4.2 第2课时 提公因式为多项式的因式分解（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“提公因式为多项式的因式分解”，通过复习导入回顾提公因式法步骤，从系数、字母、指数梳理旧知，搭建学习支架，引导学生过渡到多项式公因式的探究。 以合作探究为主线，设整体提公因式与变形提公因式两大探究点，通过问题链引导思考，结合典例精析与分层练习，培养抽象能力和推理意识，拼图活动融合几何直观，提升运算能力与应用意识，助力学生自主构建知识体系。

第四章 因式分解 4.2 提公因式法 第2课时　提公因式为多项式的因式分解 【素养目标】 1.进一步理解因式分解的意义和公因式的意义． 2.熟练运用提公因式法分解因式． 重点、难点：熟练运用提公因式法分解因式． 【复习导入】 提公因式法因式分解的一般步骤： 1. 多项式的第一项系数为负数时， ； 2. 公因式的系数是多项式各项__________________； 3. 字母取多项式各项中都含有的____________； 4. 相同字母的指数取各项中最小的一个，即_________. 【合作探究】 探究点1：整体提公因式法 ①m（n－1）＋3（n－1）；②3（x－y）＋6（x－y）2； ③c（a－b）4＋c2（a－b）3. 问题1：不去括号，多项式①中有哪几项？它们有没有公共因式？ 问题2：不去括号，多项式②中有哪几项？它们有没有公共因式？ 问题3：不去括号，多项式③中有哪几项？它们有没有公共因式？ 归纳总结：整体提公因式法是提公因式法因式分解中一种较为灵活的方法，它将多项式中的某一部分看成一个整体来提取公因式．先确定整体公因式，明确公因式的系数、字母以及多项式部分，提取公因式后，要检查剩下的因式是否还能继续分解． [典例精析] 例1 把下列各式分解因式： (1) a(x－3) + 2b(x－3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2. [练一练] 1. 将下列式子因式分解. 1. x(a + b) + y(a + b) 2. 3a(x－y)－(x－y) 3. 6(p + q)2－12(q + p) 2. 先化简，再求值：(x＋2y)(x－2y)－(2y－x)2， 其中 x＝2，y＝－1. 探究点2：变形后提公因式法 下面的多项式有公因式吗？与同伴交流思考． (1) 5(a－b)－m(b－a)； (2) 3(m＋n)＋2a(－m－n)； (3) m(x－y)2－n(y－x)2；　　 (4) c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3. 思考：a－b 和 b－a，m＋n 和 －m－n， (x－y)2 和 (y－x)2，(b－a)3 和 (a－b)3有什么关系？ 问题：仿照5(a－b)－m(b－a)＝5(a－b)＋m(a－b)＝(5＋m)(a－b)，将其他3个多项式因式分解． [归纳总结] 两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： (1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等. 如：a－b 和 －b + a，则 a－b = －b + a. (2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数. 如：a－b 和 b－a，则 a－b = －(b－a). 由此可知规律： (1) a－b 与 －a + b 互为相反数. (a－b)n = (b－a)n (n 是偶数) (a－b)n = －(b－a)n (n 是奇数) a + b 与 －a－b 互为相反数. (－a－b)n = (a + b)n (n 是偶数) (－a－b)n = －(a + b)n (n 是奇数) (2) a + b 与 b + a 相等，a－b 与 －b + a 相等. (a±b)n = (±b + a)n (n 是整数) [针对训练] 在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立： (1) (a－b) =___(b－a)； (2) (a－b)2 =___(b－a)2； (3) (a－b)3 =___(b－a)3； (4) (a－b)4 =___(b－a)4； (5) (a + b) =___(b + a)； (6) (a + b)2 =___(b + a)2； (7) (a + b)3 =__(－b－a)3； (8) (a + b)4 = __(－a－b)4. [典例精析] 例2 把下列各式因式分解： (1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2. 例3 下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？ 说明理由．若不正确，请写出正确的结果． (1) 3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)； (2) 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)； (3) x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]． [思考·交流] 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验 ? 与同伴进行交流。 1.在提取公因式时，各项公因式相同时，直接提取；各项公因式互为相反数时，需先变符号，再提取。 2.括号前面是“+”号，括号里的各项都不变号。 3.括号前面是“－”号，括号里的各项都变号。 [尝试·思考] 如图 ，有三张不同型号的长方形卡片。 (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗 ? (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗 ? (3) 依据 (1) (2) 拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解 ? 你是怎样想的? [练一练] 3. 如图，边长为 a，b 的长方形的周长为 10，面积为 6，则 a2b＋ab2 的值为　　． 当堂反馈 1.将3x(a－b)＋9y(a－b)因式分解，应提的公因式是(　　) A.3x－9y B.3x＋9y C.a－b D.3(a－b) 2.若(p－q)2－(q－p)3＝(q－p)2E，则E是(　　) A.1－q－p B.q－p C.1＋p－q D.1＋q－p 3.把b2(x－2)＋b(2－x)因式分解的结果为(　　) A.b(x－2)(b＋1)　　 B.(x－2)(b2＋b) C.b(x－2)(b－1)　　 D.(x－2)(b2－b) 4.因式分解： (1)3a(b－c)－3(b－c)； (2)(2x－1)(3x－7)－(3x－7)(x＋2). 5.已知x＋y＝5，xy＝6，求x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2的值. 参考答案 【复习导入】 1.先提取“－”号，注意多项式的各项变号 2.系数的最大公约数 3.相同的字母 4.最低次幂 【合作探究】 探究点1：整体提公因式法 问题1：m（n－1），3（n－1）．它们有公共因式（n－1）． 问题2：3（x－y），6（x－y）2.它们有公共因式3（x－y）． 问题3：c（a－b）4，c2（a－b）3.它们有公共因式c（a－b）3. [典例精析]例1 解：(1) a(x－3) + 2b(x－3)= (x－3)(a + 2b). (2) y(x + 1) + y2(x + 1)2 = y(x + 1)(1 + xy + y). [练一练]答：1.(a + b)(x + y) 2.(x－y)(3a－1) 3. 6( p + q)( p + q－2) 2. 解：原式＝(x＋2y)(x－2y)－(x－2y)2 ＝(x－2y)(x＋2y－x＋2y) ＝4y(x－2y) ＝4xy－8y2. 当 x＝2，y＝－1 时， 原式＝4×2×(－1)－8×(－1)2＝－8－8＝－16. 探究点2：变形后提公因式法 思考：a－b＝－(b－a)，m＋n＝－(m＋n)，(x－y)2＝(y－x)2， (b－a)3＝－(a－b)3. 问题：解：3(m＋n)＋2a(－m－n)＝3(m＋n)－2a(m＋n) ＝(3－2a)(m＋n)． m(x－y)2－n(y－x)2＝m(x－y)2－n(x－y)2＝(m－n)(x－y)2. c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3＝c2(b－a)3－(c－1)(b－a)3＝(c2－c＋1)(b－a)3. [针对训练](1) － (2) + ；(3) －； (4) + ；(5) + ； (6) + ； (7) －； (8) + . [典例精析] 例2 解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)＝(x－y)(a－b) (2)6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12(m－n)2＝6(m－n)2[(m－n)－2] ＝6(m－n)2(m－n－2) 例3 解：(1)不正确，理由：公因式没有提完全； 正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)． (2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”； 正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)． (3) 不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，且因式是多项式时要最简；正确的是： x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝x(a－b)3·(a＋b)＋(a－b)3y ＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]＝(a－b)3(ax＋bx＋y)． [尝试·思考] (1) 将 ② 旋转 90°，然后把两个长方形长度为 n 的边拼在一起即可得到一个新的长方形。 根据拼组前后面积相等：a×n + b×n = (a + b)×n. (2) 把 (1) 得到的长方形和 ③ 两个长方形长度为 a+b 的边拼在一起得到一个新的长方形。 根据拼组前后面积相等： a×n + b×n + (a + b)×m= (a + b)×n + (a + b)×m = (a + b)×(m + n) . [练一练] 3. 30 当堂反馈 1.　D　 2.C　 3.　C　 4.(1)原式＝3(b－c)(a－1). (2)原式＝(3x－7)(x－3). 5.解：原式＝－2xy(x＋y). ∵x＋y＝5，xy＝6， ∴原式＝－2×6×5＝－60. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $