5.2分式的运算（第1课时分式的乘除法）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

5.2 分式的运算 导学案 第1课时 分式的乘除法 1.掌握分式的乘除运算法则. 2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算. 学习重点：分式乘除运算法则的掌握与应用. 学习难点：多项式因式分解与约分过程的灵活运用. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 (1)分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个 的整式，分式的值 . 上述性质可以用式子表示为： . (2)把一个分式的分子与分母的 约去，这种变形称为分式的约分． (3)当分式的分子和分母 时，这样的分式称为最简分式． 注意：化简分式时，通常要使结果成为 或整式． 2.情景引入 问题1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水高多少? 问题2:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 类比分数的运算，你认为分式能进行哪些运算？如何进行这些运算呢？ 新知自研：自研课本第133--134页的内容． 【学法指导】 自研课本第133--134页的内容，思考： ●探究一：分式的乘除 ◆1.尝试交流 （1）两个分数如何相乘、如何相除？请举例说明 . （2）你认为两个分式应该如何相乘、如何相除？与同伴进行交流. ◆2.知识归纳 分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为 ，把分母相乘的积作为 . 分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母 位置后再与 相乘. 这一法则可以用式子表示为： . ◆3.新知探究 例1 计算:（1）； （2）∙. 例2 计算:（1）3x÷； （2）÷ ◆4.知识归纳 ◎分式乘法运算的步骤： 1. 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为： （1）符号运算； （2）按 法则运算. 2.各分式中的分子、分母含有多项式时，先 ，再 . 注意：分式乘除法运算，其结果通常要化成 或整式. ◎分式除法运算的步骤： 1.进行分式的除法运算时，要先变（除法变 ）后算. 2.在乘除过程中遇到整式则视其为分母为 ，分子为这个整式的分式. ◆5.练一练 ●探究二：分式的乘方 ◆1.思考交流 与有什么关系？与同伴交流. ◆2.归纳总结 分式的乘方法则： . 【注意】 （1）分式乘方时，一定要把分子、 分别乘方. （2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的 ，负数的偶次方为 ，负数的奇次方为 . （3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的 ，再算 . ◆3.练一练 计算的结果是（ ） A.− B.− C.− D. ●探究三：分式乘除法的应用 ◆1.尝试交流 购买西瓜时,人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,且西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜的皮厚都是d.已知球的体积公式为V＝π（其中R为球的半径），那么 (1)西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少? (2)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴进行交流. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 例2 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨分式的乘除法是如何进行计算的； B.探讨如何进行分式的乘方运算. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．若式子有意义，则 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.化简 的结果是(　　) A. B. C. D. 4.已知关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是(　　) 甲： 的计算结果为 ； 乙：当 时，； 丙：当 时， 的值为正数. A.乙错，丙对 B.甲和乙都对 C.甲对，丙错 D.甲错，丙对 6.化简÷(x−2)的结果是_____. 7.计算1÷(−a)∙的结果是_____. 8.如果代数式＝1，那么÷的值为_____． 10.先化简，再求值：÷，其中，x=3. 11.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米.他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？ 题型一 分式的乘法 1．化简：•（x+2）＝（　　） A． B．x C． D．x﹣2 2．化简•的结果是（　　） A． B． C． D． 3．计算：　 　． 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型二 分式的除法 5．计算的结果为（　　） A． B． C．x2y2 D．y2 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．计算： （1）； （2）； （3）． 8．（2024秋•湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（）． （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 题型三 分式的乘除混合运算 9．在下列四个算式中：①•；②•；③；④，结果是分式的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 10．计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 11．计算的结果为　 ． 12．计算 （1）； （2）•． ． （4）•． 题型四 分式的乘方 13．计算分式得（　　） A． B． C． D． 14．下列计算正确的是（　　） A．a3m÷am＝a2m B．2a3•a2＝2a6 C．（﹣a2）3＝﹣a5 D． 15．化简：　 　． 16．的结果是 　 　． 题型五 分式的乘除、乘方混合运算 17．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 18．下列计算不正确的题是（　　） A． B． C． D． 19．计算： （1）． （2）； 20．计算： （1）（）2•（）3÷（﹣xy4） （2） ； （3） （4）（）2÷（）•（）3•（）2． 题型六 分式的乘除化简求值 21．先化简，再求值，，其中m＝1． 22．先化简再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣3＝0． 23．先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 24．（1）若A，化简A； （2）若a满足a2﹣a＝0，求A值． ▲1、分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为 ，把分母相乘的积作为 . 分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母 位置后再与 相乘. ▲２、分式的乘方法则： . 【注意】 （1）分式乘方时，一定要把分子、 分别乘方. （2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的 ，负数的偶次方为 ，负数的奇次方为 . （3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的 ，再算 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 分式的运算 导学案 第1课时 分式的乘除法 1.掌握分式的乘除运算法则. 2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算. 学习重点：分式乘除运算法则的掌握与应用. 学习难点：多项式因式分解与约分过程的灵活运用. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 (1)分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变. 上述性质可以用式子表示为：=，=(m≠0) (2)把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． (3)当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式． 注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式． 2.情景引入 问题1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水高多少? 解：∵长方体容器的高为, ∴水高为∙. 问题2:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 解：∵大拖拉机的工作效率是公顷/天,小拖拉机的工作效率是公顷/天, ∴大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的÷倍. 类比分数的运算，你认为分式能进行哪些运算？如何进行这些运算呢？ 新知自研：自研课本第133--134页的内容． 【学法指导】 自研课本第133--134页的内容，思考： ●探究一：分式的乘除 ◆1.尝试交流 （1）两个分数如何相乘、如何相除？请举例说明 . 解：两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后再与被除数相乘. 举例：×==；÷=×=. （2）你认为两个分式应该如何相乘、如何相除？与同伴进行交流. 解：与分数乘法、除法的法则类似，我们可以得到分式的乘法、除法法则. ◆2.知识归纳 分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 这一法则可以用式子表示为： . ◆3.新知探究 例1 计算:（1）； （2）∙. 解：（1）==; （2）∙==. 例2 计算:（1）3x÷； （2）÷ ◆4.知识归纳 ◎分式乘法运算的步骤： 1. 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为： （1）符号运算； （2）按分式的乘法法则运算. 2.各分式中的分子、分母含有多项式时，先因式分解，再约分. 注意：分式乘除法运算，其结果通常要化成最简分式或整式. ◎分式除法运算的步骤： 1.进行分式的除法运算时，要先变（除法变乘法）后算. 2.在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式. ◆5.练一练 解：B. 解：C. ●探究二：分式的乘方 ◆1.思考交流 与有什么关系？与同伴交流. ◆2.归纳总结 分式的乘方法则： 【注意】 （1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方. （2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除. ◆3.练一练 计算的结果是（ ） A.− B.− C.− D. 解：C ●探究三：分式乘除法的应用 ◆1.尝试交流 购买西瓜时,人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,且西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜的皮厚都是d.已知球的体积公式为V＝π（其中R为球的半径），那么 (1)西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少? (2)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴进行交流. 解：∵===. ①若大、小西瓜皮的厚度d一样，R越大，西瓜瓤占的比例越大，所以买大西瓜合算; ②若大、小西瓜皮的厚度d不一样，一般我们都会选择皮薄的； ③若西瓜皮的厚度d与半径R成正比，从西瓜与整个西瓜的体积比上看，我们买大、小西瓜一样合算。 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 例2 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨分式的乘除法是如何进行计算的； B.探讨如何进行分式的乘方运算. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．若式子有意义，则 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解：C． 2.化简 的结果是(　　) A. B. C. D. 解：A． 解：C. 4.已知关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是(　　) 甲： 的计算结果为 ； 乙：当 时，； 丙：当 时， 的值为正数. A.乙错，丙对 B.甲和乙都对 C.甲对，丙错 D.甲错，丙对 解：C． 解：A 6.化简÷(x−2)的结果是_____. 解： 7.计算1÷(−a)∙的结果是_____. 解:- 8.如果代数式＝1，那么÷的值为_____． 解:1 10.先化简，再求值：÷，其中，x=3. 解：÷ =×(x+1)(x−1) =. 当x=3时，原式==1. 11.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米.他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？ 解：设花生的总产量是1， (倍). 答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的倍 题型一 分式的乘法 1．化简：•（x+2）＝（　　） A． B．x C． D．x﹣2 【分析】根据分式的乘法运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式•（x+2） ， 故选：C． 【点评】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 2．化简•的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接将分时的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘法运算法则化简得出答案． 【解答】解：原式• ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式的乘法，正确化简分式是解题关键． 3．计算：　 　． 【分析】根据分式的乘法法则即可得． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键． 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）按分式的乘法计算即可； （2）先因式分解再约分即可； （3）先因式分解再约分即可； （4）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） • ． （4）原式， ． 【点评】本题考查了分式是乘除法，熟练掌握运算法则是关键． 题型二 分式的除法 5．计算的结果为（　　） A． B． C．x2y2 D．y2 【分析】把除法转为乘法，再约分即可． 【解答】解： ＝y2． 故选：D． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的除法法则计算即可． 【解答】解： • ， 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的除法，分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 7．计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）（2）（3）根据分式的除法法则计算． 【解答】解：（1）； （2）a﹣b； （3）． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 8．（2024秋•湘西州期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆（）． （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 【分析】（1）根据已知算式得出被手遮住部分的代数式•（），再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则算乘法即可； （2）列出方程1，求出x＝0，再根据分式有意义的条件求出x不能为1，﹣1，0，再得出答案即可． 【解答】解：（1）被手遮住部分的代数式为： •（） ••[] ； （2）原代数式的值不能等于﹣1， 理由是：1， x+1＝﹣（x﹣1）， x+1＝﹣x+1， x+x＝1﹣1， 2x＝0， x＝0， 要使代数式（）有意义，x+1≠0且x≠0且x+1≠0， 即x不能为1，﹣1，0， 所以原代数式的值不能等于﹣1． 【点评】本题考查了分式的乘除法法则，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 题型三 分式的乘除混合运算 9．在下列四个算式中：①•；②•；③；④，结果是分式的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】利用分式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：①原式，结果是分式； ②原式＝2，结果不是分式； ③原式•2，结果不是分式； ④原式•，结果是分式， 则其结果是分式的是①④． 故选：A． 【点评】此题考查了分式的乘除法，以及分式的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘除法运算法则化简得出答案． 【解答】解： •• ＝﹣2． 故选：D． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．计算的结果为　 ． 【分析】先把除法统一为乘法，分子分母能分解因式的先分解因式，然后约分化到最简即可． 【解答】解：原式（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2，故答案为a2﹣a﹣2． 【点评】解答本题的关键就是找到能约分的因式，进行约分． 12．计算 （1）； （2）•． ． （4）•． 【分析】先把除法统一为乘法，分子分母能分解因式的先分解因式，然后约分化到最简即可． 【解答】解：（1）原式（a﹣2）（a+1） ＝a2﹣a﹣2． （2）• ． （3）原式•• ； （4）原式 ． 【点评】解答本题的关键就是找到能约分的因式，进行约分． 题型四 分式的乘方 13．计算分式得（　　） A． B． C． D． 【分析】分别给分子、分母运用积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方即给分子、分母分别乘方是关键． 14．下列计算正确的是（　　） A．a3m÷am＝a2m B．2a3•a2＝2a6 C．（﹣a2）3＝﹣a5 D． 【分析】利用同底数幂除法法则，单项式乘单项式法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a3m÷am＝a2m，则A符合题意； 2a3•a2＝2a5，则B不符合题意； （﹣a2）3＝﹣a6，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查整式及分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．化简：　 　． 【分析】根据分式的乘方运算，化简即可． 【解答】解：． 故答案为： 【点评】本题考查分式得乘方运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 16．的结果是 　 　． 【分析】把分子分母分别乘方即可得出结果． 【解答】， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握运算法则． 题型五 分式的乘除、乘方混合运算 17．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先进行平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的乘除法，关键是正确约分，约分的关键是找到公因式． 18．下列计算不正确的题是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把各个选项中的分子和分母分解因式，然后除法化成乘法，进行约分，然后判断即可． 【解答】解：A．∵ ， ∴此选项的计算正确， 故此选项不符合题意； B．∵ ， ∴此选项的计算正确， 故此选项不符合题意； C．∵ ＝x， ∴此选项的计算正确， 故此选项不符合题意； D．∵ ， ∴此选项的计算不正确， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法． 19．计算： （1）． （2）； 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除； （2）先根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 20．计算： （1）（）2•（）3÷（﹣xy4） （2） ； （3） （4）（）2÷（）•（）3•（）2． 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算以及积的乘方运算即可求出答案． （2）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． （4）根据同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式•（）÷（﹣xy4） • ． （2）原式• ． （3）原式•• ． （4）原式•（）•• •• • ． 【点评】本题考查分式的乘除运算法则，同底数幂的除法运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型． 题型六 分式的乘除化简求值 21．先化简，再求值，，其中m＝1． 【分析】先把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可． 【解答】解： • ， 当m＝1时，原式． 【点评】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值，能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解此题的关键． 22．先化简再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣3＝0． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足a2﹣2a﹣3＝0求出a的值，代入原式进行计算即可． 【解答】解：原式••（a+1）（a﹣1） ＝（a﹣2）（a+1） ＝a2﹣a﹣2 ∵a满足a2﹣2a﹣3＝0， ∴a＝3或a＝﹣1（舍去）， ∴原式＝32﹣3﹣2＝4． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 23．先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】根据分式的运算法则化简计算即可． 【解答】解： ． ∵x≠±2且x≠0， ∴x＝﹣1时，． 【点评】本题考查了分式的化简求值，正确化简，适当选值是解题的关键． 24．（1）若A，化简A； （2）若a满足a2﹣a＝0，求A值． 【分析】（1）根据分式的乘除法法则可将原式化为，再化简即可． （2）由a2﹣a＝a（a﹣1）＝0，得a＝0或a＝1，由二次根式有意义的条件可知a≠﹣2，1，所以将x＝0再代入a﹣2即可得答案． 【解答】解：（1）A ＝a﹣2； （2）∵a2﹣a＝a（a﹣1）＝0， ∴a＝0或a＝1， 而要使得A有意义，则a+2≠0，a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≠0，a﹣1≠0， ∴a≠﹣2，1， ∴a＝0， 将a＝0代入a﹣2，得A＝a﹣2＝0﹣2＝﹣2． 【点评】本题考查了分式的乘除和有意义的条件，关键是根据法则将A化简求值． ▲1、分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. ▲２、分式的乘方法则： 【注意】 （1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方. （2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $