4.3　公式法（第1课时）运用平方差公式因式分解同步培优备课课件2025-2026学年北师大版 八年级数学下册

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 4.3　公式法（第1课时） 运用平方差公式因式分解 第四章 因式分解 授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.08. 1 学习目标 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用. 2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 1. 什么叫把多项式分解因式? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作多项式的分解因式. 2. 已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法 探究点：用平方差公式进行因式分解 问题1：计算下列各式： (1) (x＋5)(x－5)； (2) (3x＋y)(3x－y). 思考：这个计算的依据是什么？ 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 解：(1) (x＋5)(x－5) ＝x2－52 ＝x2－25； (2) (3x＋y)(3x－y) ＝ (3x)2－y2 ＝ 9x2－y2. 问题2：根据上面两道题，试着分解因式. (1) x2－25； (2) 9x2－y2. 把平方差公式等号两边互换就可以得到因式分解的结果. 解：(1) x2－25 ＝(x＋5)(x－5)； (2) 9x2－y2 ＝(3x＋y)(3x－y). 思考：观察这个变化过程有什么规律？ 探究点：用平方差公式进行因式分解 问题3：我们把这些式子推广到一般式 a2－b2，你能将它分解因式吗？ 将公式等号两边互换位置，就得到： 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式. 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形， 探究点：用平方差公式进行因式分解 √ √ × × 【练一练】 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式 ? √ √ (1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) -x2 - y2 (4) -x2 + y2 (5) x2 - 25y2 (6) 9m2 - 1 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式. 总结 -(x2 + y2) y2 - x2 x2 - (5y)2 (3m)2 - 12 探究点：用平方差公式进行因式分解 例1 把下列各式因式分解： (1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2. 解：(1) 原式＝52－(4x)2 a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b) ＝(5＋4x) (5－4x) 解：(2) 原式＝(3a)2－ ( b)2 ＝(3a＋ b)2 (3a－ b)2 探究点：用平方差公式进行因式分解 例2 分解因式： (1) 2x3－8x； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) (2) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2 ＝4(m＋2n)(2m＋n)． ＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) 解：(1) 原式＝2x(x2－ 4) ＝2x( x + 2 )( x - 2) 探究点：用平方差公式进行因式分解 公式中的 a，b 无论表示数 ，单项式 ，还是多项式 ，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式 ，就能用平方差公式因式分解. 【归纳总结】 探究点：用平方差公式进行因式分解 例3 把下列各式因式分解： 解：(1) 原式＝ab(a2 - 1) ＝ab(a + 1)(a - 1). (1) a3b－ab. (2) (a＋b)2－4a2. ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) 探究点：用平方差公式进行因式分解 归纳总结 1.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查. 2.分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 探究点：用平方差公式进行因式分解 【练一练】 2. 把下列各式分解因式： (1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 探究点：用平方差公式进行因式分解 3. 已知 x2 - y2＝－2，x＋y＝1，求 x - y，x，y 的值. ∴ x - y ＝ -2②. 解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 探究点：用平方差公式进行因式分解 【操作·思考】 如图，在一块边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积。当 a = 3.6，b = 0.8 时，剩余部分的面积是多少 ? a b 大正方形面积：a2 . 小正方形面积：4b2 . S剩余部分 = 3.62 -4×0.82 =10.4 cm2. 当 a = 3.6，b = 0.8 时： S剩余部分 = a2 -4b2. 探究点：用平方差公式进行因式分解 平方差公式分解因式 公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 1. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的 是(　D　) A. x2＋x B. x2＋8x＋16 C. x2＋4 D. x2－1 2. 因式分解x2－4的结果是(　C　) A. x(x－4) B. x(x－2)2 C. (x＋2)(x－2) D. x(x＋2)2 D C 3. 因式分解：a2－4b2＝ ⁠. 4. 因式分解与简便计算. (1)(2x＋3)2－x2； 解：原式＝3(x＋3)(x＋1). (2)a3－9a； 解：原式＝a(a＋3)(a－3). (3)3.14×5.52－3.14×4.52. 解：原式＝31.4. (a＋2b)(a－2b) 解：原式＝3(x＋3)(x＋1). 解：原式＝a(a＋3)(a－3). 解：原式＝31.4. 4. 把下列各式分解因式： (1) 16a2 - 9b2 = _________________ ； (2) (a + b)2 - (a - b)2 = _____； (3) 9xy3 - 36x3y =_________________； (4) -a4 + 16 =_________________ . (4a + 3b)(4a - 3b) 4ab 9xy(y + 2x)(y - 2x) (4 + a2)(2 + a)(2 - a) 5. 已知 4m + n=40，2m - 3n=5，求(m + 2n)2 - (3m - n)2 的值． 原式 = -40×5 = -200. 解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n)， 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时， 6. 如图，在边长为 6.8 cm 正方形钢板上，挖去 4 个边长 为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得 6.82－4×1.62 ＝ 6.82－ (2×1.6)2 ＝ 6.82－3.22 ＝ (6.8＋3.2)(6.8－3.2) ＝ 10×3.6 ＝ 36 (cm2). 答：剩余部分的面积为 36 cm2. 7. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？ 解：(1) ∵ 992 - 1 = ( 99 + 1 )( 99 - 1 ) = 100×98， ∵ n 为整数，∴ ( 2n + 1 )2 - 25 能被 4 整除. (2) n 为整数，(2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？ ∴ 992 - 1 能被 100 整除. (2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 ) = ( 2n + 6 )( 2n - 4 ) = 2( n + 3 )×2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ). $