专题05整式乘除中的压轴综合2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（北师大版）

专题05 整式乘除中的压轴综合（六大题型） 题型导览 【题型1 不含某一项的求值问题】 【题型4 利用乘法公式进行简便运算】 【题型2 利用整体代换进行求值】 【题型5 利用完全平方求多项式的最值】 【题型3 规律性问题】 【题型6 完全平方式、平方差公式与几何图形】 题型汇总 【题型1 不含某一项的求值问题】 1．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 2．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 3．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 4．【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 5．在学习多项式乘多项式之后，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)若计算所得多项式中不含一次项，求a的值； (3)如果，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键． （1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可； （2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可； （3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：一次项系数为， （2） 解：根据题意，得一次项系数， 解得； （3）解：的一次项系数为， ． 【题型2 利用整体代换进行求值】 6．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】， 移项得 ， ． 7．当时，的值是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 8．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如：已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式的乘法运算，求解代数式的值，熟练利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 9．重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 【答案】(1) (2)该几何体的表面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式乘法的应用，整式加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据长方体的体积公式列出代数式即可； （2）根据长方体的表面积公式列式化简，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：该几何体的体积为； （2）解： ∵， ∴． 答：该几何体的表面积为． 10．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 【题型3 规律性问题】 11．观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据给出的各式归纳出一般规律，再将所求式子对照规律，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知式子归纳规律可得，其中为正整数， 则中，最高次项为，对应规律得 ， 即， ∴把，代入规律得． 12．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先根据已知等式总结规律，化简所求算式，再找出个位数字的循环规律，即可计算出结果的个位数字． 【详解】解：观察已知等式可得规律： ， 变形得 ， 令，，则： ， ∵的个位数字依次为，每次为一个循环， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为， 即所求算式的个位数字为． 13． …… (1)根据规律可得________（其中n为正整数）； (2)根据规律可得________（其中n为正整数）； (3)计算：________； (4)计算：________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题中所给的式子即可得到规律，从而确定答案； （2）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案； （3）由（2）中所得的规律直接求解即可得到答案； （4）由（2）中所得的规律直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）中规律可知：， ； （3）解：由（2）中规律可知，， ∴ ； （4）解： ． 14．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________． (2)已知，则___________； (3)若，求的值． 【答案】(1)6，10 (2) (3) 【分析】（1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，第三项的系数是10； （2）由题意知，据此求解即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得展开式中共有项， 第三项的系数（字母部分是）是10； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 15．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法．现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为10的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： …… ①仿照上述等式，写出________： ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是1并且个位数字之和是10的两位数乘法有什么规律？设其中一个两位数的个位数字是，用等式进行表示规律为________，请证明这个等式成立： (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是10的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用：________． 【答案】(1)①；② (2)规律成立，等式为 (3) 【分析】（1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、个位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立； （3）根据所得的规律求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和即， 则两位数乘法的规律为， 证明：展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （2）解：若两位数的十位均为，个位分别为和， 则两位数的乘积为， 展开等号左边： ， 展开等号右边： ， 等号左边等于等号右边，规律成立； （3）解：当时，代入得： ， 故答案为：． 【题型4 利用乘法公式进行简便运算】 16．计算：（简便计算）． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ． 17．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算律（乘法分配律）、平方差公式即可直接得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：， 小军进行简便计算的原理为乘法公式：， 故答案为：，； （2）解：① ； ② ． 19．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ， … (1)根据上述各式反映出的规律填空：_______． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果_______ (3)这种简便计算也可以推广应用： ①个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果， ②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出的简便计算过程和结果． 【答案】(1) (2) (3)①38025；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索： （1）观察前面三个式子可知，个位数字为5的两位数的平方等于十位数字乘以十位数字加1的积再乘以100后加上25，据此规律求解即可； （2）根据（1）中规律即可得到答案； （3）①把1和9看做一个整体，利用（1）（2）的规律求解即可； ②把变成，变成，利用平方差公式展开，然后利用（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知（表示一个两位数）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，当把195中的1和9看做一个整体时，则有； ② ． 20．【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型5 利用完全平方求多项式的最值】 21．有最值是（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式把原式变形为，然后根据偶次幂的非负性求解即可． 【详解】解：， ， ， （当时取等号），（当，即时取等号）， 当且时，原式取最小值． 故选：． 22．小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、完全平方公式、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 仿照小李同学的思路，由 表示 ，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ， ∴， ∴有最小值3． 故选A． 23．问题提出： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题；你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流，讨论，总结出如下方法： 解： 因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0．所以当时，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．根据上面的经验，求代数式的最大值． 【答案】最大值为14 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法．仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 【详解】解： ， 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为14． 24．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值； （2）解：，且， 当时，代数式的最大值为； （3）解：， ， ， 当时，的最小值为． 25．【材料阅读】 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为，所以．当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 像这样，先添加一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【问题解决】 (1)若，，请利用上面所学知识求值： ①； ②； (2)已知x是实数，，请用配方法求M的最小值； (3)某养殖场要将一块长为12米、宽为10米的长方形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，问：当x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1)①13；②； (2)M有最小值2； (3)当时，S最大，最大值为121平方米． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）①直接根据完全平方公式变形求值即可； ②先将、看作整体根据完全平方公式将原式化为，再将，代入计算即可； （2）根据完全平方公式将原式化为，根据可知当时，M有最小值2； （3）先计算长方形区域的面积，根据完全平方公式将其转化为，根据可知当时，S最大，最大值为121平方米． 【详解】（1）解：①， ∵，， ∴； ②∵， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，M有最小值2； （3）解：由题意可知， ∵， ∴， ∴当时，S最大，最大值为121平方米． 【题型6 完全平方式、平方差公式与几何图形】 26．数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． 方法探究： (1)如图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图中①：______； 图中②：______； 图中③：______． 综合运用： (2)用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：______． 类比迁移： (3)若，求的值． 【答案】(1)，；，；，； (2)； (3). 【分析】（1）根据图①中的阴影部分可以看作是一个边长为的正方形，得面积为，再根据图①中的阴影部分也可以看作是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成，得面积为，由此可得出答案；根据图②中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图②中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图③中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）根据图④中的阴影部分可以看作是一个边长为的正方形，得面积为，也可以看作是由边长为的正方形减去4个两个长为，宽为的长方形构成，即可得出答案； （3）设，，则，，再根据图①等式计算即可． 【详解】（1）解：图中①阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； 图中②阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； 图中③阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； （2）解：图中④阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； ∴可验证的等式是：； （3）解：设，，则，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算和识别乘法公式的结构特征是解决问题的关键．要掌握数形结合思想‌，通过数与形的对应关系相互转化解决问题，是数学中的核心思想方法．数形结合思想‌将抽象的数学语言与直观的图形结合，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化． 27．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题可以相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)如图（1），一个边长为a的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为________； (2)若x满足，求的值； (3)如图（2），已知正方形的边长为x，G，E分别是、上的点，且，，若长方形的面积为48，以线段和线段为边分别作正方形与正方形，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3)28 【分析】（1）方法一：图中阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积；方法二：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分的面积，根据两种方法计算的面积相等即可得； （2）设，，则，先求出，再结合（1）的结论计算即可； （3）先求出，，，再设，，则，求出的值，然后根据图中阴影部分面积等于正方形的面积减去正方形的面积列式，利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：方法一：图中阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积，即为， 方法二：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分的面积，即为， 所以通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：由题意得：， ， ， 设，，则， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴图中阴影部分面积为 ． 28．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 【答案】(1)C (2)4 (3) (4) 【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得； （3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解； （4）根据（3）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：， 右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：， 所以右图阴影部分面积为：， 由于左右两图阴影部分面积相等， 所以有：； （2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得： ， ∵ ； （3）解：∵， ， ， ∴； （4）解：． 29．数形结合： (1)知识背景：图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形． ①图中，阴影部分的正方形的边长为 ． ②请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积． 方法一 ； 方法二 ． ③观察图，写出三个代数式，，之间的等量关系． (2)拓展应用： ①若，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①；②，；③ (2)①；②． 【分析】（1）①②根据图形作答即可；③根据②所得式子即可得到等量关系； （2）①结合（1）所得等量关系求解即可； ②令，，则，，再结合（1）所得等量关系求解即可． 【详解】（1）解：①图中，阴影部分的正方形的边长为； ②方法一，用正方形面积公式表示为， 方法二，用大正方形面积减四个小长方形面积表示为； ③由②可知，， 即； （2）解：①由（1）可知，， ， ，， ， ； ②令，， 则，， ， ， ， ． 30．根据以下素材，探索完成任务 数形结合是数学学科的重要思想之一，它将抽象的代数数量关系与直观的几何图形有机结合，既能用图形直观呈现代数规律，也能用代数运算巧妙破解图形难题．在实际学习中，我们常常借助这种思想解决各类综合问题．例如：小明就利用大小不同的正方形与长方形纸片，拼接成了一个完整的大正方形（如图①为所用纸片，图②为拼接后的大正方形），请结合数形结合思想，完成下列问题： (1)结合图②的图形特征，用两种不同的代数式表示出阴影部分的总面积，据此写出一个代数等式：________． 借助数形结合思想，小明发现（1）中推导的等式可快速解决代数式求值问题． 问题：已知满足，求的值． (2)小明的解题思路如下：设，，那么所求代数式可转化为，请你按照这个思路，利用上面的等式完成本题的求解过程． (3)如图③，在长方形中，，，点E在边上，点K在边的延长线上，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别记为和，且，请运用数形结合思想，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)10，见解析 (3)63 【分析】（1）根据阴影部分面积的两种求法列出等式即可； （2）根据（1）中得出的等式：及小明的解题思路，运用整体思想，将数据整体换入，计算即可； （3）根据已知条件得出，设，再根据，得到，再由，运用整体思想，将数据整体换入，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵，，， ∴； （3）解：， ， ∴ 设， ∵， ∴，， 由，得：， ， ∵阴影部分是长为，宽为的长方形， ∴阴影部分的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式乘除中的压轴综合（六大题型） 题型导览 【题型1 不含某一项的求值问题】 【题型4 利用乘法公式进行简便运算】 【题型2 利用整体代换进行求值】 【题型5 利用完全平方求多项式的最值】 【题型3 规律性问题】 【题型6 完全平方式、平方差公式与几何图形】 题型汇总 【题型1 不含某一项的求值问题】 1．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 2．定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 3．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 4．【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 5．在学习多项式乘多项式之后，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)若计算所得多项式中不含一次项，求a的值； (3)如果，则______． 【题型2 利用整体代换进行求值】 6．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 7．当时，的值是________． 8．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如：已知，，则的值为________． 9．重庆来福士坐落于重庆朝天门是重庆的地标建筑，其中来福士的南塔有四座塔楼，以及一座连接4座塔楼位于60层楼高空的“水晶廊桥”如图，南塔的整体可以近似地看作五个长方体组成，建筑整体高度为h，其中． (1)求该几何体的体积； (2)若，求该几何体的表面积（包括底面，不包括连接面）． 10．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【题型3 规律性问题】 11．观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 12．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 13． …… (1)根据规律可得________（其中n为正整数）； (2)根据规律可得________（其中n为正整数）； (3)计算：________； (4)计算：________． 14．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________． (2)已知，则___________； (3)若，求的值． 15．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法．现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为10的两位数乘两位数． (1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式： …… ①仿照上述等式，写出________： ②探究规律 根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是1并且个位数字之和是10的两位数乘法有什么规律？设其中一个两位数的个位数字是，用等式进行表示规律为________，请证明这个等式成立： (2)拓展： 现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是10的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由； (3)推广应用：________． 【题型4 利用乘法公式进行简便运算】 16．计算：（简便计算）． 17．用简便方法计算： (1)； (2)． 18．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 19．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ， … (1)根据上述各式反映出的规律填空：_______． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果_______ (3)这种简便计算也可以推广应用： ①个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果， ②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出的简便计算过程和结果． 20．【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【题型5 利用完全平方求多项式的最值】 21．有最值是（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 22．小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 23．问题提出： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题；你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流，讨论，总结出如下方法： 解： 因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0．所以当时，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．根据上面的经验，求代数式的最大值． 24．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 25．【材料阅读】 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为，所以．当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 像这样，先添加一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【问题解决】 (1)若，，请利用上面所学知识求值： ①； ②； (2)已知x是实数，，请用配方法求M的最小值； (3)某养殖场要将一块长为12米、宽为10米的长方形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，问：当x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【题型6 完全平方式、平方差公式与几何图形】 26．数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． 方法探究： (1)如图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图中①：______； 图中②：______； 图中③：______． 综合运用： (2)用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：______． 类比迁移： (3)若，求的值． 27．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题可以相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)如图（1），一个边长为a的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为________； (2)若x满足，求的值； (3)如图（2），已知正方形的边长为x，G，E分别是、上的点，且，，若长方形的面积为48，以线段和线段为边分别作正方形与正方形，求图中阴影部分面积． 28．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 29．数形结合： (1)知识背景：图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形． ①图中，阴影部分的正方形的边长为 ． ②请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积． 方法一 ； 方法二 ． ③观察图，写出三个代数式，，之间的等量关系． (2)拓展应用： ①若，，求的值； ②已知，求的值． 30．根据以下素材，探索完成任务 数形结合是数学学科的重要思想之一，它将抽象的代数数量关系与直观的几何图形有机结合，既能用图形直观呈现代数规律，也能用代数运算巧妙破解图形难题．在实际学习中，我们常常借助这种思想解决各类综合问题．例如：小明就利用大小不同的正方形与长方形纸片，拼接成了一个完整的大正方形（如图①为所用纸片，图②为拼接后的大正方形），请结合数形结合思想，完成下列问题： (1)结合图②的图形特征，用两种不同的代数式表示出阴影部分的总面积，据此写出一个代数等式：________． 借助数形结合思想，小明发现（1）中推导的等式可快速解决代数式求值问题． 问题：已知满足，求的值． (2)小明的解题思路如下：设，，那么所求代数式可转化为，请你按照这个思路，利用上面的等式完成本题的求解过程． (3)如图③，在长方形中，，，点E在边上，点K在边的延长线上，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别记为和，且，请运用数形结合思想，直接写出图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $