4.3 公式法（第1课时平方差公式）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

4.3公式法 导学案 第1课时 平方差公式 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想. 2.灵活综合提公因式法与平方差公式对多项式进行因式分解. 学习重点：掌握平方差公式 的运用. 学习难点：结合提公因式法与平方差公式，完成分解的多步衔接与简化. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.提公因式法因式分解时，公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2.提公因式法因式分解的步骤： (1)观察； (2)适当变形； (3)确定公因式； (4)提取公因式. 情景引入 填空： （1）（x+5）（x-5） = ______； （2）（3x+y）（3x-y）=______； （3）（3m+2n）（3m–2n）=______． 解：–25,9–,9–4 思考： 回答：以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝计算得出来的. 如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 新知自研：自研课本第118--119页随堂练习上面的内容． 【学法指导】 自研课本第118--119页随堂练习上面的内容，思考： ●探究一：用平方差公式因式分解 ◆1.尝试交流 尝试将上面算式的结果分别写成两个因式的乘积，并与同伴进行交流. -25=_____. 9-=_____. 9-=_____. 解：,（3x+y）（3x-y） ,（3m+2n）（3m–2n） 你能由此得到什么结论？ ◆2.新知归纳 用平方差公式因式分解： 把乘法公式(a+b)( a-b)＝反过来，就得到 ＝(a+b)( a-b). 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:. 即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. ◆3.练一练 把下列各式因式分解. （1）； （2）9. 解：（1）25-16 = =(5+4x)(5-4x)； （2）9 =− =(3a−b)(3a+b). 【方法归纳】： 第一步，将两项写成平方的形式，找出a、b; 第二步，利用=(a-b)(a+b)分解因式. ◆4.观察思考 把下列各式因式分解： （1）2-8x； （2）9-. 解:(1)2-8x =2x(-4) =2x(-) =2x(x+2)(x-2). (2)9- =- =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n). ◆5.知识归纳 运用平方差公式因式分解的注意事项： 1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式. 2.公式= (a+b)(a−b)中的字母 a ,b即可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简,直到不能再分解为止. ●探究二：：用平方差公式因式分解的应用 ◆1.操作思考 如图所示，在一张边长为 a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？ 解：剩余部分的面积为-4=(a+2b) (a-2b)(). 当a=3.6，b=0.8时， (a+2b) (a-2b) =(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8) =5.2×2 =10.4(). ◆2.尝试思考 利用平方差公式因式分解计算下列各式： (1)-； (2)×-×. 解：(1)- ＝(101+99)(101-99) ＝200×2 ＝400. (2)×-× ＝(-)× ＝(572+428)(572-428)× ＝1000×144× ＝36 000. 【方法归纳】：利用平方差公式因式分解后，可以简化计算. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 运用平方差公式进行因式分解: (1))；　 (2); (3). 解：(1)2-50 =2(-25) =2[-] =2(ab+5)(ab-5). (2) ＝4xy(-) ＝4xy(x+3y)(x-3y). (3) =- =[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)] =(2a-2b+a+b)(2a-2b-a-b) =(3a-b)(a-3b). 例2 先因式分解，再求值： 4(x+7)-(x+7)，其中a=-5，x=3. 解:(1)4(x+7)-(x+7) =(x+7)(4-1) =(x+7)(2a+1)(2a-1). 当a=-5，x=3时， 原式=(3+7)×(-10+1)×(-10-1)=990. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何利用平方差公式分解因式； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.多项式 因式分解的结果是(　　) A. B. C. D. 解：A 2.下列多项式中,能运用平方差公式因式分解的是(　　) A. B. C. D. 解：C 3.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”(如4=,12= )。在 1~100 这 100 个数中,“神秘数的个数是( ) A. 10 C. 12 D.13 B.11 解：D 4.从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙). 那么通过计算两个图形阴影部分的面积, 可以验证成立的公式为(　　) A. B. C. D. 解：C． 5.下列各式能用平方差公式因式分解的是 . ①；②-；③-+4；④-；⑤-1；⑥-. 解：③④⑤⑥ 6.因式分解:2-18=______.  解：2(a+3)(a-3) 7.若 , 则 ______. 解：-3 8.若 , 则 的值为_____. 解：-21 9.计算： _____. 解：5050 10.把下列各式因式分解: （1） （2） （3） （4） 解：1. 2.. 3.. 4.. 11.当 为自然数时，能被 16 整除吗？请说明理由。 解：能.理由如下: 因为 =(n+5+n-3)(n+5-n+3) =16(n+1), 又因为n是自然数, 所以能被16整除. 12.如图所示，在一块边长为 米的正方形空地的四角均留出一块边长为 （）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪。利用因式分解计算当 时，草坪的面积。 解：由图可得,草坪的面积是()平方米. 当a=13.6，b=1.8时, =(a+2b)(a-2b) =(13.6+2×1.8)×(13.6-2×1.8) =17.2×10 =172, 即草坪的面积是172平方米. 13.已知 是 的三边长. (1) 分别将多项式 ， 因式分解; (2) 若 ，试判断 的形状并说明理由. 解：(1) = =; = =(a+b)(a-b). (2)△ABC为等腰三角形或直角三角形. 理由:∵, ∴, ∴, ∴. ∵a,b,c是△ABC的三边长, ∴a+b≠0, ∴a-b=0或 ， ∴a=b或， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 题型一：直接利用平方差公式分解因式 1．对于多项式（1）x2﹣y2；（2）﹣x2﹣y2；（3）4x2﹣y；（4）﹣4+x2中，能用平方差公式分解的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，逐项进行判断即可． 【解答】解：（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），因此能使用平方差公式，故符合题意； （2）﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此不能利用平方差公式，故不符合题意； （3）4x2﹣y，不能利用平方差公式进行因式分解，故不符合题意； （4）﹣4+x2＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此能利用平方差公式进行因式分解，故符合题意； 综上所述，能利用平方差公式的有：（1）（4），共2个， 故选：B． 【点评】本题考查运用公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 2．下列各式计算结果为16y2﹣x2的是（　　） A．（4y﹣x）（﹣4y﹣x） B．（﹣4y﹣x）（﹣4y+x） C．（4y+x）（﹣4y+x） D．（x+4y）（﹣x﹣4y） 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【解答】解：（﹣4y﹣x）（﹣4y+x）＝16y2﹣x2． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 3．把整式4m2﹣4n2因式分解，下列结果正确的是（　　） A．4（m2﹣n2） B．4（m+n）（m﹣n） C．4（m﹣n）2 D．（4m+4n）（4m﹣4n） 【分析】原式提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝4（m2﹣n2） ＝4（m+n）（m﹣n）． 故选：B． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 4．分解因式：a4﹣81b4＝　 　． 【分析】先用平方差公式，再用平方差公式分解因式． 【解答】解：原式＝（a2+9b2）（a2﹣9b2） ＝（a2+9b2）（a+3b）（a﹣3b）； 故答案为：（a2+9b2）（a+3b）（a﹣3b）； 【点评】本题考查了与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键． 5．用平方差公式因式分解： （1）36﹣x2； （2）﹣a2+b2； （3）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （4）a4﹣16； （5）m4﹣16n4； （6）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2； 【分析】根据平方差公式可分解因式． 【解答】解：（1）原式＝（6+x）（6﹣x）； （2）原式＝（b+a）（b﹣a）； （3）原式＝[5（a+b）+2（a﹣b）][5（a+b）﹣2（a﹣b）]＝（7a+3b）（3a+7b）； （4）原式＝（a+4）（a﹣4）； （5）原式＝（m2+4n2）（m2﹣4n2）＝（m2+4n2）（m+2n）（m﹣2n）； （6）原式＝[（x2﹣2y）+（1﹣2y）][（x2﹣2y）﹣（1﹣2y）]＝（x2+1﹣4y）（x2﹣1）＝（x2+1﹣4y）（x+1）（x﹣1）； 【点评】本题考查了因式分解，利用了平方差公式分解因式，注意分解要彻底． 题型二 先提公因式再用平方差公式分解因式 6．把a3﹣4a分解因式正确的是（　　） A．a（a2﹣4） B．a（a﹣2）2 C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a+4）（a﹣4） 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：a3﹣4a ＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 7．因式分解：2x3﹣8x＝（　　） A．x（2x2﹣8） B．2（x3﹣4x） C．2x（x+2）（x﹣2） D．2x（x2﹣4） 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：2x3﹣8x ＝2x（x2﹣4） ＝2x（x+2）（x﹣2）， 故选：C． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 8．分解因式2a2（x﹣y）+2b2（y﹣x）的结果是（　　） A．（2a2+2b2）（x﹣y） B．（2a2﹣2b2）（x﹣y） C．2（a2﹣b2）（x﹣y） D．2（a﹣b）（a+b）（x﹣y） 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：2a2（x﹣y）+2b2（y﹣x） ＝2a2（x﹣y）﹣2b2（x﹣y） ＝2（x﹣y）（a2﹣b2） ＝2（x﹣y）（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 9．因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】这道题考查因式分解，具体考查了提取公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用，熟练运用公式法是解题关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解； （2）先提公因式，再用平方差公式法因式分解； 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； 10．分解因式： （1）x2y﹣y3； （2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）； （3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2； （4）（x+2）（x+3）+x2﹣4． 【分析】（1）先提取公因式，再用公式法进行因式分解； （2）先提取公因式，再用公式法进行因式分解； （3）先提取公因式，再用公式法进行因式分解； （4）先将x2﹣4因式分解，再提取公因式即可． 【解答】解：（1）x2y﹣y3 ＝y（x2﹣y2） ＝y（x﹣y）（x+y）； （2）（a﹣b）b2+4（b﹣a） ＝（a﹣b）（b2﹣4） ＝（a﹣b）（b﹣2）（b+2）； （3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2 ＝（x﹣y）2（x2﹣4） ＝（x﹣y）2（x﹣2）（x+2）； （4）（x+2）（x+3）+x2﹣4 ＝（x+2）（x+3）+（x﹣2）（x+2） ＝（x+2）（2x+1）． 【点评】本题考查了提取公因式与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型三 利用平方差公式解决因式分解应用问题 11．（2022春•平远县期末）已知x2﹣16＝（x﹣a）（x+a），那么a等于（　　） A．16 B．±4 C．4 D．±2 【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答． 【解答】解：∵x2﹣16＝（x﹣a）（x+a）， ∴x2﹣16＝x2﹣a2， ∴a2＝16， ∴a＝±4， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12．（2022春•三原县期末）下列单项式中，使多项式16a2+M能用平方差公式因式分解的M是（　　） A．a B．b2 C．﹣16a D．﹣b2 【分析】接根据平方差公式进行解答即可． 【解答】解：A．16a2+a，不符合平方差公式，不符合题意； B．16a2+b2，不符合平方差公式，不符合题意； C．16a2﹣16a，不符合平方差公式，不符合题意； D．16a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b），符合平方差公式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了公式法分解因式，正确掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题关键． 13．利用因式分解计算：11×1022﹣11×982的结果是（　　） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【分析】先把原式进行因式分解，再计算． 【解答】解：原式＝11×（1022﹣982） ＝11×（102+98）×（102﹣98） ＝11×200×4 ＝8800． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，正确分解是解题的关键． 14．已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　 ． 【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案． 【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝4×6 ＝24． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键． 15．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查乘法公式的探究，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算两个图形的面积，利用面积相等得到等式，从而得到公式． （2）利用乘法公式拆分平方差计算，再利用平方差公式计算即可． 【解答】（1）解：∵两个图形的面积相等，右侧等腰梯形的高为大小正方形边长之差， ∴左侧图形面积为大小正方形面积之差，即； 右侧等腰梯形面积为， ∴． （2）解： ． 16．综合与实践 如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝　 ，S2＝　 　；写出利用图形的面积关系所得到的公式：　 　（用式子表达）． （2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程． 解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1． （3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【分析】（1）根据图形可知，S2＝（a+b）（a﹣b），根据两个面积相等即可求解； （2）根据康康的演示，可知将2＝3﹣1代入，即可求解； （3）根据（1）中结论，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，，S2＝（a+b）（a﹣b）， ∵S1＝S2， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． （2）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣12）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332， 故答案为：332． （3）设一个奇数为2n﹣1，则另一个相邻的奇数为2n+1， ∴（2n﹣1）2﹣（2n+1）2＝[（2n﹣1）+（2n+1）][（2n﹣1）﹣（2n+1）]＝4n×（﹣2）＝﹣8n， ∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 【点评】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键． ▲1、用平方差公式因式分解： 把乘法公式(a+b)( a-b)＝反过来，就得到 ＝(a+b)( a-b). 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ▲２、运用平方差公式因式分解的注意事项： 1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式. 2.公式= (a+b)(a−b)中的字母 a ,b即可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简,直到不能再分解为止. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3公式法 导学案 第1课时 平方差公式 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想. 2.灵活综合提公因式法与平方差公式对多项式进行因式分解. 学习重点：掌握平方差公式 的运用. 学习难点：结合提公因式法与平方差公式，完成分解的多步衔接与简化. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.提公因式法因式分解时，公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个 的形式. 2.提公因式法因式分解的步骤： (1)观察； (2)适当 ； (3)确定 ； (4)提取公因式. 情景引入 填空： （1）（x+5）（x-5） = ______； （2）（3x+y）（3x-y）=______； （3）（3m+2n）（3m–2n）=______． 思考： 回答：以上都是用 公式：(a+b)( a-b)＝计算得出来的. 如果将上面的算式等号左右两边交换位置，等式还成立吗？ 新知自研：自研课本第118--119页随堂练习上面的内容． 【学法指导】 自研课本第118--119页随堂练习上面的内容，思考： ●探究一：用平方差公式因式分解 ◆1.尝试交流 尝试将上面算式的结果分别写成两个因式的乘积，并与同伴进行交流. -25=_____. 9-=_____. 9-=_____. 你能由此得到什么结论？ ◆2.新知归纳 用平方差公式因式分解： 把乘法公式(a+b)( a-b)＝反过来，就得到 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的 . 注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:. 即多项式是 项式，两项都能写成 的形式，且符号 . ◆3.练一练 把下列各式因式分解. （1）； （2）9. 【方法归纳】： 第一步，将两项写成 的形式，找出a、b; 第二步，利用 分解因式. ◆4.观察思考 把下列各式因式分解： （1）2-8x； （2）9-. ◆5.知识归纳 运用平方差公式因式分解的注意事项： 1.具有 形式的多项式才可运用平方差公式分解因式. 2.公式= (a+b)(a−b)中的字母 a ,b即可以是单项式，也可以是 ，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先 ，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简,直到不能再 为止. ●探究二：：用平方差公式因式分解的应用 ◆1.操作思考 如图所示，在一张边长为 a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm的正方形，求剩余部分的面积。当a=3.6，b=0.8时，剩余部分的面积是多少？ ◆2.尝试思考 利用平方差公式因式分解计算下列各式： (1)-； (2)×-×. 【方法归纳】：利用平方差公式因式分解后，可以 计算. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 运用平方差公式进行因式分解: (1))；　 (2); (3). 例2 先因式分解，再求值： 4(x+7)-(x+7)，其中a=-5，x=3. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何利用平方差公式分解因式； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.多项式 因式分解的结果是(　　) A. B. C. D. 2.下列多项式中,能运用平方差公式因式分解的是(　　) A. B. C. D. 3.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”(如4=,12= )。在 1~100 这 100 个数中,“神秘数的个数是( ) A. 10 C. 12 D.13 B.11 4.从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙). 那么通过计算两个图形阴影部分的面积, 可以验证成立的公式为(　　) A. B. C. D. 5.下列各式能用平方差公式因式分解的是 . ①；②-；③-+4；④-；⑤-1；⑥-. 6.因式分解:2-18=______.  7.若 , 则 ______. 8.若 , 则 的值为_____. 9.计算： _____. 10.把下列各式因式分解: （1） （2） （3） （4） 11.当 为自然数时，能被 16 整除吗？请说明理由。 12.如图所示，在一块边长为 米的正方形空地的四角均留出一块边长为 （）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪。利用因式分解计算当 时，草坪的面积。 13.已知 是 的三边长. (1) 分别将多项式 ， 因式分解; (2) 若 ，试判断 的形状并说明理由. 题型一：直接利用平方差公式分解因式 1．对于多项式（1）x2﹣y2；（2）﹣x2﹣y2；（3）4x2﹣y；（4）﹣4+x2中，能用平方差公式分解的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各式计算结果为16y2﹣x2的是（　　） A．（4y﹣x）（﹣4y﹣x） B．（﹣4y﹣x）（﹣4y+x） C．（4y+x）（﹣4y+x） D．（x+4y）（﹣x﹣4y） 3．把整式4m2﹣4n2因式分解，下列结果正确的是（　　） A．4（m2﹣n2） B．4（m+n）（m﹣n） C．4（m﹣n）2 D．（4m+4n）（4m﹣4n） 4．分解因式：a4﹣81b4＝　 　． 5．用平方差公式因式分解： （1）36﹣x2； （2）﹣a2+b2； （3）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （4）a4﹣16； （5）m4﹣16n4； （6）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2； 题型二 先提公因式再用平方差公式分解因式 6．把a3﹣4a分解因式正确的是（　　） A．a（a2﹣4） B．a（a﹣2）2 C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a+4）（a﹣4） 7．因式分解：2x3﹣8x＝（　　） A．x（2x2﹣8） B．2（x3﹣4x） C．2x（x+2）（x﹣2） D．2x（x2﹣4） 8．分解因式2a2（x﹣y）+2b2（y﹣x）的结果是（　　） A．（2a2+2b2）（x﹣y） B．（2a2﹣2b2）（x﹣y） C．2（a2﹣b2）（x﹣y） D．2（a﹣b）（a+b）（x﹣y） 9．因式分解 (1)； (2) 10．分解因式： （1）x2y﹣y3； （2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）； （3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2； （4）（x+2）（x+3）+x2﹣4． 题型三 利用平方差公式解决因式分解应用问题 11．（2022春•平远县期末）已知x2﹣16＝（x﹣a）（x+a），那么a等于（　　） A．16 B．±4 C．4 D．±2 12．（2022春•三原县期末）下列单项式中，使多项式16a2+M能用平方差公式因式分解的M是（　　） A．a B．b2 C．﹣16a D．﹣b2 13．利用因式分解计算：11×1022﹣11×982的结果是（　　） A．44 B．800 C．2200 D．8800 14．已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　 ． 15．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 16．综合与实践 如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝　 ，S2＝　 　；写出利用图形的面积关系所得到的公式：　 　（用式子表达）． （2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程． 解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1． 在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1． （3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． ▲1、用平方差公式因式分解： 把乘法公式(a+b)( a-b)＝反过来，就得到 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的 与这两个数的 的 . ▲２、运用平方差公式因式分解的注意事项： 1.具有 形式的多项式才可运用平方差公式分解因式. 2.公式= (a+b)(a−b)中的字母 a ,b即可以是单项式，也可以是 ，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先 ，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简,直到不能再 为止. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $