重难点专题3.2 离散型随机变量及其分布列与正态分布十二种题型（高效培优专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

重难点专题3.2 离散型随机变量及其分布列与正态分布十二种题型 题型一 求离散型随机变量的分布列 题型二 利用随机变量分布列的性质解题 题型三 由随机变量的分布列求概率 题型四 两点分布及其应用 题型五 二项分布及其应用 题型六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型七 超几何分布及其应用 题型八 离散型随机变量均值、方差的计算问题 题型九 离散型随机变量均值、方差的应用 题型十 正态曲线的应用问题 题型十一 标准正态分布的应用 题型十二 正态分布的应用、3δ原则 题型一 求离散型随机变量的分布列 1．（河南名校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率，最后整理得到分布列. 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，， ∵，， ∴， ∴甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）先根据组合数计算，再根据对立事件概率求解； （2）先求出取值为0，1，2，3对应的概率，再得出分布列即可. 【详解】（1）设事件：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为， 所以． （2）所有可能的取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 3．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）（法1）先求对立事件“摸出的3个小球中没有标记数字3的小球”的概率，再利用对立事件概率公式计算目标概率；（法2）按照摸出的小球中标记数字为3的小球的个数分类，计算概率，然后再利用和事件的概率公式计算即可； （2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，计算时的概率时，（法1）利用分布列概率和等于1计算；（法2）按照摸出小球的情况分类计算即可；最后根据计算结果列出分布列. 【详解】（1）（法1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （法2）摸出的小球中只有1个标记数字为3的小球的概率为. 摸出的小球中有2个标记数字为3的小球的概率为. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （2）由（1）得. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则. （法1）则. （法2）若，则摸出小球的情况有3种. ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时. ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球， 此时. ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球， 此时. 则. 综上，的分布列见下表. 1 2 3 4．（江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）通过把甲同学所有可能选择答案的样本空间列出，再使用古典概型计算公式计算甲同学得4分的概率； （2）列出2道多项选择题的总得分变量的取值情况，再通过独立事件乘法公式计算出每种情况的概率，列出变量的分布列. 【详解】（1）设“甲同学得4分”为事件， 该同学所有可能的选择答案的样本空间， 包含6个样本点，而事件A包含3个，所以 所以他本题得4分的概率为． （2）设“这2道多项选择题的总得分”为随机变量，可能取值为0，3，6，9，12， 则，， ，       ，， 所以随机变量的概率分布如下： 5．（2026高三·全国·专题练习）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数.求的分布列. 【答案】 1 2 3 … … 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. 【详解】当（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … 6．（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【答案】(1)36 (2) 0 1 2 3 P 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率. 【详解】（1）先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 题型二 利用随机变量分布列的性质解题 7.（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【详解】因为概率和为1，所以， 化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 8．（山东济南市2025-2026学年高二年级下学期期中检测数学试题）离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质可得出关于的等式或不等式，解之即可. 【详解】由分布列的性质可得，即，解得. 9．（24-25高二下·江苏连云港·月考）若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为______． X 0 1 2 3 P a b 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、基本不等式求和的最小值 【分析】由分布列的性质得，再由基本不等式求的最小值. 【详解】由题设，可得， 由，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 题型三 由随机变量的分布列求概率 10．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质求出后可求. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 故选：C 11．（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据条件，利用分布列的性质得到，即可求解. 【详解】由题知，解得，所以， 又， 故选：B. 12．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么__________. 【答案】/ 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 13．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次．甲每次生成成功的概率为，失败概率为；乙每次生成成功的概率为，失败概率为．记甲成功生成密钥的次数为，乙成功生成密钥的次数为，则的值为______． 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】将分解成三种互斥事件的和事件，再结合独立事件乘法公式和二项分布概率计算公式即可求解. 【详解】由题意，，且甲成功生成密钥与乙成功生成密钥为独立事件， 情况1： ， ，， 该项概率：， 情况2： ， ， ， 该项概率：， 情况3： ， ， ， 该项概率： 故 14．（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某一射手射击所得环数的分布列如下： (1)求的值． (2)求此射手“射击一次命中的环数”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】 （1）根据分布列中的概率和为可构造方程求得结果； （2）由分布列中对应的概率，结合对立事件概率公式可求得结果. 【详解】（1），. （2）此射手“射击一次命中的环数”的概率. 题型四 两点分布及其应用 15．（24-25高二下·河南商丘·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布概率性质即可求解. 【详解】由题意有：解得. 故选：B. 16．（24-25高二下·河北石家庄·期中）随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】设，因为服从两点分布， 所以，则，解得． 故选：C． 17．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】两点分布、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】先确定服从两点分布，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 18．（23-24高二上·上海·课后作业）掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】两点分布、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据掷得每个点数为等可能事件写分布列即可； （2）根据古典概型求概率公式求概率，然后写分布列即可. 【详解】（1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数X的分布为． （2）因为，而，所以Y的分布为． 题型五 二项分布及其应用 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知某种疾病患者的痊愈率为，为试验一种新药是否有效，一个医生把它给10个志愿者病人服用，且规定：若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求： (1)虽然新药有效，且把痊愈率提高到，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】设被治好的人数为，每个人被治好的概率为，则求即可. 新药完全无效时，被认为有效的概率为. 【详解】（1）设被治好的人数为，每个人被治好的概率为，则 所以新药有效但通过试验被否定的概率约为0.5138 （2）设被治好的人数为，每个人被治好的概率为，则 所以新药无效时被认为有效的概率约为 20．（2025高一·全国·专题练习）小明和小华进行一场投篮比赛．小明每次投篮命中的概率是0.6，小华每次投篮命中的概率是0.5．他们约定每人各投2次，每次命中得1分，不中得0分． (1)求小明总得分X的概率分布列． (2)求小华总得分Y的概率分布列． (3)定义随机变量，表示两人总得分的绝对差值．求Z的概率分布列． (4)求小明总得分不超过1分的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 (3)分布列见解析 (4) 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】（1）小明总得分X服从二项分布，X的可能取值为，依次求出对应的概率即可； （2）小华的总得分Y服从二项分布．Y的可能取值也为．依次求出对应的概率即可； （3）随机变量的可能取值取决于X和Y的所有组合．Z的可能取值为．由于小明和小华的投篮是相互独立的，所以．依次求出Z取的概率即可； （4）小明总得分不超过1分的概率是X取值为0或1的概率之和，两个概率相加即可. 【详解】（1）小明每次投篮可以看作一次两点分布试验．他投2次，总得分X服从二项分布．X的可能取值为．计算其分布列： ， ， ． 所以，X的概率分布列为： x 0 1 2 0.16 0.48 0.36 （2）同理，小华的总得分Y服从二项分布．Y的可能取值也为．计算其分布列：， ， ． 所以，Y的概率分布列为： y 0 1 2 0.25 0.50 0.25 （3）随机变量的可能取值取决于X和Y的所有组合．Z的可能取值为．由于小明和小华的投篮是相互独立的，所以．我们通过列举所有可能的情况来求Z的分布列：． 所以，Z的概率分布列为： z 0 1 2 0.37 0.50 0.13 （4）小明总得分不超过1分的概率是X取值为0或1的概率之和． ． 这也可以看作是X的累积分布函数在处的值． 题型六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 21．（24-25高一下·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 【答案】 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用二项分布求分布列 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 22．（25-26高三·北京·一轮复习）若，则取得最大值时，_____． 【答案】5 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】由二项分布写出的表达式，结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】因为，所以，， 由组合数的性质知，当时最大，此时取得最大值． 故答案为：5 23．（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 【答案】 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以，再利用导数求解最大值． 【详解】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜， 所以， 则． 令，得； 令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 24．（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 25．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）根据古典概型的知识进行求解即可. （2）根据二项分布的概率公式列出不等式方程组，求出最值. 【详解】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 题型七 超几何分布及其应用 26．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【知识点】求超几何分布的概率 【详解】设这一箱脐橙中有个烂果， 则从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率， 解得或，结合各选项，所以这箱脐橙的烂果个数可能为． 27．（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】补全频率分布直方图、超几何分布的分布列 【分析】根据频率和为1求解即可； 根据各段人数可得的可能取值为0，1，2，再求解分布列求解即可. 【详解】（1）由，解得． （2）分数在，的人数分别是（人），（人）， 所以的可能取值为0，1，2，其服从参数为，，的超几何分布． 则，， ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 28．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据样本极差，数量直接计算即可； （2）根据方差公式计算； （3）运用超几何分布求概率，得到分布列. 【详解】（1）因为样本极差为，. （2）求得参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为， 所以方差. （3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为，故可能值为. 则的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长均为7， 的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长分别为6，8， 故， ， ， 故的分布列为 0 1 2 29．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 【答案】(1)强化训练后跳水队成绩有所提高，理由见解析； (2)分布列见解析. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）可以选择平均数、中位数、众数等数字特征中的两种比较即可判断；（2）首先求出优秀与非优秀学员的比例，根据超几何分布求解相应概率即可. 【详解】（1）强化训练后跳水队成绩有所提高，理由如下： 强化训练前：平均数约为， 由题中图1知频率最大的一组是，所以众数约为； 强化训练后：平均数约为， 由题中图2知频率最大的一组是，所以众数约为. 所以强化训练后的平均数与众数均大于强化训练前，即强化训练后跳水队成绩有所提高. (也可以比较中位数，强化训练前的中位数位于区间，强化训练后的中位数位于区间，前者小于后者) （2）由题中图2可知强化训练后的跳水队中优秀学员（得分80分以上（含80分））的频率为， 则非优秀学员的频率为， 从强化训练后的跳水队中共抽取5名，则这5名学员中优秀学员的人数为，非优秀学员的人数为， 从这5名学员中随机选出3人，这3名队员中优秀人数的可能取值为， 且，，， 所以的分布列如下. 1 2 3 题型八 离散型随机变量均值、方差的计算问题 30．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差 【分析】代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 31．（河南许昌第二高级中学等四校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用分布列性质来求参数，再利用期望和方差公式计算即可求解. 【详解】由分布列的性质，所有概率和为1，得：① 由得：② 联立①②得，解得：，. 由方差公式， 可得， 代入公式得：. 32．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】两点分布、两点分布的均值、方差的性质、两点分布的方差 【分析】根据两点分布得，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以，故A正确； ，故D错误； ，故B正确； ， 故C错误. 故选：AB 33．（多选）（浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题）已知随机变量的分布列为 -1 0 1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【详解】选项A：由分布列的性质，得，解得，所以，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误． 题型九 离散型随机变量均值、方差的应用 34．（多选）（21-22高二·全国·课后作业）投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1甲股票收益的分布列 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2乙股票收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列结论正确的是（    ） A．投资甲股票收益的均值较小 B．投资乙股票收益的均值较小 C．投资甲股票比投资乙股票的风险高 D．投资乙股票比投资甲股票的风险高 【答案】BC 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的实际应用 【分析】根据分布列计算期望及方差即得. 【详解】甲股票收益的均值， 方差, 乙股票收益的均值， 方差， 所以，， 则投资乙股票收益的均值较小，投资甲股票比投资乙股票的风险高． 故选：BC． 35．（25-26高二下·河北邯郸·期中）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】(1)0.93； (2)11； (3)他愿意购买“准时保”. 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 36．（24-25高三下·北京朝阳·月考）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)，，， (3)<， 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、方差的实际应用 【分析】（1）由图得出电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数结合古典概型即可求解； （2）先由图得出两部电影综合票房占比均超过％的天数，接着得随机变量的取值，再由古典概型即可计算各个取值的概率，结合数学期望公式计算期望即可得解； （3）由图中数据大小分布情况即可得解. 【详解】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天， 所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为； （2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天， 所以的取值有，所以的分布列为， 所以的分布列数学期望； （3）因为， ， 又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以， 所以，. 37．（23-24高二下·江苏·单元复习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（环）；（环）；；，应选拔甲射手参加奥运会 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的实际应用 【分析】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【详解】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 38．（2012·宁夏银川·一模）现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量（万元），根据市场分析，的分布列为： 12 11.8 11.7 P 投资B项目100万元，一年后获得的利润（万元）与B项目产品价格的调整（价格上调或下调）有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p（0≤p<1）． 经专家测算评估B项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表： B项目产品价格一年内下调次数X（次） 0 1 2 投资100万元一年后获得的利润（万元） 13 12.5 2 （1）求的方差； （2）求的分布列； （3）若p=0.3，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？ （参考数据：1.22×0.49+0.72×0.42+9.82×0.09=9.555）． 【答案】（1）0.01；（2）分布列见解析；（3）从获得稳定收益考虑, 当p=0.3时应投资A项目. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的实际应用 【分析】（1）根据的概率分布列，利用期望、方差公式，即可计算作答. （2）确定X的取值，求出相应的概率，可得的概率分布列. （3）当p=0.3时，期望相同，利用方差的大小比较，即可得到结论． 【详解】（1）依题意，， 所以． （2）设表示事件”第i次调整，价格下调”（i=1，2），则； ； ， 所以的概率分布列为： 13 12.5 2 P （3）当p=0.3时，， ， 由（1）知，，当投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资B项目的风险高于A项目， 所以从获得稳定收益考虑，当p=0.3时应投资A项目． 题型十 正态曲线的应用问题 39．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】应用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 40．（25-26高三·全国·一轮复习）某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【答案】B 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可得. 【详解】由题意知， ． 故选：B. 41．（浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题）已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布曲线对称性求解即可. 【详解】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则． 42．（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 43．（25-26高三上·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【答案】C 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】借助正态分布的原则，进行解题； 【详解】因为，则， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，故等级对应“”， 因为考试的成绩服从正态分布，， 则， 则A等级的分数线约为115. 故选：C. 44．（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】BCD 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【详解】由题意得，即，所以，故A错误． 因为，则正态分布图象关于直线对称，所以，故，故B正确． ，故C正确． 因为，即随机变量，的正态曲线形状相同， 所以要使， 根据正态曲线的对称性可知，即，故D正确． 45．（多选）（2026·浙江·二模）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【知识点】判断或证明函数的对称性、正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 题型十一 标准正态分布的应用 46．（25-26高二·全国·寒假作业）产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 【答案】(1) (2) 【知识点】独立重复试验的概率问题、指定区间的概率、正态分布的实际应用、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】（1）根据得到，参考列方程即可求得； （2）根据对立事件的概率可得，从而可知指标在之内的件数服从二项分布，进而可求解. 【详解】（1）因为产品质量指标，即， 又因为，即， 解得， 又，则，解得. （2）因为，所以，， 记指标在之内的件数为，则， 所以. 47．（2025高一·全国·专题练习）设是来自正态总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差． (1)证明． (2)证明． (3)若，求的值（已知标准正态分布） 附：若，则） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】（1）根据样本均值的定义，利用期望和方差的公式求解； （2）根据样本方差的定义，再根据期望公式求解的期望； （3）对题干正态分布标准化，再代入相关参数求解. 【详解】（1）证明：由样本均值的定义知，由于，且相互独立， 所以根据期望的线性性质可得； 又因为（）是来自正态总体的简单随机样本，所以， 所以； 根据方差的性质（为常数）可得， 又因为（）， 所以. （2）证明：由样本方差的定义知，且 可得 ， 又因为， 所以 ， （3）由（1）知，即， 定义，则，临界值为， ， 根据标准正态分布表可知. 题型十二 正态分布的应用、3δ原则 48．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】用表示糖果质量，可知，令，则，根据正态分布的三段区间法即可求解. 【详解】用表示糖果质量，由题意可知，要求的概率，即求的值， 令，则， 因此有 . 49．（22-23高二·全国·课堂例题）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 【答案】(1)0.4207； (2)0.9544. 【知识点】标准正态分布的应用、正态分布的实际应用 【分析】（1）（2）将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可. 【详解】（1）. 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207， （2） . 故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 50．（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 【答案】(1) (2)159 (3) 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据正态分布原则求解； （2）由正态分布的对称性求得，进而估计成绩超过90分的学生人数； （3）设前分位数为，由结合正态分布表求得，进而求得，根据条件概率公式求得，得解. 【详解】（1）设学生数学竞赛成绩为，则，则，， . （2）因为， 所以估计成绩超过90分的学生人数为人. （3）设前分位数为，则，所以， 由正态分布表得，解得， 又， ， 所以选中的2人成绩都超过95分的概率为. 51．（2025高一·全国·专题练习）某工厂生产一种电子元件，声称其合格率为．质检部门随机抽取了200个元件进行检验． (1)设X为样本中合格品的数量，求X的期望和方差． (2)利用中心极限定理，近似计算样本合格率与声称合格率的偏差小于的概率（已知标准正态分布）． (3)若实际检验中合格品数量为170个，根据正态近似，判断该结果是否为小概率事件（概率小于0.05，已知标准正态分布）． (4)求样本合格率不低于的概率的近似值． 【答案】(1)， (2) (3)该结果是小概率事件 (4) 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、标准正态分布的应用 【分析】（1）根据二项分布的期望和方差公式进行求解即可. （2）由中心极限定理，X近似服从正态分布，利用正态分布的性质求解即可. （3）利用正态分布的性质求解即可. （4）利用正态分布的性质求解即可. 【详解】（1）假设工厂声称的合格率是真实的，则． 期望：， 方差： （2）样本合格率，要求 . 由中心极限定理，X近似服从正态分布． 标准化：， （3）实际检验中合格品数量为170个，计算． 标准化：， 由于，因此该结果是小概率事件． （4）样本合格率不低于即，对应． 52．（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题3.2 离散型随机变量及其分布列与正态分布十二种题型 题型一 求离散型随机变量的分布列 题型二 利用随机变量分布列的性质解题 题型三 由随机变量的分布列求概率 题型四 两点分布及其应用 题型五 二项分布及其应用 题型六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型七 超几何分布及其应用 题型八 离散型随机变量均值、方差的计算问题 题型九 离散型随机变量均值、方差的应用 题型十 正态曲线的应用问题 题型十一 标准正态分布的应用 题型十二 正态分布的应用、3δ原则 题型一 求离散型随机变量的分布列 1．（河南名校联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 3．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 4．（江苏南京市七校联合体2025-2026学年第二学期期中调研高二数学试卷）多项选择题是标准化考试中常见题型，从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或者三个选项是正确的） 如果答案有且仅有两个选项是正确的，那么其评分标准为全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分；如果答案有且仅有三个选项是正确的，那么评分标准是全部选对得6分，只选一个且没有选错得2分，只选两个且没有选错得4分，有选错的得0分． (1)在一次数学考试中，某道多项选择题的正确答案是三个选项，甲同学不会做，于是他随机选择了两个选项，求他本题得4分的概率； (2)现有2道正确答案是两个选项的多项选择题，根据以往经验，第一题得6分的概率为，得3分的概率为；第二题得6分的概率为，得3分的概率为．两道题答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题的总得分的分布列． 5．（2026高三·全国·专题练习）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数.求的分布列. 6．（2026·辽宁抚顺·一模）将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. (1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 题型二 利用随机变量分布列的性质解题 7.（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 8．（山东济南市2025-2026学年高二年级下学期期中检测数学试题）离散型随机变量的分布列为：则（    ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25高二下·江苏连云港·月考）若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为______． X 0 1 2 3 P a b 题型三 由随机变量的分布列求概率 10．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么__________. 13．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次．甲每次生成成功的概率为，失败概率为；乙每次生成成功的概率为，失败概率为．记甲成功生成密钥的次数为，乙成功生成密钥的次数为，则的值为______． 14．（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某一射手射击所得环数的分布列如下： (1)求的值． (2)求此射手“射击一次命中的环数”的概率． 题型四 两点分布及其应用 15．（24-25高二下·河南商丘·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 16．（24-25高二下·河北石家庄·期中）随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·全国·课前预习）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 18．（23-24高二上·上海·课后作业）掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 题型五 二项分布及其应用 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知某种疾病患者的痊愈率为，为试验一种新药是否有效，一个医生把它给10个志愿者病人服用，且规定：若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效.试求： (1)虽然新药有效，且把痊愈率提高到，但通过试验被否定的概率； (2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 20．（2025高一·全国·专题练习）小明和小华进行一场投篮比赛．小明每次投篮命中的概率是0.6，小华每次投篮命中的概率是0.5．他们约定每人各投2次，每次命中得1分，不中得0分． (1)求小明总得分X的概率分布列． (2)求小华总得分Y的概率分布列． (3)定义随机变量，表示两人总得分的绝对差值．求Z的概率分布列． (4)求小明总得分不超过1分的概率． 题型六 服从二项分布的随机变量概率最大问题 21．（24-25高一下·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 22．（25-26高三·北京·一轮复习）若，则取得最大值时，_____． 23．（2025高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 24．（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 25．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 题型七 超几何分布及其应用 26．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期中）一箱脐橙共有12个，其中有若干个为烂果，从这一箱脐橙中任取2个，恰有1个烂果的概率不大于，则这箱脐橙的烂果个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．（24-25高二下·全国·课后作业）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：，，，，，． (1)求图中的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的分布列． 28．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 29．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 题型八 离散型随机变量均值、方差的计算问题 30．（25-26高二下·江西赣州·月考）设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 31．（河南许昌第二高级中学等四校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 32．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（多选）（浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题）已知随机变量的分布列为 -1 0 1 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 离散型随机变量均值、方差的应用 34．（多选）（21-22高二·全国·课后作业）投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1甲股票收益的分布列 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2乙股票收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列结论正确的是（    ） A．投资甲股票收益的均值较小 B．投资乙股票收益的均值较小 C．投资甲股票比投资乙股票的风险高 D．投资乙股票比投资甲股票的风险高 35．（25-26高二下·河北邯郸·期中）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 36．（24-25高三下·北京朝阳·月考）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 37．（23-24高二下·江苏·单元复习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 38．（2012·宁夏银川·一模）现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量（万元），根据市场分析，的分布列为： 12 11.8 11.7 P 投资B项目100万元，一年后获得的利润（万元）与B项目产品价格的调整（价格上调或下调）有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p（0≤p<1）． 经专家测算评估B项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表： B项目产品价格一年内下调次数X（次） 0 1 2 投资100万元一年后获得的利润（万元） 13 12.5 2 （1）求的方差； （2）求的分布列； （3）若p=0.3，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？ （参考数据：1.22×0.49+0.72×0.42+9.82×0.09=9.555）． 题型十 正态曲线的应用问题 39．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 40．（25-26高三·全国·一轮复习）某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 41．（浙江强基联盟2025-2026学年高二下学期4月题库数学试题）已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 42．（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 43．（25-26高三上·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 44．（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，，则下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则，，． A．若，则 B． C． D．若，则 45．（多选）（2026·浙江·二模）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 题型十一 标准正态分布的应用 46．（25-26高二·全国·寒假作业）产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 47．（2025高一·全国·专题练习）设是来自正态总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差． (1)证明． (2)证明． (3)若，求的值（已知标准正态分布） 附：若，则） 题型十二 正态分布的应用、3δ原则 48．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 49．（22-23高二·全国·课堂例题）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，） (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率； (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. 50．（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 51．（2025高一·全国·专题练习）某工厂生产一种电子元件，声称其合格率为．质检部门随机抽取了200个元件进行检验． (1)设X为样本中合格品的数量，求X的期望和方差． (2)利用中心极限定理，近似计算样本合格率与声称合格率的偏差小于的概率（已知标准正态分布）． (3)若实际检验中合格品数量为170个，根据正态近似，判断该结果是否为小概率事件（概率小于0.05，已知标准正态分布）． (4)求样本合格率不低于的概率的近似值． 52．（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $