专题04平行线几何模型压轴题（6大压轴题型）2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（北师大版）

专题04平行线几何模型压轴题（6大压轴题型） 题型导览 【题型1】拐点铅笔模型 【题型2】多拐点锯齿模型 【题型3】平行线+角平分线综合 【题型4】平行线+三角板旋转 【题型5】平行线+折叠问题 【题型6】情境类压轴 题型汇总 【题型1 拐点铅笔模型】 1．在未来的智慧城市中，AI智能巡检机器人是保障城市基础设施安全的“守护者”．这些机器人不仅能自主导航，还能实时分析周围环境，规划最优路径． (1)【问题发现】 ①如图1，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点，若，，则______． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为机器人的外部检测点，猜想,，之间的数量关系是______．（直接写出结论，不需要证明）       (2)【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，机器人设置了垂直检测线，同时生成检测的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点．AI对检测路线进行优化，设置，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 2．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 3．解答下列各题： (1)如图1，直线，若，，则 如图2，直线，则 如图3，直线，那么的度数是 (2)如图4，直线，连接，直线，及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） ①当动点落在第①部分时，求证：； ②当动点落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） ③当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 4．【问题情境】如图1，已知直线分别与直线，相交于点，，．      (1)【尝试探究】求证：； (2)【拓展探究】如图2，点在直线，之间，连接，． ①若，，求的大小； ②如图3，若，分别是，的平分线，点在的延长线上，连接，若，，请直接写出的度数． 5．如图1，，点在直线上，点在直线上，． (1)当时， ①求证：． ②如图2，若直线平分，直线平分交于点，求的度数． (2)当时，如图3，直线平分．直线过点交于点，且满足，请直接写出与的数量关系． 6．结合图形，解答下列各题： (1)问题：如图所示，若，，求的度数． (2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 7．综合与实践 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，因为所以是的“4系数补角” 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为 ． 【初步认识】 (2)如图1，平面内，，点、分别为直线、上一点，点为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数． ②是的“ 系数补角”． 【问题解决】 (3)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，点为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为，当，且是的“3系数补角”时，的度数为 ． 8．已知直线，直线分别与、相交于E、F．          (1)如图1，、分别平分和，请直接写出的度数； (2)如图2，点G在射线上，点H在射线上，、分别平分和，若，，求和的度数； (3)如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点（不与F重合），、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【题型2 多拐点锯齿模型】 9．综合与实践 2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道与，即．左机械臂与轨道的接触点记为M，右机械臂与轨道的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂、和的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时， ①若，求的度数； ②试说明：； (2)如图2所示，当，，时，求_____（用含的式子表示）； (3)当，时，直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）． 10．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 11．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 12．如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． (1)阅读并补充下面解答过程： 解：过点作， ___________，___________， ， ． (2)上述证明过程，了解并发现了“在解决几何时，适当地添加辅助线，可以有效地解决问题．”尝试解答下列问题： ①如图2，将直角三角板的顶点放在两平行线之间，，，探究与的数量关系，并说明理由； ②如图3，，，判断与的关系，并说明理由． 13．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 14．如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 15．综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 16．同学们还记得今年“春节联欢晚会”扭秧歌的机器人吗？现如今，我国的工业智能化发展已从“制造大国”转向了“智造强国”，在我国的“中国制造2025”宏大计划中，人工智能已经占据了重要地位．如图，某智能化工厂生产了一种智能机器，机械臂的精准操作可控制精确的方向，其中两条平行的机械轨道与，机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了买现复杂的操作任务，通过关节和来调节三个机械臂，和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂，和不在同一条直线上． (1)如图1，当时，猜想机械臂与的位置关系，并说明理由； (2)如图2．当，，时，求的度数（用含的式子表示）； (3)当，时，请直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【题型3 平行线+角平行线综合】 17．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 18．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 19．已知：直线，点和点是直线上的点，点和点是直线上的点，连接，，设直线和交于点． (1)在如图1所示的情形下，若，求的度数（提示：可过点作）； (2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点，当，时，求的度数． (3)如图3，当点在点的右侧时，若平分，平分，且，交于点，设，，用含有，的代数式表示． 20．如图，已知，，且交于点K，交于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，且平分，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平分，平分，经过点G，且，点E到的距离为2，求的长度． 21．小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点，过点作， ， ①_____，②_____， ③_____． ． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容： (2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间， ①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数． 22．已知：如图1直线，被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、． ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度． 23．如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．    (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：； (3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系． 24．已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【题型4 平行线+三角板旋转】 25．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 26．嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 27．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 28．小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 29．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 30．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值． 31．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 32．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则________，________． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 【题型5 平行线+折叠问题】 33．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 34．如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G 分别是边和上的动点，现将点 A，B 沿向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿向上折叠至点P，K 处，若，则的度数为 （　　） A．或 B．或 C．或 D．或 35．如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则（   ） A． B． C． D． 36．把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 37．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________ ． 38．在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则_________°． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则______°． 39．数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 40．【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）． （1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________； 如图4，________，则与的位置关系为________． 【深入探究】 （2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数． 【题型6 情境类压轴】 41．综合与探究 问题情境：如图，，和的延长线交于点，点在上，，点在的延长线上，连接． (1)独立思考：如图1，若，求的度数． (2)问题解决：如图2，若平分平分，点在上，平分． ①求证：； ②若，直接写出的度数． 42．问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 43．【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 44．综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 45．综合与实践 【问题情境】数学活动课上，小北将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点N，M分别在直线上，直线，直线与分别相交于点G，H，，且． 【探索发现】（1）填空：如图，过点P作， ∵， ∴ ， ∴ ，，    ．．．．．． ∴ （填“”“”或“”）． 【操作探究】（2）的平分线交直线于点O． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小北将三角板沿直线左右移动，并保持（点N不与点G重合），在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 46．【问题情境】 如图，，连接，垂足为点． 【问题解决】 （1）如图1，若，则的度数为__________； 【问题拓展】 （2）如图2，过点作，交的延长线于点，请说明与的数量关系； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 47．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 48．【问题情境】    （1）如图1，∥是上一点，B是上一点，点C在直线之间． ①若，，则的度数为____________． 【问题探究】 ②试探究的数量关系，并说明理由． 【问题应用】 （2）如图2，是三面镜子，将一束光线沿方向射入镜子，通过镜子的反射，最后从镜子上的点C处射出，此时入射光线与反射光线平行．若，试用含的式子表示出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平行线几何模型压轴题（6大压轴题型） 题型导览 【题型1】拐点铅笔模型 【题型2】多拐点锯齿模型 【题型3】平行线+角平分线综合 【题型4】平行线+三角板旋转 【题型5】平行线+折叠问题 【题型6】情境类压轴 题型汇总 【题型1 拐点铅笔模型】 1．在未来的智慧城市中，AI智能巡检机器人是保障城市基础设施安全的“守护者”．这些机器人不仅能自主导航，还能实时分析周围环境，规划最优路径． (1)【问题发现】 ①如图1，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点，若，，则______． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为机器人的外部检测点，猜想,，之间的数量关系是______．（直接写出结论，不需要证明）       (2)【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，机器人设置了垂直检测线，同时生成检测的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点．AI对检测路线进行优化，设置，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】(1)① ；② (2) (3) 【分析】本题考查了平行的性质，熟练掌握平行的模型，作出合适辅助线是解题的关键． （1）过拐点作，从而得到，利用平行的性质进行角度计算即可求得答案； （2）过点作,设，，利用平行的性质可得，结合第（1）问的结论即可求解； （3）过点作，过点作，过点作，设，，利用平行的性质将，与用和表示出来，从而得出它们之间的关系． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点作， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，设，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即， 由（1）可知，． （3）如图，过点作，过点作，过点作，则， 设，， ，， ，, ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 2．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．解答下列各题： (1)如图1，直线，若，，则 如图2，直线，则 如图3，直线，那么的度数是 (2)如图4，直线，连接，直线，及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） ①当动点落在第①部分时，求证：； ②当动点落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） ③当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 【答案】(1)；； (2)①见解析；②不成立；③当在射线右侧时：；当在射线上时：且；当在射线左侧时：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点E作，根据两直线平行，内错角相等得到、，进而得到；如图2，过点E作，根据两直线平行，同旁内角互补得到、，进而得到；如图3，过点A作、过点作，过点C作，利用多次平行线的性质求解即可； （2）同（1）进行求解即可，当动点在第③部分时，要注意分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点E作， ， ， 、， ； 如图2，过点E作， ， ， 、， ， 即； 如图3，过点A作、过点作，过点C作， 同图1得：， ， ， ， ， ； （2）解：①过点作交于， ， 、， ， 即； ②不成立， 过点作交于， ， 、， ， 即； ③（a）当在射线右侧时，结论是：； （b）当在射线上时，结论是：且； （c）当在射线左侧时，结论是：； 选择（a）证明： 如图，连接，连接交于， ， ， ， ； 选择（b）证明： 如图，在射线上， ， ， ； 选择（c）证明： 如图，连接，连接交于， ， ， ， ． 4．【问题情境】如图1，已知直线分别与直线，相交于点，，．      (1)【尝试探究】求证：； (2)【拓展探究】如图2，点在直线，之间，连接，． ①若，，求的大小； ②如图3，若，分别是，的平分线，点在的延长线上，连接，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)①，② 【分析】（1）先由 得出同位角相等，再利用邻补角的定义进行等量代换，即可推出 与 互补． （2）①先过点 作平行于 的辅助线，利用平行线的传递性得到三条直线互相平行，将 拆分为两个内错角之和；再结合 得出同旁内角互补，根据角的比例关系列式计算，求出 的度数； ②设 ，利用角平分线定义和平行线性质表示出相关角度，再过点 作平行线，把 用含 的式子表示，结合已知 列方程求出 ，最后根据角的关系算出 的度数． 【详解】（1）证明：， （两直线平行，同位角相等）， 又（邻补角定义）， ． （2）①过点作， ， ， ；， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， 即． ②设，则， 平分， ， ， ， 平分， ， ， 过点作， ， ， ；， ， ，即， 解得， ． 综上，的度数为． 5．如图1，，点在直线上，点在直线上，． (1)当时， ①求证：． ②如图2，若直线平分，直线平分交于点，求的度数． (2)当时，如图3，直线平分．直线过点交于点，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①见解析，② (2) 【分析】（）①根据平行线的性质可以得到内错角相等，再结合角度的垂直得到即可． ②作，结合平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，，结合代入即可求得． （）同理（）可证，得到，再把，以及角平分线得到的相等的角代入即可． 【详解】（1）解：①如图，过作， ∵ ∴ ∴，， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴； ②过作， ∵， ∴， ∴， ∵直线平分，直线平分 ∴设，，则， 由（）知， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，设交于，作交于,在的延长线上取一点， ∵ ∴ ∴，， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴； ∵直线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质以及角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解决本题的关键． 6．结合图形，解答下列各题： (1)问题：如图所示，若，，求的度数． (2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用与平行的性质，推出也平行于；再依据平行线的性质，通过内错角相等求出的度数，借助同旁内角互补算出的度数，最后将与相加，得到的度数； （2）过点作，结合与平行的条件，得出平行于;利用平行线内错角相等的性质，分别得到与、与的等量关系，再根据角的组成关系，通过等量代换整理出与、的数量关系； （3）根据角平分线的定义，将表示为的一半、表示为的一半，结合第（2）题可得出、，代入角平分线的等量关系，整理后得到与的数量关系，即可计算出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）的结论，同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 7．综合与实践 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，因为所以是的“4系数补角” 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为 ． 【初步认识】 (2)如图1，平面内，，点、分别为直线、上一点，点为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数． ②是的“ 系数补角”． 【问题解决】 (3)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，点为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为，当，且是的“3系数补角”时，的度数为 ． 【答案】(1) (2)①②5 (3)的度数为或 【分析】（1）设的“2系数补角”是，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①过点作，得，可得； ②根据几系数补角的定义列方程求解即可； （3）先求出，再分点P在之间，点在点左右两侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的“2系数补角”是，根据题意，得 ， 解得： ， 所以，的“2系数补角”的度数是； （2）解：①过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵，， 根据定义得， ∴， 解得， ∴是的“5系数补角” （3）解：∵，且是的“3系数补角”， ∴， ∴， ∴， 当点P在之间，点在点右侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在之间，点在点左侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴； 综上，的度数为或． 8．已知直线，直线分别与、相交于E、F．          (1)如图1，、分别平分和，请直接写出的度数； (2)如图2，点G在射线上，点H在射线上，、分别平分和，若，，求和的度数； (3)如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点（不与F重合），、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：（1）、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 【题型2 多拐点锯齿模型】 9．综合与实践 2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道与，即．左机械臂与轨道的接触点记为M，右机械臂与轨道的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂、和的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时， ①若，求的度数； ②试说明：； (2)如图2所示，当，，时，求_____（用含的式子表示）； (3)当，时，直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①，②见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质． （1）①根据两直线平行，内错角相等证明；②延长交于点H，根据两直线平行，同位角相等，再结合①的结论证明； （2）过点P作，过点Q作，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可； （3）过点P作，过点Q作，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可． 【详解】（1）解：①， ，； ②延长交于点H，如图， ， ， ； （2）过点P作，过点Q作，如图， ，，，，， ，，， ， ，， ，， ，， ， ，即； （3）过点P作，过点Q作，如图， ，，，，， ，，， ， ，， ，， ， ． 10．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过P点作直线，则可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得． （2）如图，过E点作直线，过F点作直线，则可得．根据平行线的性质可得， ， ．根据角平分线的定义可得，．由可得，结合（1）中的结论可得，进而可得． （3）如图，过F点作直线，则可得．由（1）得，，，进而可得．由角平分线的定义可得，，由（1）得． 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，过E点作直线，过F点作直线． ∵， ∴， ∴， ， ， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， 即， ∴， 由（1）知， ∴， ． （3）解：如图，过F点作直线． ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， 由（1）得 ． 11．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 12．如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． (1)阅读并补充下面解答过程： 解：过点作， ___________，___________， ， ． (2)上述证明过程，了解并发现了“在解决几何时，适当地添加辅助线，可以有效地解决问题．”尝试解答下列问题： ①如图2，将直角三角板的顶点放在两平行线之间，，，探究与的数量关系，并说明理由； ②如图3，，，判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】（1）利用平行线的性质即可证明； （2）①作，利用平行线的判定和性质即可得到； ②作，，利用平行线的判定和性质即可得到． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ； （2）解：①；理由如下： 作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 作，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 13．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 14．如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，则，由平行线的性质可得，，从而可得，即可得解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可得，，设，，计算得出，由平行线的性质可得，，，由此计算即可得解； （3）设直线与交于点K，与交于点H，由平行线的性质可得，求出，再结合，在内，．得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ， 故的值为； （3）解：如图，设直线与交于点K，与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，在内，． ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 15．综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，方位角有关的计算，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意得，，则由平行线的性质得到，由三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）过点C作，过点D作，则，由平行线的性质可得，，则可求出，得到，证明，得到，则； （3）过点F作，过点E作，则，由平行线的性质得到，，证明，得到，设，则，由角平分线的定义可得，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时小明在营地A的北偏东方向； （2）解：如图所示，过点C作，过点D作， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点F作，过点E作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点G， ∴，， ∴， ∴． 16．同学们还记得今年“春节联欢晚会”扭秧歌的机器人吗？现如今，我国的工业智能化发展已从“制造大国”转向了“智造强国”，在我国的“中国制造2025”宏大计划中，人工智能已经占据了重要地位．如图，某智能化工厂生产了一种智能机器，机械臂的精准操作可控制精确的方向，其中两条平行的机械轨道与，机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了买现复杂的操作任务，通过关节和来调节三个机械臂，和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂，和不在同一条直线上． (1)如图1，当时，猜想机械臂与的位置关系，并说明理由； (2)如图2．当，，时，求的度数（用含的式子表示）； (3)当，时，请直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)与之间的数量关系有：或或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是关键． （1）过点作，过点作，可得，即，结合平行线的判定即可求解； （2）如图所示，过点作，过点作，，，根据即可求解； （3）根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图所示，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图所示，过点作，过点作， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：第一种情况，， 如图所示，过点作，过点作，则， 同理，，， ∴， ∴； 如图所示，过点作，过点作，则， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即； 如图所示， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即； 第二种情况，， 如图所示， ∴，， ∴， ∴，即； 如图所示， ∴； 综上所述，与之间的数量关系有：或或． 【题型3 平行线+角平行线综合】 17．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ∴， ∴，， ， ∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 18．如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 19．已知：直线，点和点是直线上的点，点和点是直线上的点，连接，，设直线和交于点． (1)在如图1所示的情形下，若，求的度数（提示：可过点作）； (2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点，当，时，求的度数． (3)如图3，当点在点的右侧时，若平分，平分，且，交于点，设，，用含有，的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质： （1）过点作，容易证得，，进而可得，； （2）过点作，容易求得，； （3）过点作，容易求得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图所示，过点作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴，． ∴． （2）解：如图所示，过点作． ∵， ∴，． ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴，． ∴． （3）解：如图所示，过点作． 根据图形可知． ∵， ∴，． ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴，． ∴． ∴． 20．如图，已知，，且交于点K，交于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，且平分，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平分，平分，经过点G，且，点E到的距离为2，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，得出，，根据，得，即可得证； （2）过点作，设，，，，同（1）可得，得出，即可得证； （3）先证明，过点作于点，进而根据，结合三角形的面积，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴，， ∴， 同（1）可得， ∴ ∴ ∴； （3）解：设 ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 如图，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点E到的距离为2， ∴． 21．小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点，过点作， ， ①_____，②_____， ③_____． ． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容： (2)如图2，现有一锐角，在的两边上分别取点、，过点、分别作直线、，且，点在、之间， ①若点是下方一点，连接、．若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ②如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，直接写出的度数． 【答案】(1)①A，②B，③． (2)①；理由见详解；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明过程，平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）利用平行线的性质以及平角的定义证明即可． （2）①过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义可得出 ． ②过作，过E作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：延长到点，过点作， ， ， ， ． ， 故答案为：①A，②B，③． （2）解：①如图2，过作，过点作，若平分，平分，则、、这三个角有什么关系；并说明理由． ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ②如图3，过作，过作，设，， ∵交于M，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．已知：如图1直线，被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、． ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度． 【答案】(1)见解析 (2)①360；②，见解析 (3)30 【分析】（1）首先证明，即可证得； （2）①作，由平行线的性质得到，，又因为，结合图形即可求解； ②作，由平行线的性质得到，，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点E作，如图 ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴． ②结论：．理由如下： 过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3中，设，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．    (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：； (3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）得：， 同理：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，作的角平分线交于点，    ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ． 24．已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ， 平分， ， 平分， ， ； （3）解：如图，过点作， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 由（2）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点逆时针以每秒的速度进行旋转， ∴， 综上，时，第一次与平行，此时． 【题型4 平行线+三角板旋转】 25．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 【答案】(1)15 (2)①；② (3)10或25或40 【分析】（1）根据三角板中角度的特点和平行线的性质可得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：①， ， ； ②如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上所述，t的值为10或25或40． 26．嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， ，即平分； （3）解：根据题意，分以下四种情况： ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， 则， ； ④如图4，当时，此时重合， ． 综上所述，的度数为或或或． 27．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 【答案】(1)30 (2) (3)30或120或165 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）过点作，则，推出，根据角平分线的定义得到，结合即可求解； （2）分别过点作，则，同理（1）即可求解； （3）分三种情况，画出示意图，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，则， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：分别过点作，则， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，延长交于点L， 根据题意：， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点K，过点作，则， 根据题意：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点X，过点作，则， 根据题意：， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 综上，当与三角板某一边平行时，t值为30或120或165． 故答案为：30或120或165． 28．小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】问题解决：①②是定值，；思维拓展：s或s 【分析】本题考查了动角问题，平行线的判定及性质，角的和差等； 问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解； 思维拓展：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求； 掌握平行线的判定方法及性质，能根据、的不同位置进行分类讨论是解题的关键 【详解】解：问题解决： ①如图，过点E作， ， ， ， ， ； ②是定值，理由如下： 如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故为定值； 思维拓展： 由题意得， ， ， （ⅰ）如图，当时，延长交于点P， ①在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； （ⅱ）当时，延长交于点I， ①如图，在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②如图，在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； 综上所述，所有满足条件的t的值为s或s． 29．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 30．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)所有满足条件的的值为或或或或或． 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）过点作，则，进而得，，由此可得的度数； （2）过点作，则，进而得，，再根据可得出答案； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式计算即可得出所有满足条件的的值． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， 依题意得：，，，， ， ， 又， ，， ； （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ， ， ，， ，且， ； （3）解：设边旋转的角度为，则边旋转的角度为，下面分类讨论： 如图⑤，，则， 所以，解得； 如图⑥，，则， 所以，解得； 如图⑦，，则， 所以，解得； 如图⑧，，则， 因为，所以， 解得； 如图⑨，，则， 因为，所以， 解得； 如图⑩，，则， 所以，解得， 综上，所有满足条件的的值为或或或或或． 31．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 32．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则________，________． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 【答案】(1)15，150 (2) (3)2或6或8 【分析】（1）如图1，过点作，证明，可得结论； （2）同法可证，利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）分三种情形：当时，当时，当时，分别求出的度数，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，， ． ，． ． ， ． ， ． （2）解：同法可证， ， ． ． ， ． ，分别平分，， ，． ． （3）如图3-1，当时，设与交于点， ． ． ． ， ∴． ． ． 如图3-2，当时， 此时， ． ． 如图3-3，当时，过点作， ． ，． ． ． 综上所述，满足条件的t的值为2或6或8． 【题型5 平行线+折叠问题】 33．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ． 34．如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G 分别是边和上的动点，现将点 A，B 沿向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿向上折叠至点P，K 处，若，则的度数为 （　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，先求出，再证明，得到，最后利用对顶角相等，即可求出的度数；当在下方时，延长，交于点，根据平行线的判定和性质，证明，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 综上所述：或， 故选：D． 35．如图，将一条对边互相平行的长方形纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到，进而得出． 【详解】解：如图，延长到点， 纸带对边互相平行，， ， ， ， 由折叠可得，， ， 故选：C． 36．把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 【答案】或 【分析】根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果即可． 【详解】解：由折叠得，, ∵， ∴， ∵恰好是的三等分线， ∴分两种情况： 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或 37．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，根据折叠的性质，，，则可求出，过作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质求出，根据邻补角定义可求出，即可求解． 【详解】解：由折叠知：，，， ∴， 过作，则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 38．在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则_________°． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则______°． 【答案】 45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据折叠得出，，根据平行线的性质求出，再根据角度间关系求出结果即可； （2）根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：45． 39．数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 40．【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）． （1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________； 如图4，________，则与的位置关系为________． 【深入探究】 （2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数． 【答案】（1），，；（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键； （1）折叠推出，，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ ∴ 如图4，由折叠可知：，则与的位置关系为 故答案为：，，． （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 【题型6 情境类压轴】 41．综合与探究 问题情境：如图，，和的延长线交于点，点在上，，点在的延长线上，连接． (1)独立思考：如图1，若，求的度数． (2)问题解决：如图2，若平分平分，点在上，平分． ①求证：； ②若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由平行线的性质，数形结合求角度即可； （2）①由平行线的判定与性质求证即可；②由平行线的性质，结合角平分线定义，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）①证明：， ， 平分平分， ， ， ； ②过点作，如图所示： 则， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， 平分， ． 42．问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）解：当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 43．【问题情境】（1）如图1，，，，求度数． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数． 【答案】（1）；（2），，之间的数量关系为：或者或者；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）分点在线段上，点在线段右侧，点在线段左侧三种情况，过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可； （3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过点P作，则：， ， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2），，之间的数量关系为：或者或者． ①当点在线段上时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； ②当点在线段右侧时，；理由如下： 如图，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； ③当点在线段左侧时，；理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即； （3）过点P作，过点Q作，如图， 由（2）的结论可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，． ∴ ． 44．综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4），或， 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的几何应用，解题关键是掌握平行线的性质． （1）如图①，根据，，即可得与有的关系； （2）如图②，根据，，即可得与的关系； （3）由（1）（2）即可得出结论； （4）设为，根据以上结论和比的2倍少，列出方程即可求出与的度数． 【详解】(1)解：． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (4)设“另一个角”的度数为， 当这两个角相等时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴这两个角的度数分别为，； 当这两个角互补时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴， ∴这两个角的度数分别为，； 故这两个角的度数分别为，或，． 45．综合与实践 【问题情境】数学活动课上，小北将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点N，M分别在直线上，直线，直线与分别相交于点G，H，，且． 【探索发现】（1）填空：如图，过点P作， ∵， ∴ ， ∴ ，，    ．．．．．． ∴ （填“”“”或“”）． 【操作探究】（2）的平分线交直线于点O． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小北将三角板沿直线左右移动，并保持（点N不与点G重合），在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）， ，；（2）①；②或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解； ②可分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ，， ， ∴； （2）解：，， ，， ， 平分， ， ， ， ； 的度数为或， 如图2，当点在点的右侧时，   ，， ， ， ， ，， 平分， ， ； 如图3，当点在点的左侧时，    同理可得， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或． 46．【问题情境】 如图，，连接，垂足为点． 【问题解决】 （1）如图1，若，则的度数为__________； 【问题拓展】 （2）如图2，过点作，交的延长线于点，请说明与的数量关系； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 【答案】 （1） （2）与的数量关系为：，理由见详解 （3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是关键． （1）根据平行线的性质得到，由垂直的定义得到，再根据平行线的性质得到，由此即可求解； （2）根据平行线的性质得到，由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，则，等量代换即可求解； （3）根据平行线的性质，角平分线的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）与的数量关系为：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，且， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在（2）的条件下，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 48．【问题情境】    （1）如图1，∥是上一点，B是上一点，点C在直线之间． ①若，，则的度数为____________． 【问题探究】 ②试探究的数量关系，并说明理由． 【问题应用】 （2）如图2，是三面镜子，将一束光线沿方向射入镜子，通过镜子的反射，最后从镜子上的点C处射出，此时入射光线与反射光线平行．若，试用含的式子表示出的度数． 【答案】（1）①  ②  （2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）①过点作则，则可求出和的度数，然后利用计算即可； ②过点作则，然后得到，，进而得到结论； （2）过点作过点作，则有，即可得到，，，然后代入即可解题． 【详解】解：（1）①过点作 ∵， ∴， ∴，， ∴；    ②①过点作 ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）过点作过点作， 又∵入射光线与反射光线平行， ∴， ∴，，， ∴    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $