专题09 概率压轴6种重点题型归类（压轴题专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题09 概率压轴6种重点题型归类 目录 典例详解 类型一、递推法求概率 类型二、二项分布求概率最大 类型三、概率最值问题 类型四、概率的乘法公式 类型五、条件概率 类型六、正态分布 压轴专练 类型一、递推法求概率 1.明确问题中的关键变量（如连续成功次数、棋子位置、得分数值等），并用符号（如 ( Pn )、( En ) ）清晰定义状态。 2.分析从当前状态出发，经过一步随机试验后，所有可能转移到的下一个状态，并确定每一步转移的‌概率‌3.利用全概率公式或全期望公式，根据状态转移关系，列出关于目标概率或期望的方程。常见形式有单阶递推 ( Pn = f(P{n-1}) ) 或多阶递推 ( Pn = aP{n-1} + bP{n-2} )‌‌。 4.找出递推序列起始的、已知的初始值。 ‌5.结合边界条件，通过解方程、迭代、构造等比数列或求解特征方程等方法，解出目标概率或期望的表达式‌‌ 例1．(25-26高二·广东珠海第二中学·期中) (多选)现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为（，且），则（   ） A．传球次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等 B．当时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队手中的概率恒为一个常数 D．设传球次后球在甲手中的概率为，则（） 【答案】BC 【分析】根据题意，分别求得甲传给乙、丙、丁的概率，乙传给甲、丙、丁的概率，丙传给甲、乙、丁的概率，丁传给甲、乙、丙的概率，结合选项，利用全概率公式，以及等比数列的性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意得，甲传给乙、丙、丁的概率分别为，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，丁传给甲、乙、丙的概率分别为， 对于A，当时，球从甲开始传，球在甲手中可分为三种情况： 当甲乙甲，其概率为；当甲丙甲，其概率为； 当甲丁甲，其概率为，所以概率为， 当时，球从甲开始传，球在乙手中时，可分为两种情况： 当甲丙乙，其概率为； 当甲丁乙，其概率为； 所以概率为，两者概率不相等，所以A错误； 对于C，设传球次后，球在队成员手中的概率为， 根据全概率公式，可得是常数， 由选项可知当传球2次后球在队手中的概率为，所以C正确； 对于D，事件：传球次后，球在甲手中；：传球次后，球在乙手中； ：传球次后，球在队队员手中，则， 设次传球后，球在乙手中的概率为，由C项知球在甲手中的概率为， 球在队队员手中时，下一次传球后，有的概率传到乙手中， 根据全概率公式得 ，所以， 所以是首项为 公比为的等比数列， 可得，所以， 所以传球次后球在甲手中的概率为，所以D错误. 对于B，当时，可得，所以B正确. 变式1-1．(24-25高二下·广东珠海第一中学等五校·)随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． (1)求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； (2)证明：； (3)求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 【答案】(1)36 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分三种情况讨论，分别求出走四步回到出发点的情况，再利用分类加法计数原理求解即可； （2）利用，  根据等式两侧的系数必然相等证明即可； （3）若该粒子在经次移动后回到出发点，那么其在上、下方向上移动的次数、及在左、右方向上移动的次数一定各自相同，根据独立事件概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】（1）该粒子移动4个单位要回到出发点可分如下三大类： （i）其所走四步中有一步上、一步下、一步左、一步右，共有种走法 （ii）其所走四步中有二步上、二步下，共有种走法 （iii）其所走四步中有二步左、二步右，共有种走法   故而该粒子走四步回到出发点的情况共有为种 （2）因为， 故而有   因为等式两侧的系数必然相等，故而有 （3）若该粒子在经次移动后回到出发点，那么其在上、下方向上移动的次数、及在左、右方向上移动的次数一定各自相同，设其向上移动的次数为，则其向左移动的次数为，故而所求概率为         变式1-2．(25-26高二下·福建三明第一中学·月考)某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 变式1-3．(25-26高二上·甘肃平凉庄浪县·月考)某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，． 【分析】（1）根据题意，利用互斥事件的概率公式可求得，再根据第天选择餐厅用餐的概率得到关于的表达式； （2）由（1）可得到是等比数列，利用等比数列的通项公式可求得. 【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 类型二、二项分布求概率最大 使  取最大值的  值由  的性质决定： ‌若  不是整数‌： 最大概率对应的 （即不超过  的最大整数）。 ‌若  是整数‌： 最大概率出现在两个相邻值：  和 。 ‌边界情况‌： 若 ，则  时概率最大（此时  接近 1）。 例2．(24-25高二·广东深圳中学·期中)如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 【答案】(1)； (2) 0 1 2 ，； (3). 【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，利用二项分布求出分布列，进而求出期望、方差. （3）利用二项分布概率最大问题列出不等式组求解. 【详解】（1）设事件 “两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 所以所求概率. （2）粒子个数的可能值为：，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； 方差. （3）的可能取值为，， 个粒子返回室的概率为， 则， 即， 整理得，解得，而，因此， 所以，当时，取最大值. 变式2-1．(25-26高二下·广东茂名第一中学等九校·调研)甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为： ； (3)①；②当时，取得最大值. 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （3）①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 变式2-2．(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 变式2-3．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. (1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. 【答案】(1)分布列见解析，0 (2)（i），；（ii） 【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解概率，即可求解分布列以及期望， （2）（i）根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解（i）， （ii）设事件A：粒子在第2n秒末第一次回到原点，事件B：粒子第1秒末向右移动一个单位， 根据，结合的定义，即可求解． 【详解】（1）依题可知，的可能取值为， ，， ，， 的分布列如下： -3 -1 1 3 . （2）（i），， （ii）设事件：粒子在第秒末第一次回到原点， 事件：粒子第1秒末向右移动一个单位. ， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为， 以下仅考虑事件. 设第秒末粒子的运动方式为，其中；沿用（1）中对粒子位置的假设， 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知 数列的前项中有个1和个. ，， 粒子在余下秒中运动的位置满足， 即， 粒子在余下秒中运动方式的总数为， ，又， . 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 类型三、概率最值问题 1.通过构造函数， 2.利用导数求最值 例3．(25-26高二下·广东惠州第一中学·期中) (多选)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 P 下列结论正确的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据分布列的性质结合已知条件判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意得，若，则，A错误； 对于B，若，则，，B正确； 对于C，若，则，又，所以，C正确； 对于D，由，得， ， 因为，，所以取不到，D错误. 变式3-1．(23-24高二下·山东青岛第二中学·期中)(多选)某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 【答案】D 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】A：在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A错误； B：，当时，取得最大值，故B错误； C、D：， ， ， ， 当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系. 变式3-2．(24-25高二下·广东珠海实验中学·)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为. (1)若，求； (2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时的值为. 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率. （2）利用全概率公式求出，再构造函数，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况， 要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况： ①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况； ②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况， 所以所求概率为. （2）记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则， 由全概率公式知：， 当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时； 当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时， 因此， 令，求导得，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 变式3-3．(22-23高二下·广东江门广雅中学·)三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为． (1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为，求； (2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会超过预算，理由见详解 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和n次独立重复实验的概率计算公式进行求解即可； （2）设每位员工测试的费用为X元，则X的可能取值为90，150，利用n次独立重复实验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求出数学期望的表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可． 【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为， 每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为， 综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为 ． （2）设每位员工测试的费用为X元，则X的可能取值为90，150， 由题意知，， ， 所以随机变量X的数学期望为 （元），， 令，， 则， 所以当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即（元）. 所以此方案的最高费用为（万元）， 综上可知，若以此方案实施估计不会超过预算． 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式、n次独立重复实验的概率计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；考查运算求解能力和转化与化归能力；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题． 类型四、概率的乘法公式 1.判断事件关系‌：首先判断事件之间是否独立。若独立，直接使用简化公式；若不独立，必须使用包含条件概率的一般形式。‌‌ ‌2.在使用一般公式时，需准确识别和计算每一步的条件概率。例如，在不放回抽样中，每次抽取后样本空间会发生变化。‌‌ ‌3.根据已知条件灵活选择P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B)，以简化计算。‌‌ ‌4.与加法公式的区别‌：加法公式（P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)）用于计算事件‌至少一个发生‌的概率；而乘法公式用于计算事件‌全部同时发生‌的概率，两者解决不同类型的问题。‌‌ ‌5.在公式体系中的地位‌：概率乘法公式与条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式紧密关联。它由条件概率定义（P(B|A) = P(AB)/P(A)）推导得出，同时也是推导全概率公式和贝叶斯公式的基础 例4．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 变式4-1．(24-25高二下·广东清远清新区第一中学·月考) （多选）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博亦游戏之一．东汉的许慎在《说文解字》中说：＂弈，围棋也．＂因此，＂对弈＂在当时特指下围棋．现甲与乙对弈三盘，甲每盘赢棋的概率是 ，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，甲每盘赢棋的概率是 ，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是 和 ，则以下结论正确的是（ ） A． B．当时， C．对，有 D．当时， 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意与乙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为，依题意列出不等式，求解即可得到的范围；同理可求出的范围；对于B，移项可得，故，再结合A选项的可判断；对于C，结合B分析，只要满足，有；对于D，由，可化简为，因式分解，结合A选项即可判断. 【详解】对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为， 则，解得，故， 甲与丙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为， 则，解得，故，故，则A正确； 对于B，由得，则， 即，又，所以，所以，故B正确； 对于C，对，结合B分析，只要满足，有，故C正确； 对于D，令，则， 化简为，故－， 即，又因为，则， 即，故D错误. 故选：ABC 变式4-2．(25-26·广东广州第八十六中学·期中)进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（   ） A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 【答案】C 【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，即可得. 【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错； B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为， 采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、， 对应概率依次为、、、，故所求概率为，错； C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 所以 ， 又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对； D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为， 所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错. 故选：C 变式4-3．(23-24高二下·福建莆田·期末)甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. (1)若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. (2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据条件，利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求出结果； （ii）记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，分别求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出结果； （2）根据条件求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，设轮比赛后，乙累计得分为，则，再根据条件，即可求出结果. 【详解】（1）（i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和， 所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为. （ii）由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得1分， 记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得1分， 则，， 易知互斥，所以. （2）因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为， 设轮比赛后，乙累计得分为，则， 由题知，又，函数在上单调递增， 所以， 由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，利用相互独立事件的概率公式求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率，从而得到轮比赛后，乙累计得分满足，再根据条件，即可求解. 类型五、条件概率 条件概率处理方法 1.用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数， 2.用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件. 例5．(22-23高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（    ） A． B． C．， D．， 【答案】ACD 【分析】对选项AC，求出包含的事件数为，从而得到，并计算出；选项B，计算出，，利用条件概率公式计算出答案，选项D，得出，，和，，利用条件概率公式得到答案. 【详解】对于AC，“摸完第n次球后就停止摸球”，有放回的摸n次，有种可能，若恰好摸球n次就停止摸球，则恰好第n次三种颜色都被摸到，即前次摸到2种颜色，第n次摸到第三种颜色，共种情况， 则，，，AC正确； 对于B，事件表示第一次摸到红球，摸到第4次，摸球结束， 若第2次或第3次摸到的球为红球，此时有种情况，不妨设第2次摸到的球为红球， 则第3次和第4次摸到的球为蓝球或黄球，有2种可能，故有种情况， 若第2次和第3次都没有摸到红球，则第2次和第3次摸到的球颜色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球颜色不同，故有种情况， 故，其中摸4次球可能的情况有种，故， 其中，故，B错误； 对于D，表示“第次摸到蓝球，第次摸到黄球，第次摸到红球，停止摸球”，则前次摸到的球是蓝球或黄球，故有种可能，故，， 表示“在前次摸球中，第次摸到蓝球，第次摸到黄球”，故有种可能， 故，，则，，D正确. 故选：ACD 【点睛】常见的条件概率处理方法，其一是用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数，其二是用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件. 变式5-1．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按 “第步到” 和 “第步到” 分类枚举所有路径，计算事件（仅一次经过）的总路径数与事件（同时满足水平移动次）的路径数，再用条件概率公式​求解． 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）点”，事件“水平方向移动次”，按移动到需要步还是步分类讨论， 记为向左，为向右，为向上，为向下， ①若第步到为事件，则移动次满足要求的是（或或），（或或），（或或），（或或）， 所以； ②若第步到为事件，则移动次满足要求的是，所以． 因为，且互斥，所以． 满足的情况有：，所以， 所以． 变式5-2．(25-26高二·福建福州高级中学·)“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． (1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． (2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，根据全概率公式求出，再根据条件概率公式求；（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，记，由全概率公式求出与的递推关系，构造数列求其通项公式可得. （2）首先求出的分布列，得出的表达式，错位相减法求出. 【详解】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ， 已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为． （ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件， 记， 由题知，当时， ， 由全概率公式知， ， ， ， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 则，即第次答题是选手甲的概率为． （2）的所有可能取值为， 所以的分布列为 1 2 3 ．．． ．．． 故①， ②， ①-②，得 所以． 变式5-3．(23-24高二下·广东中山杨仙逸中学·)材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.根据全概率公式和条件概率公式求解即可； （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，事件表示小球向右走一格.小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，即.证明是以为首项，3为公比的等比数列求解即可. 【详解】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知： 故：. （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子， 此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动， 此时当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于， 即.由题知， 又，故， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 即：， 即：， ， ， 故， ， 则， 故这名顾客获得代金券的概率为. 【点睛】关键点睛：理解题意，根据全概率公式和条件概率公式对实际问题的逻辑理解是关键，本题考查全概率公式和条件概率的实际应用，属于较难题. 类型六、正态分布 ‌概率计算‌：通过标准化公式Z = (X - μ)/σ，将一般正态分布问题转化为标准正态分布问题，再利用3σ原则：P(μ-σ < X < μ+σ) ≈ 68.3%， P(μ-2σ < X < μ+2σ) ≈ 95.4%， P(μ-3σ < X < μ+3σ) ≈ 99.7%。 例6．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第一中学·期末)已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） A．45 B．53 C．54 D．90 【答案】B 【分析】由已知可推得， ，根据已知以及正态分布的对称性，可求得 .则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得， . 又 ， 所以，，. 设， 则 ， 所以，，所以. ， 所以，，所以. 所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值. 变式6-1．(22-23高二下·福建福州第一中学·期末)某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（    ）附： A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可. 【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得： ， 所以， 由，即， 又 所以的最大值为． 故选：A． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可. 变式6-2．(23-24高二·期末押题卷)《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. (1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 【答案】(1)①；②证明见解析. (2)①；② 【分析】（1）①根据相互独立事件及对立事件求解即可； ②利用条件概率公式及性质证明即可. （2）①由已知可推得， ， 根据已知以及正态分布的对称性，可求得 .则，，设， 求出函数的最大整数值，即可得出答案. ②利用样本平均数及方差公式化简即可求解. 【详解】（1）①改进生产工艺前，该款芯片的次品率为 . ②由题意，所以，所以， 又， 所以，即， 所以，即，所以. （2）①由已知可得， . 又 ， 所以，. 设， 令 ， 所以，所以. 令 ， 所以，所以. 所以使得最大的M值作为M的估计值，则M为. ②记，这个芯片的质量指标的平均数为：，则 又 同理， 所以 ， 所以. 变式6-3．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论； （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）（i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. 1．(24-25高二下·安徽·期末)为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 【答案】A 【分析】利用条件概率公式化简. 【详解】1.化简. 已知， 则， 由条件概率公式， 所以 ， 2.根据列联表计算概率 由列联表可知，， 所以 故选：A. 2．(25-26高二·安徽淮南第二中学等校·期中)（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ③若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. 3．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末) （多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【详解】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 4．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过个人，下一次由接下来的第个人进行射击．前次射击结束，丙未进行射击的概率为________．若前次射击中，设丙射击的次数为，则的数学期望为________． 【答案】 /0.25 【分析】第空：要丙前次不射击，甲第次必须命中（否则直接轮到丙），乙第次必须未命中（否则第次轮到丙），故概率为甲命中概率×乙未命中概率：． 第空：先通过递推关系求出第次轮到丙射击的概率，再利用期望的线性性质，对从到求和，经等比数列化简得 ． 【详解】答题空： 要让丙在前次射击中未射击，需要满足： 若第次甲射击未命中，此时跳过乙，下一次由丙射击，不符合“丙未射击”的条件， 所以只能是第次甲射击命中，则第次射击由乙射击， 若第次射击乙命中，则由丙射击，不符合“丙未射击”的条件， 所以只能是第次乙射击不命中，则第次射击由甲射击，符合“丙未射击”的条件， 所以前次射击结束，丙未进行射击的概率为； 答题空： 设第次由甲、乙、丙射击的概率分别为， 由题意得，且， 所以，化简得，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 设变量为第次丙射击，则，， 所以． 5．(25-06高二下·福建莆田第一中学·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. ①请用表示； ②设备升级后，已知该企业现有控制系统中有个元件（此时该系统处于正常运行），若增加个元件，则单位时间内的期望利润是否提高？ 【答案】(1) 期望为， (2)①②若，增加个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）①先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； ②分以下三种情况讨论：（i）原系统中至少有个元件正常工作；（ii）原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作；（iii）原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为、、、， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）①升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. ②若增加个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加个元件后利润提高；当时，增加个元件后利润没有提高. 6．(25-26高二上·福建南安国光中学·期中)某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）事件与事件不相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据古典概型求解概率； （2）（i）根据事件的独立性计算事件的概率（ii）根据事件的独立性定义验证事件的相互独立 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型. 记事件“甲获得一等奖”，则，， 所以，所以甲获得一等奖的概率为； （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中 （i）先不考虑额外中奖情况，事件“乙中二等奖”， 由（1）知，；， 再考虑额外中奖的情况，事件“乙中二等奖”， 因为这两个事件为互斥事件，所以顾客乙中二等奖的概率为； （ii）由（1）知；，；，； ，. 则，，与相互独立. 所以. 因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 . 因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以 又 所以，所以事件与事件不相互独立. 7．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】(1)①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. (2)分布列见解析；期望为 (3)Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【详解】（1）分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 （2）分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． （3）验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则 ． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． 8．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)①随机变量X的分布列见解析，期望；② (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）①已知答对概率，那么答错概率为，设答对题数为k，得分，依次计算出时的概率，得出随机变量X的分布列，并计算出期望；②已知甲得8分（连对4题）概率，得出答对每题的概率为，进一步计算出至少答对3题的概率. （2）（ⅰ）对，得分n进行递推，得出，计算，得出是以为首项，为公比的等比数列；（ⅱ）由差数列累加求和得： ，判断奇数项和偶数项的单调性，推出的最大值为. 【详解】（1）①已知答对概率，则答错概率.设答对题数为k，得分，故取值为3，4，5，6： 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 P 期望. ②已知甲得8分（答对4题）概率为，得.则其至少答对3题的概率： （2）（ⅰ）证明：对，得分n的递推： 最后一题答错（概率）：之前得分，故含； 最后一题答对（概率）：之前得分，故含. 即. 所以 初始项：，，故. 因此，是以为首项，为公比的等比数列. （ⅱ）由差数列累加求和： ， 偶数项（）: 为负，正数，且随着n增大，正数减小，故为最大值； 奇数项（）：为正，正数，随着n增大，正数减小，趋近于0，故最大值趋近于. 综上，为最大值，计算，即最大值为. 9．(24-25高二下·福建三明·期末)某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 【答案】(1) (2)（ⅰ）该厂商的说法不可信；（ⅱ）10000 【分析】（1）利用条件概率表示. （2）（ⅰ）结合二项分布的期望和方差公式，判断是否为小概率事件. （ⅱ）根据列式，解不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设事件表示芯片通过测试Ⅰ，则， 设事件表示芯片通过测试Ⅱ，则， 设事件表示芯片通过测试，则. 所以. （2）（ⅰ）若，则. 设抽取的100枚芯片中，合格芯片数为，则，所以,. 当时，， 根据切比雪夫不等式：. 所以若，则为小概率事件，所以厂商的说法不可信. （ⅱ）因为，所以，. 由切比雪夫不等式：. 因为（当时取等号）. 所以要使，即 . 10．(24-25高二下·河北保定高中·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，解出即可； （2）根据二项分布的 均值和期望公式得到，最后根据二次函数性质即可得到答案； （3）对消费金额进行合理分段讨论即可. 【详解】（1）甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． （3）①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 概率压轴6种重点题型归类 目录 典例详解 类型一、递推法求概率 类型二、二项分布求概率最大 类型三、概率最值问题 类型四、概率的乘法公式 类型五、条件概率 类型六、正态分布 压轴专练 类型一、递推法求概率 1.明确问题中的关键变量（如连续成功次数、棋子位置、得分数值等），并用符号（如 ( Pn )、( En ) ）清晰定义状态。 2.分析从当前状态出发，经过一步随机试验后，所有可能转移到的下一个状态，并确定每一步转移的‌概率‌3.利用全概率公式或全期望公式，根据状态转移关系，列出关于目标概率或期望的方程。常见形式有单阶递推 ( Pn = f(P{n-1}) ) 或多阶递推 ( Pn = aP{n-1} + bP{n-2} )‌‌。 4.找出递推序列起始的、已知的初始值。 ‌5.结合边界条件，通过解方程、迭代、构造等比数列或求解特征方程等方法，解出目标概率或期望的表达式‌‌ 例1．(25-26高二·广东珠海第二中学·期中) (多选)现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为（，且），则（   ） A．传球次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等 B．当时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队手中的概率恒为一个常数 D．设传球次后球在甲手中的概率为，则（） 变式1-1．(24-25高二下·广东珠海第一中学等五校·)随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． (1)求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； (2)证明：； (3)求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 变式1-2．(25-26高二下·福建三明第一中学·月考)某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 变式1-3．(25-26高二上·甘肃平凉庄浪县·月考)某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 类型二、二项分布求概率最大 使  取最大值的  值由  的性质决定： ‌若  不是整数‌： 最大概率对应的 （即不超过  的最大整数）。 ‌若  是整数‌： 最大概率出现在两个相邻值：  和 。 ‌边界情况‌： 若 ，则  时概率最大（此时  接近 1）。 例2．(24-25高二·广东深圳中学·期中)如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 0 1 2 0 1 2 变式2-1．(25-26高二下·广东茂名第一中学等九校·调研)甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 变式2-2．(24-25高二下·广东广州越秀区·期末)某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. X 0 1 2 3 4 P 变式2-3．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. (1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. -3 -1 1 3 类型三、概率最值问题 1.通过构造函数， 2.利用导数求最值 例3．(25-26高二下·广东惠州第一中学·期中) (多选)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 P 下列结论正确的（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 变式3-1．(23-24高二下·山东青岛第二中学·期中)(多选)某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 变式3-2．(24-25高二下·广东珠海实验中学·)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为. (1)若，求； (2)当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 变式3-3．(22-23高二下·广东江门广雅中学·)三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为． (1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为，求； (2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由． 类型四、概率的乘法公式 1.判断事件关系‌：首先判断事件之间是否独立。若独立，直接使用简化公式；若不独立，必须使用包含条件概率的一般形式。‌‌ ‌2.在使用一般公式时，需准确识别和计算每一步的条件概率。例如，在不放回抽样中，每次抽取后样本空间会发生变化。‌‌ ‌3.根据已知条件灵活选择P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(B)P(A|B)，以简化计算。‌‌ ‌4.与加法公式的区别‌：加法公式（P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)）用于计算事件‌至少一个发生‌的概率；而乘法公式用于计算事件‌全部同时发生‌的概率，两者解决不同类型的问题。‌‌ ‌5.在公式体系中的地位‌：概率乘法公式与条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式紧密关联。它由条件概率定义（P(B|A) = P(AB)/P(A)）推导得出，同时也是推导全概率公式和贝叶斯公式的基础 例4．(24-25高二下·广东湛江第一中学·期末)（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 变式4-1．(24-25高二下·广东清远清新区第一中学·月考) （多选）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博亦游戏之一．东汉的许慎在《说文解字》中说：＂弈，围棋也．＂因此，＂对弈＂在当时特指下围棋．现甲与乙对弈三盘，甲每盘赢棋的概率是 ，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，甲每盘赢棋的概率是 ，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是 和 ，则以下结论正确的是（ ） A． B．当时， C．对，有 D．当时， 变式4-2．(25-26·广东广州第八十六中学·期中)进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（   ） A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 变式4-3．(23-24高二下·福建莆田·期末)甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. (1)若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. (2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？ 类型五、条件概率 条件概率处理方法 1.用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数， 2.用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件. 例5．(22-23高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（    ） A． B． C．， D．， 变式5-1．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众，现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动次的概率为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．(25-26高二·福建福州高级中学·)“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． (1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． (2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 1 2 3 ．．． ．．． 变式5-3．(23-24高二下·广东中山杨仙逸中学·)材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 类型六、正态分布 ‌概率计算‌：通过标准化公式Z = (X - μ)/σ，将一般正态分布问题转化为标准正态分布问题，再利用3σ原则：P(μ-σ < X < μ+σ) ≈ 68.3%， P(μ-2σ < X < μ+2σ) ≈ 95.4%， P(μ-3σ < X < μ+3σ) ≈ 99.7%。 例6．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第一中学·期末)已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ） A．45 B．53 C．54 D．90 变式6-1．(22-23高二下·福建福州第一中学·期末)某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（    ）附： A．4 B．5 C．6 D．7 变式6-2．(23-24高二·期末押题卷)《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. (1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 变式6-3．(24-25高二下·福建三明六校·期中)小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 1．(24-25高二下·安徽·期末)为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 2．(25-26高二·安徽淮南第二中学等校·期中)（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（    ）. A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 3．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末) （多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 4．(25-26高二下·福建厦门大学附属科技中学·期中)甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过个人，下一次由接下来的第个人进行射击．前次射击结束，丙未进行射击的概率为________．若前次射击中，设丙射击的次数为，则的数学期望为________． 5．(25-06高二下·福建莆田第一中学·)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. ①请用表示； ②设备升级后，已知该企业现有控制系统中有个元件（此时该系统处于正常运行），若增加个元件，则单位时间内的期望利润是否提高？ 产量 0 设备运行概率 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 6．(25-26高二上·福建南安国光中学·期中)某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； (2)当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 7．(24-25高二下·福建师范大学附属中学、福州一中、三中·期末)联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． X 1 3 4 P 8．(24-25高二下·福建泉州第五中学·期末)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等． (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为p， ①设，记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望； ②若甲同学答完前四道题得8分的概率为，求甲同学答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若甲同学答对每道题的概率均为，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为， （ⅰ）求证：是等比数列； （ⅱ）求的最大值． X 3 4 5 6 P 9．(24-25高二下·福建三明·期末)某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ. (1)求θ（结果用p表示）； (2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题： （ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）； （ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）. 10．(24-25高二下·河北保定高中·期末)某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $