4.1 因式分解-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

因式分解 第四章 第四章 因式分解 知识网络 因式分解 因式分解的概念 多项式 几个整式的乘积 整式乘法 提公因式法 因式分解 因式分解的方法 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 公式法 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b2 简便运算 因式分解的应用 求代数式的值 因式分解 自主导学Q典例精析 例题下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是() A.a(x+y)=axtay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.10x2y=2x·5xy 【分析】观察四个选项，只有C选项符合因式分解的定义。 【解答】C 【点拨】此题考查因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式。 基础巩固()达标闯关 s多s色 1.5a(4a-b2)=20a2-5ab2从左边到右边的变形是 2.9a2-3ab=3ab(3a-1)从左边到右边的变形是 3.若多项式x2+mx+n能分解成(x-3)(x+6),则m+n的值是 4.下列由左到右的变形是因式分解的是() A.(x-3)(x+1)=x2-2x-3 B.2x2y-3xy2=xy(2x-3y) C.x2-3=(x-1)(x+1)-2 D.ma+mb+nc=m(a+b)+nc 83 数学 八年级下册（北师大版） 5.下列从左边到右边的变形不是因式分解的是() A=2+ B.2(x+y)(x-y)+2=2(x2-y2+1) C.a2-4=(a-2)(a+2) D.x2-10xy+25y2=(x-5y)2 6.如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，那么根据拼出的图形写 2 92x 出一个多项式的因式分解正确的是() pq A.x2+px+qx+pq=x(x+p)+q (x+p) B.x2+px+qx+pq=x(x+q)+p(x+q) 9 C.x2+px+qx+pq=x(x+p+q)+pq D.x2+px+qx+pq=(x+p)(x+q) 第6题图 7.(3-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果() A.9a2+y2 B.-9a2+y2 C.9a2-y2 D.-9a2-y2 8.连一连。（将左边的多项式与右边整式乘积相对应的用线连起来） (1)4x2+4x+1 (a)(x-2)(6+x) (2)x2-3x+2 (b)(-1)(x-2) (3)6(x-2)+x(x-2) (c)(2x+1)2 能力提升睡综合拓展 -B多Bs 9.如图1是由一个小正方形和小长方形拼成的大长方形，通过这个大长方形的面积的不 同计算方法，可以写出多项式a+ab因式分解的结果为a+ab=a(a+b)。请你依据这种数与形 结合的方法，写出下面图2、图3所对应的多项式的因式分解。 bb a 图1 图2 图3 10.证明：328-3”-326能被45整除。 第9题图 11.将多项式x2-3x+2因式分解为x2-3x+2=(x-2)(x-1),说明多项式x2-3x+2有一个因式 为x-1,还可知：当x-1=0,即x=1时，x2-3x+2=0。 利用上述阅读材料解答以下两个问题。 (1)若多项式x+kx-8有一个因式为x-2,求k的值及该多项式的另一个因式。 (2)若x+2,x-1是多项式2x2+ax2+7x+b的两个因式，求a,b的值。 84数学 八年级下册（北师大版） Vx2+4,AC=VBC2+AB=V(12-x+49。.∵AC+CE= ②。由①②得方程组 4a*b=30,解得a=13,b=-2。 V(12-x)449+V+4。连接AE。AC+CE≥AE, a+b=-9。 代数式V(12-x)+49+Vx+4的最小值为AE的长。过 2提公因式法（第1课时） 点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,.EF=BD= 1.42b22.-my3.4y4.1 5.C6.A7.D8.B 12,BF=DE=2。AF=AB+BF=9。.AE=VAF2+EF2= 9.(1)4xy2(3x-2y)(2)5xye-2yz)(3)3m(2m2- V99+12=15。.代数式的最小值为15。 3m-1)(4)-2ab(2a2b2-3a+b）(5)-5xyz(x+2y-1) (6)a(5ad+a2-2a-3）或-d(3+2a--5a3) 10.解：(1)1980 (2)原式=2024x(2024-2)-2022 20242×(2024+1)-2025 2022×(20242-1)2022674 2025×(20242-1)2025675° 11.(1)解：ab+ba=(10b+a)+(10a+b)=10b+a+10a+ 图 图2 第3题答图 b=11b+11a=11(b+a)。11(b+a)是11的倍数，.ab+ba能 4.解：如图1，将△AMD绕点A逆时针旋转60° 被11整除。 (2)证明：ababab=100000a+10000b+ 得到△AMD',MD=MD。AM'=AM,AD'=AD。 1000a+100b+10a+b=101010a+10101b=10101(10a+b)= △ADD'和△AMM'均为等边三角形。.AM=MM'。MA+ 1443x7(10a+b)。a,b为整数，且a>0,b≥0,1443× MD+ME=D'M'+MM'+ME。·.当D'M,MM',ME共线 7(10a+b)能被7整除，.形如ababab的六位数都能被 时最短。由于点E也为动点，.当DE⊥BC时，D'E= 7整除。 D'G+GE最短。此时ME在长方形AD,BC两边中点 12.m(x-2y）13.a(a-1)14.ab(amb)15.a(a+13)》 的连线上（如图2）。最小值为D'E=GE+D'G=500+ 2提公因式法（第2课时） 400V3≈1193(m)。最少费用为1193x500=596500 1.5(a+b)(x-y）2.p(p-1)P(p+1)3(1-2p）3.-35 (元)。答：当ME在长方形AD,BC两边中点的连 4.±1475.C6.D7.D8.B 线上时，修建专用车道的费用最少，最少费用为 9.(1)(x+y)(a+b-c）(2)(m-n)4(3)(x-2y): 596500元。 (x+2y-1)(4)5b(a-b2(2a㎡2-2ab-1) (5)-2(x D' y)(xy-1)(6)(a-b-c)2 10.解：(1)提公因式法2(2)2026次， (1+x)27。(3)原式=(1+x)[1++x(+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)-]=(x+1)(x+1)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+ 1)-2]=…=(x+1)(x+1)=(x+1)。(4)令x=4,则 1-4+1-5。原式-}x45+5454+)子×45t E 4灯4x5+45)=号×（1+44x5+4x544x5++ 图1 图2 第4题答图 4k5)-5]=子×(1+44x5+54x5++4x灯)子 4 第四章因式分解 1+4)2_5=5(5m-1)。 4 -4=4 1因式分解 11.a(a-b)12.813.B 1.整式乘法2.因式分解3.-154.B5.A 3公式法（第1课时） 6.D7.C 1.ab(a+3b)(a-3b)2.答案不唯一，如-b 8.解：(1)-(c),(2)-(b),(3)-(a)。 3.(x-3)4.x"(x+1)(x-1)5.1106.4050 9.解：图2对应：+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),图3 7.C8.B9.A 对应：ad2+b2+2c2+2ab+3ac+3bc=(a+b+c)(a+b+2c)。 10.(1)x(y+7)0-7)(2)2(2a-3b+2x)(2a-3b 10.证明：原式=326×(9-3-1)=5×32×324-45×324，所 以能被45整除。 2x) (3)+301-34)(1+1-=y) 11.解：(1)令x-2=0,即当x=2时，4+2k-8-0, 11.(1)2340(2)128000 解得k=2。·.该多项式为x2+2x-8。设另一个因式为x+ 12.(1)解：992-962=(99+96)×(99-96)=195x3=585。 a,则x2+2x-8=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a,则-2a=-8。 (2)证明：设这两个连续的3的倍数为3n和3n+3 .a=4。.该多项式的另一个因式为x+4。(2)令 (其中n为整数)，则它们的平方差可以表示为(3+3)2- x=-2,则-16+4a-14+b=0①。令=1，则2++7+b-0 (3n)2。(3n+3)2-(3n)2=(3n+3+3n)(3n+3-3n)=3(6n+3)=9