5.1分式及其基本性质（第2课时 分式的基本性质）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

5.1 分式及其基本性质 导学案 第2课时 分式的基本性质 1.理解并掌握分式的基本性质. 2.会运用分式的基本性质对分式进行变形. 学习重点：掌握分式的基本性质并能灵活运用. 学习难点：分式约分时对公因式的正确提取与彻底约分. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.分式的定义： 一般地，用A，B表示两个 ，A÷B可以表示成 的形式. 如果B中含有 ，那么称 为分式.其中A称为分式的 ，B称为分式的 . 对于任意一个分式，分母不能为零. 2.(1)分式有意义的条件： . (2)分式无意义的条件： . (3)分式值为零的条件： . 情景引入 教师提问： 吗？你的判断依据是什么？从左到右依次是怎样变化来的？谁是最简的分数？ 学生思考： 思考： 你能类比分数，得到分式的基本性质吗？ 新知自研：自研课本第128下面-1304页的内容． 【学法指导】 自研课本P2-3页例题上面的内容，思考： ●探究一：分式的基本性质 ◆1.思考交流 类比分数，你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流. 你能总结出分式的基本性质吗？ ◆2.新知归纳 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 的整式，分式的值 . 这一性质可以用式子表示为： ◆3.例题探究 例 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1） （2） ◆4.练一练 利用分式的基本性质填空： （1）=； （2）=； （3）=. 5.新知归纳 解决与分式的恒等变形有关题目的方法： 一般从分子或分母的已知部分入手，先观察等号两边的分子或分母发生了怎样的变化，再通过对分母或分子进行 的变形. ●探究二：分式的约分 ◆1.尝试交流 化简下列各式： （1） （2） ◆2.知识归纳 分式的约分 把一个分式的分子与分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 约分的基本步骤： (1)当分式的分子与分母都是单项式时，直接约去分子、分母的公因式(即分子、分母系数的 与分子、分母中相同字母的 次幂的积)； (2)当分式的分子与分母含有多项式时，应先将多项式 ，再确定分子、分母的公因式并约去． ◆3.操作交流 （1）化简分式：. （2）在化简时，小宇和小丽的作法分别如下. 对于两人的做法，你有什么看法？与同伴进行交流. ◆4.知识归纳 最简分式： 当分式的分子和分母没有 时，这样的分式称为最简分式． 注意：化简分式时，通常要使结果成为 或整式． ◆5.练一练 下列分式是最简分式的是(　　) A. B. C. D. ●探究三：分式的符号化简法则 ◆1.观察思考 （1）与有什么关系？ （2）与与−有什么关系？ ◆2.知识归纳 分式的符号化简法则： 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何 ，分式的值不变，改变其中的一个或三个，则分式的值变成原分式值的 ． ◆3.练一练 分式可变形为 (　　) A. B. − C. D.− 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨分式的基本性质是什么；如何利用分式的基本性质来进行约分,最简分式是怎么定义的？. B.探讨分式的符号法则，在分式的符号化简时有哪些注意事项. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法.. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列分式从左到右变形正确的是（ ） 2．下列分式中与相等的是（ ） A. B. C. D. 3.在分式:①，②，③，④中,最简分式有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值(　　) A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.扩大为原来的倍 8.若a=-3，则=____. 9.计算−x=_____. 11.化简下列分式： (1); (2) ; (3); (4). 12.已知x+2y-1=0，求代数式的值。 13. 小明在爬一小山时,第一阶段的平均速度为v，所用时例间为；第二阶段的平均速度为v,所用时间为。下山时，小明的平均速度保持为4v，已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间? 题型一： 分式的基本性质 1．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（　　） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 3．不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 4．找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论： ①；②；③；④， 则正确的结论有 　 　． 5．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数为　 　． 题型二： 最简分式的识别 6．下列分式中最简分式是（　　） A． B． C． D． 7．下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 8．下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 9．分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，其中是最简分式的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型三： 分式的约分 11．约分的结果是（　　） A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y 12．下列各分式化简后与相等的是（　　） A． B． C． D． 13．化简的结果是 　． 14．化简下列分式： （1）； （2）． 15．约分： （1）． （2）． （3）． （4）． 题型四： 利用分式的基本性质求值 16．若，则的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 17．已知x3，则的值是（　　） A．10 B．8 C． D． 18．已知，则　 ． 19．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即， ∴∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，，，∴． 根据材料解答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 20．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． （1）上述解题过程中，第①步运用了　 　的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了　 　的基本性质； （2）参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． ▲1、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 的整式，分式的值 . 这一性质可以用式子表示为： ▲２、分式的约分 把一个分式的分子与分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 约分的基本步骤： (1)当分式的分子与分母都是单项式时，直接约去分子、分母的公因式(即分子、分母系数的 与分子、分母中相同字母的 次幂的积)； (2)当分式的分子与分母含有多项式时，应先将多项式 ，再确定分子、分母的公因式并约去． ▲3、最简分式： 当分式的分子和分母没有 时，这样的分式称为最简分式． 注意：化简分式时，通常要使结果成为 或整式． ▲4、分式的符号化简法则： 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何 ，分式的值不变，改变其中的一个或三个，则分式的值变成原分式值的 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 分式及其基本性质 导学案 第2课时 分式的基本性质 1.理解并掌握分式的基本性质. 2.会运用分式的基本性质对分式进行变形. 学习重点：掌握分式的基本性质并能灵活运用. 学习难点：分式约分时对公因式的正确提取与彻底约分. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.分式的定义： 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式， 且B中含有字母，那么称为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母. 对于任意一个分式，分母不能为零. 2.(1)分式有意义的条件：B≠0. (2)分式无意义的条件：B=0. (3)分式值为零的条件：A=0，且B≠0. 情景引入 教师提问： 吗？你的判断依据是什么？从左到右依次是怎样变化来的？谁是最简的分数？ 学生思考： ，其依据是：分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变. 其中，是最简的分数. 思考： 你能类比分数，得到分式的基本性质吗？ 新知自研：自研课本第128下面-1304页的内容． 【学法指导】 自研课本P2-3页例题上面的内容，思考： ●探究一：分式的基本性质 ◆1.思考交流 类比分数，你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流. 解：==(a≠0)， ==(n≠0). 你能总结出分式的基本性质吗？ ◆2.新知归纳 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 这一性质可以用式子表示为： =，=(m≠0). ◆3.例题探究 例 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1） （2） 解：（1）因为y≠0，所以; （2）因为x≠0，所以. 理由：因为当x=0时,bx=0,而分母为零,分式没有意义,所以中的x≠0. ◆4.练一练 利用分式的基本性质填空： （1）=； （2）=； （3）=. 解：，x， 5.新知归纳 解决与分式的恒等变形有关题目的方法： 一般从分子或分母的已知部分入手，先观察等号两边的分子或分母发生了怎样的变化，再通过对分母或分子进行相同的变形. ●探究二：分式的约分 ◆1.尝试交流 化简下列各式： （1） （2） 解：（1）=ac; （2）==. ◆2.知识归纳 分式的约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分的基本步骤： (1)当分式的分子与分母都是单项式时，直接约去分子、分母的公因式(即分子、分母系数的最大公约数与分子、分母中相同字母的最低次幂的积)； (2)当分式的分子与分母含有多项式时，应先将多项式因式分解，再确定分子、分母的公因式并约去． ◆3.操作交流 （1）化简分式：. 解:（1）=x; （2）在化简时，小宇和小丽的作法分别如下. 对于两人的做法，你有什么看法？与同伴进行交流. 解:小宇约分不彻底，分子和分母还有公因式5x，小丽的化简结果中，分子和分母已没有公因式.化简分式时，通常要约分彻底，使分子和分母不含公因式，所以小丽的做法正确. ◆4.知识归纳 最简分式： 当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式． 注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式． ◆5.练一练 下列分式是最简分式的是(　　) A. B. C. D. 解:C ●探究三：分式的符号化简法则 ◆1.观察思考 （1）与有什么关系？ （2）与与−有什么关系？ 解:（1）= , （2）==−. ◆2.知识归纳 分式的符号化简法则： 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，改变其中的一个或三个，则分式的值变成原分式值的相反数． ◆3.练一练 分式可变形为 (　　) A. B. − C. D.− 解:C 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1化简下列分式： 例2先约分，再求值： 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨分式的基本性质是什么；如何利用分式的基本性质来进行约分,最简分式是怎么定义的？. B.探讨分式的符号法则，在分式的符号化简时有哪些注意事项. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法.. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列分式从左到右变形正确的是（ ） 解：C 2．下列分式中与相等的是（ ） A. B. C. D. 解：B 3.在分式:①，②，③，④中,最简分式有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：B 解：C 解：C 6.把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值(　　) A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.扩大为原来的倍 解：B 解：5a,5a,10b;y-2,y-2;x-y,x-y 8.若a=-3，则=____. 解：-1 9.计算−x=_____. 解：2 解： 11.化简下列分式： (1); (2) ; (3); (4). 解： 12.已知x+2y-1=0，求代数式的值。 解：∵x+2y-1=0， ∴x+2y=1， ===2. 13.小明在爬一小山时,第一阶段的平均速度为v，所用时例间为；第二阶段的平均速度为v,所用时间为。下山时，小明的平均速度保持为4v，已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间? 解：因为下山的路程=上山的路程=v+v， 所以小明下山所用的时间是= 题型一： 分式的基本性质 1．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的性质逐项判断即可． 【解答】解：不能约分，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； 不能约分，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（　　） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， ∴分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值是原来的10倍， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3．不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式本身的符号任意改变两个分式的值不变． 【解答】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以﹣1， A、； B、； C、； D、1， 故选：B． 【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变． 4．找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论： ①；②；③；④， 则正确的结论有 　 　． 【分析】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值． 【解答】解：∵， ∴ad＝bc， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设， ∴a＝bk，c＝dk， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键． 5．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数为　 　． 【分析】不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【解答】解：将分子分母同时乘以10，则分式变为：． 【点评】本题主要考查分式的基本性质的应用．是一个基础题． 题型二： 最简分式的识别 6．下列分式中最简分式是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可． 【解答】解：A、分子、分母含有公因数2，所以不是最简分式，不符合题意； B、分子、分母含有公因式（x+1），所以不是最简分式，不符合题意； C、分子、分母含有公因式（x+2y），所以不是最简分式，不符合题意； D、分子不能分解因式，分子分母没有非零次的公因式，所以是最简分式，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查最简分式的定义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 7．下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、3a+b，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【解答】解：A、是最简分式，不符合题意； B、是最简分式．不符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了最简分式，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式． 9．分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用最简分式定义进行分析即可． 【解答】解：分式，，，中，最简分式有，，共2个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 10．已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，其中是最简分式的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】直接利用最简分式的定义分析得出答案． 【解答】解：，，其中是最简分式的有：共1个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 题型三： 分式的约分 11．约分的结果是（　　） A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y 【分析】把分子分母的公因式约去即可得到答案． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的约分，掌握约分的法则是解本题的关键． 12．下列各分式化简后与相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将各选项分式能约分的约分即可得出答案． 【解答】解：A．不能再进一步约分，不符合题意； B．不能再进一步约分，不符合题意； C．不能再进一步约分，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查分式的约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 13．化简的结果是 　． 【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再约去公因式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 14．化简下列分式： （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． 15．约分： （1）． （2）． （3）． （4）． 【分析】直接利用分式的性质化简，进而得出答案． 【解答】解：（1）． （2）2（y﹣x）2． （3）． （4）． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 这样的公分母叫做最简公分母． 题型四： 利用分式的基本性质求值 16．若，则的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 【分析】将变形得y﹣x＝3xy，然后整体代入即可求解． 【解答】解：∵， ∴y﹣x＝3xy， ∵， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查分式的求值，解题关键是正确变形整体代入求解． 17．已知x3，则的值是（　　） A．10 B．8 C． D． 【分析】观察已知和待求，可利用整体代入法解题，首先给已知等式两边同时平方并变形可得x27；待求式的倒数为x2+1，利用整体代入法可得到的值，待求式的值即为该数的倒数． 【解答】解：∵x3， ∴x2+29， ∴x27． ∵x2+1， ∴7+1＝8， ∴． 故选：D． 【点评】本题侧重考查分式的化简，掌握整体代入法是解题关键． 18．已知，则　 ． 【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值． 【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则． 故答案为． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，设出常数是解题的关键． 19．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即， ∴∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，，，∴． 根据材料解答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【分析】（1）仿照材料一，利用倒数和完全平方公式进行计算求解； （2）仿照材料二，利用分式的基本性质计算求解． 【解答】解：（1）∵， ∴4， ∴4， 即x﹣14， ∴x5； （2）令k， ∴a＝5k，b＝4k，c＝3k， ∴原式， ＝2.4． 【点评】本题考查分式的化简求值，理解倒数的概念，掌握分式的基本性质是解题关键． 20．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． （1）上述解题过程中，第①步运用了　 　的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了　 　的基本性质； （2）参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断； （2）按照阅读材料中的设k法即可解答． 【解答】解：（1）上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质， 第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质， 故答案为：等式，分式； （2）设， 则x＝2k，y＝3k，z＝6k， 所以 ， ∴分式的值为：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键． ▲1、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 这一性质可以用式子表示为： =，=(m≠0). ▲２、分式的约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分的基本步骤： (1)当分式的分子与分母都是单项式时，直接约去分子、分母的公因式(即分子、分母系数的最大公约数与分子、分母中相同字母的最低次幂的积)； (2)当分式的分子与分母含有多项式时，应先将多项式因式分解，再确定分子、分母的公因式并约去． ▲3、最简分式： 当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式． 注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式． ▲4、分式的符号化简法则： 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，改变其中的一个或三个，则分式的值变成原分式值的相反数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $