第3节　圆的方程 课件——2027届高三数学一轮复习

第3节　圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于　　　　　的所有点的集合(或轨迹)叫作圆  方程 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C　　　　  半径为　　  一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 圆心C(-,-) 半径r= 定长 (a,b) r 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)之间存在着下列关系: (1)|MC|>r⇔M在　　　　　,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外;  (2)|MC|=r⇔M在　　　　　,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上;  (3)|MC|<r⇔M在　　　　　,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内.  常用结论 1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 2.圆的三条性质: 圆心在圆的任一弦的垂直平分线上;圆心在过切点且与切线垂直的直线上;两圆相切时,切点与两圆圆心共线. 圆外 圆上 圆内 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(　　) (2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则圆心为(a,b),半径为m.(　　) × 解析 若a=0,方程x2+y2=0表示的是点(0,0),不表示圆,若a≠0,方程x2+y2=a2表示半径为|a|的圆. × 解析 由圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),可得圆心为(a,b),半径为|m|,其中,当m<0时,半径为负数,显然错误. (3)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　) (4)若两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(　　) × 解析 只有当两圆的圆心距小于两圆的半径之和且大于两圆的半径之差的绝对值时,两圆才相交. × 解析 由题意,两个圆是相切的位置关系,包括内切和外切. 2.(人A选一教材习题改编)下列各点中,在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的 是(　　) A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,1) B 解析 由(0-1)2+(2+2)2=17<25知(0,2)在圆内;由(3-1)2+(3+2)2=29>25知(3,3)在圆外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上;由(4-1)2+(1+2)2=18<25知(4,1)在圆内.故选B. 3.(人A选一教材习题改编)圆心为点C(8,-3),且过点A(5,1)的圆的一般方程是　 .  x2+y2-16x+6y+48=0 解析 圆的半径r=|CA|==5,所以圆的标准方程为 (x-8)2+(y+3)2=25,化为一般式,得x2+y2-16x+6y+48=0. 4.(人B选一教材习题改编)已知圆x2+y2+2x-ay-4=0的半径为3,则实数a的值为　　　　　.  ±4 解析 圆的一般方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-)2=5+,所以5+=9,解得a=±4. 5.(人A选一教材习题改编)已知两点A(4,9)和B(6,3),则以AB为直径的圆的标准方程是　 .  (x-5)2+(y-6)2=10 解析 由题意得所求圆的圆心为线段AB的中点(),即(5,6),半径为,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 6.(人A选一教材例题改编)已知圆C经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上,则圆C的标准方程为　　 　　　;若D为圆C上任意一点,且点E(3,0),则线段ED的中点M的轨迹方程为　 .  (x-2)2+(y-4)2=10 (x-)2+(y-2)2= 解析 由题可设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则解得所以圆C的标准方程为 (x-2)2+(y-4)2=10.设M(x,y),D(x1,y1).由E(3,0)及M为线段ED的中点,得解得又点D在圆C:(x-2)2+(y-4)2=10上,所以(2x-3-2)2 +(2y-4)2=10,化简得(x-)2+(y-2)2=,故点M的轨迹方程为(x-)2+(y-2)2= 考点一　圆的方程 例1　(2022·全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在圆M上,则圆M的方程为　 .  (x-1)2+(y+1)2=5 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 (方法一)设圆心M(a,1-2a),圆M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2 =(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求圆M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (方法二)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M(-,-), 解得 ∴圆M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (方法三)设A(3,0),B(0,1),则线段AB的垂直平分线方程为y-=3(x-), 即y=3x-4.由解得即圆心M的坐标为(1,-1).设圆M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求圆M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教考衔接 1.(人A选一教材例题)已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点,且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的标准方程. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解 设圆心C的坐标为(a,b). 因为圆心C在直线l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0.① 因为A,B是圆上两点,所以|CA|=|CB|. 根据两点间距离公式,有, 即a-3b-3=0.② 由①②可得a=-3,b=-2,所以圆心C的坐标是(-3,-2). 圆的半径r=|AC|==5, 所以所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 2.(苏教选一教材习题)求过两点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程. 解 由于圆心在直线x-2y-2=0上,可设圆心坐标为(2b+2,b),再根据圆过两点A(0,4),B(4,6),可得[(2b+2)-0]2+(b-4)2=[(2b+2)-4]2+(b-6)2,解得b=1,可得圆心为(4,1),半径为=5,故所求的圆的方程为 (x-4)2+(y-1)2=25. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程 (1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. (2)代数法,即设出圆的方程,标准方程或一般方程,用待定系数法求系数. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1](2025·广西一模)在平面直角坐标系xOy中,若圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切,则圆C的标准方程可以为　　　　　 　　　　　.(写出满足条件的一个答案即可)  (x-1)2+y2=1(答案不唯一) 解析 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为圆C的圆心在x轴上,且与y轴相切,则|a|=r,b=0, 则圆的方程为(x-a)2+y2=a2,故任取非零实数a即可,现取a=1,即圆C的标准方程可以为(x-1)2+y2=1. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点二　与圆有关的轨迹问题 角度1　直接法 例2　(2025·上海模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足=2,则动点M的轨迹方程为　　　　　　　　.  (x-5)2+y2=16 解析 设M(x,y),由=2,得=4,可得(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,即 x2-10x+y2+9=0, 整理得(x-5)2+y2=16,故动点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=16. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　设平面内一动点的坐标为待求变量,给定两个定点的坐标及一个不为1的常数比例,根据动点到两定点的距离之比等于该常数的条件建立等式,通过平方、移项、合并同类项等代数变换逐步化简,最终推导出该动点的轨迹方程. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2](2025·吉林通化期中)在△ABC中,A(-5,0),C(5,0),|AB|=2|BC|,则点B的轨迹方程为　 .  x2+y2-x+25=0(y≠0) 解析 设点B(x,y)(y≠0),则|AB|=,|BC|=,则=2, 化简可得x2+y2-x+25=0(y≠0). 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度2　定义法 例3　等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解 设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得|AC|=|AB|,由两点间距离公式,得,化简,得(x-4)2+(y-2)2=10. 因为A,B,C三点不共线,而直线AB的方程为3x+y-14=0, 联立解得 故点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(点(3,5)和(5,-1)除外), 所以点C的轨迹是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆除去(3,5)和(5,-1)两点. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3]已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,点M是圆C上的动点,AM与圆C相切,且|AM|=2,则点A的轨迹方程是(　　) A.y2=4x B.x2+y2-2x-2y-3=0 C.x2+y2-2y-3=0 D.y2=-4x B 解析 因为圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆心C(1,1),半径r=1.因为点M是圆C上的动点,所以|MC|=1.又AM与圆相切,且|AM|=2,则|AC|=,设A(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y-3=0,所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-2y-3=0.故选B. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度3　相关点代入法 例4　(2026·重庆模拟)点P在圆x2+y2=36上运动,它与点Q(4,0)所连线段中点为M,则点M的轨迹方程为(　　) A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9 C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9 A 解析 设点M(x,y),P(x0,y0), 因为M为线段PQ的中点,所以即P(2x-4,2y),又因为动点P在圆上,所以(2x-4)2+(2y)2=36,则x2-4x+y2-5=0,即(x-2)2+y2=9,则点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=9.故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　相关点法求动点的轨迹方程,只要寻找要求点与已知点之间的关系,代入已知点所满足的关系式即可. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练4](2024·新高考Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.=1(y>0) B.=1(y>0) C.=1(y>0) D.=1(y>0) A 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 设P(x0,y0)(y0>0),则P'(x0,0),设M(x,y),则x=x0,y=,又=16,所以x2+4y2=16,即=1(y>0),故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 考点三　与圆有关的最值和范围问题 角度1　利用几何性质求最值 例5　(多选题)已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,下列说法正确的是(　　) A.的最小值为- B.x+y的最小值为2-2 C.(x+2)2+(y+3)2的最小值为5 D.点(x,y)到直线y=kx+2的距离的最大值为2+2 BD 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 如图,方程(x-2)2+y2=4表示以C(2,0)为圆心,半径r=2的圆. 表示点(-1,0)与圆上的点(x,y)的连线的斜率,设过点(-1,0)的直线的斜率为k,则y=k(x+1),即 kx-y+k=0,所以圆心C到该直线的距离d1=2,解得-k,故A错误; 令z=x+y,即x+y-z=0,直线x+y-z=0与圆必有交点, 则圆心C到该直线的距离d2=2,解得2-2z≤2+2,即2-2x+y≤2+2,故x+y的最小值为2-2,即B正确; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 (x+2)2+(y+3)2表示圆上的点(x,y)到A(-2,-3)的距离的平方,令圆上的点(x,y)到A(-2,-3)的距离为d3,因为|AC|==5, 所以|AC|-r≤d3≤|AC|+r,即3≤d3≤7,所以9≤(x+2)2+(y+3)2≤49,故C错误; 因为直线y=kx+2恒过点D(0,2),又|CD|==2,所以点(x,y)到直线y=kx+2的距离的最大值为2+2,故D正确.故选BD. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　与圆有关的最值问题的三种几何转化法 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练5](多选题)已知实数x,y满足x2+y2-4y+3=0,则(　　) A.当x≠0时,的最小值是- B.x2+y2的最小值是1 C.y-x的最小值是2- D.|x+y+3|的最小值为2 BC 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 由x2+y2-4y+3=0,得x2+(y-2)2=1.该方程表示圆心为C(0,2),半径r=1的圆. 设=k(x≠0),则k表示圆上的点(除去点(0,1)和(0,3))与原点O(0,0)连线的斜率,由y=kx(x≠0),则1,解得k或k≤-,故A错误;因为x2+y2表示圆上的点到原点的距离的平方,又圆心在y轴上,所以当x=0,y=1时,x2+y2取得最小值,且最小值为1,故B正确; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 设y-x=b,b∈R,则y=x+b,b表示当直线y=x+b与圆有公共点时,直线在y轴上的截距,则1,解得2-b≤2+,即y-x的最小值是2-,故C正确;|x+y+3|表示圆上的点到直线x+y+3=0距离的倍,圆心(0,2)到直线x+y+3=0的距离为d=,则|x+y+3|的最小值为(-1)=5-,故D错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度2　利用对称性求最值 例6　已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5-4 B.-1 C.6-2 D. A 解析 由题可知圆心C1(2,3),圆心C2(3,4).因为点P是x轴上任意一点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3)(图略),所以|PC1|+|PC2|=|PC'1|+|PC2|≥|C'1C2|=5, 即|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5-4.故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路 (1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离; (2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练6](2026·浙江温州月考)在平面直角坐标系中,存在圆O:x2+y2=1,点A(-,0)和点B(0,),M为圆O上的动点,则下列说法正确的是(　　) A.2|MA|-|MB|的最大值为 B.2|MA|+|MB|的最小值为2 C.2|MA|-|MB|的最大值为 D.2|MA|+|MB|的最小值为 C 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 设点M(x,y),由圆O:x2+y2=1,点A(-,0)和点B(0,),可得2|MA|=2 = ==|MC|, 其中C(-2,0),点C在圆O外,点B在圆O内,如图所示,可得2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|≤|BC|=,当且仅当M为CB的延长线与圆O的交点时,等号成立,所以2|MA|-|MB|的最大值为 考点一 考点二 考点三 教材衍展 又由2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|≥|BC|=,当且仅当M为CB与圆O的交点M1时,等号成立,所以2|MA|+|MB|的最小值为故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 角度3　利用函数求最值 例7　设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则的最大值为　　　　　.  12 解析 由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以=x2+y2-4.因为点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的点,所以x2+(y-3)2=1,2≤y≤4,所以x2=-(y-3)2+1,所以=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.因为2≤y≤4,所以当y=4时,的值最大,最大值为6×4-12=12. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 规律方法　建立函数关系式求最值:根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练7](2026·河南信阳模拟)已知P是圆+(y-a)2=1上的动点,Q是直线l:y=x+2上的动点,则|PQ|的最小值为(　　) A.-1 B. C.-1 D. C 解析 由题意得,圆+(y-a)2=1的圆心为(a2,a),半径r=1. 因为(a2,a)到直线y=x+2的距离d=>r,当且仅当a=时,等号成立,所以对任意的a∈R,直线l与该圆相离,所以|PQ|的最小值为d-r=-1.故选C. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 教材衍展　圆的参数方程 1.圆的参数方程 圆心为(a,b),半径为r的圆的普通方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它的参数方程为θ为参数. 2.利用参数方程表示圆上的点 由圆的参数方程我们可以把圆心为(x0,y0),半径为r的圆上的点设为 (x0+rcos θ,y0+rsin θ)(θ∈[0,2π)),简称设“点参”. 特别地,若原点为圆心,常用(rcos θ,rsin θ)来表示半径为r的圆上的任一点. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 1.求代数式的最值 先把圆的一般方程化为标准方程,再转化为参数方程,利用参数方程把待求式化为关于参数的函数,利用三角函数的有界性求得最值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例1(2025·浙江宁波模拟)已知实数a,b满足a2+b2=6,则ab的取值范围 是(　　) A.(0,3] B.(-∞,3] C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.[-3,3] D 解析 ∵a2+b2=6,不妨设a=sin θ,b=cos θ,θ∈[0,2π), 则ab=6sin θcos θ=3sin 2θ∈[-3,3]. 故选D. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练1](多选题)(2025·河北衡水模拟)已知点(a,b)是圆 x2+y2-4x-8y+16=0上任意一点,则(　　) A.a+b的最大值是4+2 B.的最小值是 C.a2+b2的最小值是24-8 D.a2+b2-2a+2b的最大值是30+4 BC 考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 圆的方程可化为(x-2)2+(y-4)2=4, 设(0≤θ<2π), 则a+b=6+2sin θ+2cos θ=6+2sin(θ+),当sin(θ+)=1时,a+b取得最大值6+2,故A错误;=tan2+tan+1 =(tan)2+,所以当tan=-时,取得最小值,故B正确; 考点一 考点二 考点三 教材衍展 a2+b2=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2=24+8cos θ+16sin θ=24+8cos(θ-φ1),其中tan φ1=2,所以当cos(θ-φ1)=-1时,a2+b2取得最小值24-8,故C正确; a2+b2-2a+2b=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2-2(2+2cos θ)+2(4+2sin θ) =24+8cos θ +16sin θ-4-4cos θ+8+4sin θ=28+4cos θ+20sin θ =28+4cos(θ-φ2),所以当cos(θ-φ2)=1时,a2+b2-2a+2b取得最大值28+4,故D错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 2.求参数的取值范围 利用圆的参数方程,采用代入法把求参数的取值范围问题转化为求三角函数值域的问题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例2(2026·江苏南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在一点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最大值为　　　　　.  0 解析 ∵M在(x-2)2+(y-2)2=1上,∴可设M(2+cos θ,2+sin θ),可得N(2+cos θ, -2-sin θ),将点N的坐标代入kx+y+3=0,可得sin θ-kcos θ=2k+1,|2k+1|,化简得3k2+4k≤0,解得-k≤0,所以k的最大值为0. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练2](2025·陕西西安期中)已知曲线(α为参数)上任一点P(x0,y0),使得不等式m≥x0+y0成立,则实数m的取值范围是(　　) A.[2,+∞) B.(-∞,-4] C.[1,+∞) D.(-∞,1] A 解析 因为x0=-1+2cos α,y0=2sin α+1,所以x0+y0=-1+2cos α+2sin α+1 =2sin(α+),即m≥2sin(α+).因为-1≤sin(α+)≤1,所以m≥2故选A. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 3.求距离等最值 将圆上的动点用参数方程表示,利用距离公式将距离转化为关于角参数的三角函数,再利用三角函数知识求得最值. 考点一 考点二 考点三 教材衍展 典例3“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创,定义如下:在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)的“曼哈顿距离”为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知动点N在圆x2+y2=16上,定点M(4,5),则M,N两点的“曼哈顿距离”的最大值为　　　　　.  9+4 解析 由题意,不妨设N(4cos θ,4sin θ),θ∈[0,2π),则M,N两点的“曼哈顿距离”为d(M,N)=|4-4cos θ|+|5-4sin θ|=9-4(sin θ+cos θ)=9-4sin(θ+),所以d(M,N)=9-4sin(θ+)≤9+4,当且仅当sin(θ+)=-1时等号成立,即当且仅当即θ=时等号成立.综上,M,N两点的“曼哈顿距离”的最大值为9+4 考点一 考点二 考点三 教材衍展 [对点训练3](2025·浙江模拟)P是圆C:x2+(y-2)2=1上一动点,A(2,0),Q为AP的中点,O为坐标原点,则|OQ|的最大值为　 .  考点一 考点二 考点三 教材衍展 解析 如图所示, 因为圆C:x2+(y-2)2=1的参数方程为(0≤θ<2π), 所以设点P(cos θ,2+sin θ),则AP的中点Q(), 所以|OQ|= ==, 当sin(θ+)=1时,|OQ|取得最大值为 考点一 考点二 考点三 教材衍展 $