =3-x.(3)原式=a千2)a°2)·a-1=a+2)a-2万、a-1a-2 4解：原式=(a2-)中20=”含·号=-og3》 a-3 a-2 2(a-2)=-2(a+3)=-2a-6.当a=-1时，原式=-2×(-1)-6=-4. a-3 3分式方程 第1课时分式方程的概念 知识梳理 未知数 针对训练 1.D2c3B46-19×号 5,解根据愿意，得的+。-9. 第2课时分式方程的解法 知识梳理 最简公分母00 针对训练 1.C2.B3.A4.C 5.解：(1)方程的两边都乘2x(x十3)，得x十3=4x.解这个方程，得x=1.经检验，x=1 是原方程的根.(2)方程的两边都乘2(2x一1)，得2=2x一1一3.解这个方程，得x=3. 经检验，x=3是原方程的根.(3)方程的两边都乘x一2，得3(x一2)一(x一1)=一1.解 这个方程，得x=2.经检验，x=2是原方程的增根.∴原方程无解.(4)方程的两边都乘 (x十1)(x一1)，得(x十1)十2=（x十1)(x一1).解这个方程，得x=一2.经检验，x= 一2是原方程的根. 第3课时分式方程的应用 针对训练 1.A2.A3.(1)800。=60800_600=10(2)304.5 x+10 yy 5解：设乙小区有z户住户，则甲小区有(3x+25)户住户.根据题意，得35-1四， 解这个方程，得x=50.经检验，x=50是所列方程的根，且符合题意..3x十25=175. 答：甲小区有175户住户，乙小区有50户住户. 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、角的性质 知识梳理 平行对角线相等相等 针对训练 1.D2.C3.C4.D5.(5,3) 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD.,.∠BAE=∠DCF ,BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90°.在△ABE和△CDF中， r∠BAE=∠DCF, ∠AEB=∠CFD,∴.△ABE≌△CDF(AAS)..AE=CF. AB=CD, 47- 第2课时平行四边形的对角线的性质及梯形 知识梳理 互相平分不平行底上底下底腰相等相等 针对训练 1.B2.A3.C4.33 5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥CB,AG=CG.·∠EAG=∠FCG. 又，∠AGE=∠CGF,∴.△AEG≌△CFG(ASA).,GE=GF.(2)解：.EF=GE+GF -6.GE-GF,GF-EF-3.CF-4.ZGFC-90CG-GPFCP-5. ∴.AC=2CG=10. 2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 知识梳理 相等平行且相等 针对训练 1.C2.C3.A4.C5.4 6.(1)证明：，AF=CD,'.AF+CF=CD+CF,即AC=DF.在△ABC和△DEF中， AB=DE, BC=EF,.△ABC≌△DEF(SSS).∴.∠ACB=∠DFE.(2)解：四边形BFEC是平 AC-DF, 行四边形.理由如下：由(1)可知∠ACB=∠DFE,∴.BC∥EF.又，BC=EF,.四边形 BFEC是平行四边形， 第2课时平行四边形的判定定理3 知识梳理 互相平分 针对训练 1.D2.A3.对角线互相平分的四边形是平行四边形4.42 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.BE=DF,.OB一BE =OD-DF,即OE=OF.∴.四边形AECF是平行四边形. 第3课时平行线之间的距离及平行四边形的判定与性质的综合 知识梳理 相等相等 针对训练 1.B2.D3.B4.D 5.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD.BF∥DE,.∠OFB= ∠OFB=∠OED, ∠OED.在△BFO和△DEO中，∠FOB=∠EOD,.△BFO≌△DEO(AAS). OB=OD, (2)△BFO≌△DEO,∴.OF=OE.又.OB=OD,.四边形BFDE是平行四边形. 3三角形的中位线 知识梳理 中点平行 一半 针对训练 1.C2.C3.C4.C5.55 6.证明：连接AG.,BD,CE为△ABC的中线，M,N分别为BG,CG的中点，∴.EM为 △ABG的中位线，DN为△ACG的中位线.EM∥AG,EM=AG,DN∥AG,DN= AG..EM/DN.EM-DN. -48