4.2提公因式法（第1课时提公因式为单项式的公因式）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

4.2提公因式法 导学案 第1课时 提公因式为单项式的因式分解 1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题. 2.能简单运用提公因式法进行因式分解. 3.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想. 学习重点：找出公因式并提取. 学习难点：灵活处理负号以及确保公因式“提尽”. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为“ ”。 2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是 的变形，即 ，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. 情景引入： 问题：观察下列各算式有什么共同的特点？ （1） 5×3+5×(-6)+5×2； （2）2πR+2πr； （3）ma+mb； （4）cx-cy+cz. 回答：公共特点： 思考：你能尝试将(2)~(4)式分别写成几个因式的乘积吗？ 新知自研：自研课本第115的例题2--116页的内容． 【学法指导】 自研课本第115的例题2--116页的内容，思考： ●探究一：公因式的定义 ◆1.观察交流 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式呢？多项式 呢？ 你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？并与同伴进行交流. ◆2.新知探究 教师提问：找 3– 6 x y 的公因式. ◆3.知识归纳 ①公因式的定义： 我们把多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的 . 如b就是多项式ab+bc各项的公因式. ②正确找出多项式各项公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 . 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的 的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中 的一个，即字 幂. ◆4.练一练 多项式6ac-3bc+12中各项的公因式是(　　) A.abc 　　　　　 B.3 　　　　　 C.3c 　　　　　 D.3ab ●探究二：提公因式因式分解 ◆1.尝试交流 (1)多项式2+6中各项的公因式是什么？ (2)你能尝试将多项式2+6因式分解吗？与同伴进行交流. ◆2.知识归纳 提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式 ，将多项式化成两个 的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. pa+ pb +pc=p( ) ◆3.尝试思考 分解因式：8 + 12ac. 思考：如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？ ◆4.例题探究 例 把下列各式因式分解： (1)2mn+4; (2)7-21p; (3)8-12ac+ab; (4)-24+12-28x. 【注意】当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 . 【注意】当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“ ”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要 . ◆5.知识归纳 提公因式法因式分解的注意事项： 1.分解因式是一种 变形； 2.公因式要提尽； 3.不要 ； 4.提负号，要注意 . ◆6.练一练 下列多项式因式分解正确的是（　　） A. 8abx-12=4abx(2-3ax) B. -6+6-12x=-6x(-x+2) C. 4-6xy+2x=-2x(2x-3y) D. -3y+9ay-6y=-3y(+3a-2) ◆7.思考交流 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？与同伴进行交流. 提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为 . 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1把下列多项式因式分解： ； 例2已知 求 的值。 【方法总结】含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行 ，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值 带入即可. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨什么是公因式，如何用提公因式法提公因式是单项式的因式分解； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调解题方法. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.多项式 各项的公因式是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 2.多项式 可分解为 ，则 表示的整式为(　　) A.　 B. C. D. 3.计算 的结果是(　　) A.3.9 B.-3.9 C.1.3 D.-1.3 4. 的值为(　　) A.　　 B. C.　 D. 5.将多项式 因式分解时，应提取的公因式是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 6.将 提公因式 后，另一个因式是(　　) A. B. C. D. 7.多项式 中各项的公因式是_____。 8.多项式 中各项的公因式是。 9.把下列各式因式分解: ; ; ; . 10.若 则 . 11.把下列各式因式分解: ； （2）； （3）. 12.把下列多项式分解因式： ； . 13.已知 (2x - y =)，，求 的值。 14.计算： 题型一：确定公因式----单项式 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）多项式的公因式是________． 题型二：提公因式为单项式的因式分解 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 题型三：提公因式为单项式的因式分解的应用 13．（25-26八年级上·全国·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 14．（25-26八年级上·湖南常德·期中）利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知实数，满足，，则的值为______． 16．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为______． 17．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． ▲1、公因式的定义： 我们把多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的 . 如b就是多项式ab+bc各项的公因式. ▲2、正确找出多项式各项公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 . 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的 的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中 的一个，即字母 幂. ▲3、提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式 ，将多项式化成两个 的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2提公因式法 导学案 第1课时 提公因式为单项式的因式分解 1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题. 2.能简单运用提公因式法进行因式分解. 3.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想. 学习重点：找出公因式并提取. 学习难点：灵活处理负号以及确保公因式“提尽”. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为“分解因式”。 2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. 情景引入： 问题：观察下列各算式有什么共同的特点？ （1） 5×3+5×(-6)+5×2； （2）2πR+2πr； （3）ma+mb； （4）cx-cy+cz. 回答：公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式. 思考：你能尝试将(2)~(4)式分别写成几个因式的乘积吗？ 新知自研：自研课本第115的例题2--116页的内容． 【学法指导】 自研课本第115的例题2--116页的内容，思考： ●探究一：公因式的定义 ◆1.观察交流 多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式呢？多项式 呢？ 解：多项式ab+bc各项都含有相同因式：b. 多项式各项都含有相同因式：x. 多项式各项都含有相同因式：b. 你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？并与同伴进行交流. ◆2.新知探究 教师提问：找 3– 6 x y 的公因式. 解： 所以3– 6xy的公因式是3x. ◆3.知识归纳 ①公因式的定义： 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如b就是多项式ab+bc各项的公因式. ②正确找出多项式各项公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. ◆4.练一练 多项式6ac-3bc+12中各项的公因式是(　　) A.abc 　　　　　 B.3 　　　　　 C.3c 　　　　　 D.3ab 解：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D. ●探究二：提公因式因式分解 ◆1.尝试交流 (1)多项式2+6中各项的公因式是什么？ 解：多项式2+6中各项的公因式是2. (2)你能尝试将多项式2+6因式分解吗？与同伴进行交流. 解：2+6 =2·1+2·3x =2(1+3x) ◆2.知识归纳 提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. pa+ pb +pc=p( a+b+c ) ◆3.尝试思考 分解因式：8 + 12ac. 【分析】提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 解：8 + 12ac =4a ·2+4a ·3bc =4a(2+3bc)； 思考：如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？ 解：另一个因式将是2b+3c,它还有公因式是b. ◆4.例题探究 例 把下列各式因式分解： (1)2mn+4; (2)7-21p; (3)8-12ac+ab; (4)-24+12-28x. 解：(1)2mn+4 =2m·n+2m·2m =2m(n+2m)； (2)7-21p =7p·p －7p·3 =7p(p－3)； (3)8-12ac+ab =ab·8b－ ab·12c +ab·1 = ab(8b－12c+1). 【注意】当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. (4)-24+12-28x =－(24 －12+28x) =－(4x·6 －4x·3x+4x·7) =－4x(6 －3x+7). 【注意】当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号. ◆5.知识归纳 提公因式法因式分解的注意事项： 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号. ◆6.练一练 下列多项式因式分解正确的是（　　） A. 8abx-12=4abx(2-3ax) B. -6+6-12x=-6x(-x+2) C. 4-6xy+2x=-2x(2x-3y) D. -3y+9ay-6y=-3y(+3a-2) 解：B ◆7.思考交流 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？与同伴进行交流. 提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1把下列多项式因式分解： ； 解：(1)-3+6xy-3xz =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x·(x-2y+z). (2) =3b·a+3b·3b-3b·2 =3b(a+3b-2) 例2已知 求 的值。 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b) ＝4×7 ＝28. 【方法总结】含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨什么是公因式，如何用提公因式法提公因式是单项式的因式分解； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调解题方法. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.多项式 各项的公因式是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 解：A 2.多项式 可分解为 ，则 表示的整式为(　　) A.　 B. C. D. 解：D 3.计算 的结果是(　　) A.3.9 B.-3.9 C.1.3 D.-1.3 解：B 4. 的值为(　　) A.　　 B. C.　 D. 解：D 5.将多项式 因式分解时，应提取的公因式是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解：D 6.将 提公因式 后，另一个因式是(　　) A. B. C. D. 解：A 7.多项式 中各项的公因式是_____。 解：2x 8.多项式 中各项的公因式是。 解：9b 9.把下列各式因式分解: ; ; ; . 解：2a(a-6)，3b(-2)，7x(3-2x+y)，-b(-5a+9)，30 10.若 则 . 解：30 11.把下列各式因式分解: ； （2）； （3）. 解：(1)=4a(2+3bc). (2)=a(a-2). (3)=2a(2-3a-1). 12.把下列多项式分解因式： ； . 解：(1) =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x·(x-2y+z). (2) =3b·a+3b·3b-3b·2 =3b(a+3b-2) 13.已知 (2x - y =)，，求 的值。 解: =(2x-y)=(2x-y). 当2x-y=，xy=2时, 原式=×=1. 14.计算： 解: =++3× =-++3× =(-2+1+3) = . 题型一：确定公因式----单项式 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）多项式的公因式是________． 【答案】 【详解】解：多项式中，系数与的最大公约数为，两项都含有的相同字母为和，的最低次幂是，的最低次幂是，因此多项式的公因式为. 题型二：提公因式为单项式的因式分解 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 利用提取公因式法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先提取公因式，再检查剩余多项式是否能继续分解，分解要彻底是解题的关键． 通过提取公因式，将多项式分解为与二次式的乘积，并验证其他选项是否等价． 【详解】解：A、 ，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 9．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握找公因式的方法，提取公因式后检查括号内的项是否完整是解题的关键． （1）找出多项式各项的公因式，提取公因式后，将剩余部分整理成括号内的代数式； （2）确定两项的公因式，提取公因式，确保括号内的多项式不再有公因式； （3）观察三项的系数与字母，提取公因式，注意最后一项提取后剩余，不要遗漏． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型三：提公因式为单项式的因式分解的应用 13．（25-26八年级上·全国·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法进行分解因式，整理原式为，即可求解． 提取公因式2025进行因式分解，简化计算即可． 【详解】解：， 故选：C 14．（25-26八年级上·湖南常德·期中）利用因式分解计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解,正确提取公因式是解题的关键．先提取公因数，再提取公因数，计算即可得答案． 【详解】解：原式 ． 故选D． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知实数，满足，，则的值为______． 【答案】21 【分析】先对进行因式分解，然后代入求值即可； 【详解】解： ，， 原式． 16．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】将因式分解，再把所给式子整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 17．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先对已知条件变形整理得到关于的二次等式，再对所求多项式提取公因式因式分解，代入二次等式计算即可得到结果． 【详解】解：已知， 移项得 ， 两边平方得 ， 展开整理得 ， 对所求多项式因式分解： ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用因式分解进行计算： (1)； (2)． 【答案】(1)260 (2)2009 【分析】本题主要考查了运用提取公因式法分解因式、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用提取公因式是解题的关键． （1）先把39分解成，然后提取公因式13，再进行计算求值即可； （2）先提取公因式，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▲1、公因式的定义： 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如b就是多项式ab+bc各项的公因式. ▲2、正确找出多项式各项公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. ▲3、提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $