5.2分式的运算（第4课时分式的混合运算）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“分式的混合运算”，引导学生明确运算顺序并熟练运算，通过“温故知新”回顾同分母、异分母分式加减法法则，搭建新旧知识联系的学习支架，自然过渡到分式与整式的加减及混合运算新知。 导学案以自主学习与合作探究结合，设置化简求值、实际应用等多样题型，融入“整体代入”思想和新定义问题，培养学生运算能力、模型意识与应用意识，助力学生掌握运算技巧，提升用数学思维解决问题的核心素养。

5.2分式的运算 导学案 第4课时 分式的混合运算 1.明确分式混合运算的顺序，并能熟练地进行分式的混合运算。 2.能解决一些与分式加减乘除有关的简单实际问题，体会分式的模型作用。 学习重点：熟练掌握分式混合运算及简化技巧。 学习难点：将实际问题抽象成分式模型并正确运用运算规则求解。 第一环节 自主学习 温故知新： 知识回顾 1.同分母的分式加减法法则 同分母分式相加减， 不变，把 相加减。 用式子表示为： 2.异分母分式相加减法则： 异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 分式的加减法法则进行计算。 用式子表示为 新知自研：自研课本第138--139页的内容． 【学法指导】 自研课本P138-139页例题上面的内容，思考： ●探究一：公因式是多项式的因式分解 1.尝试交流 计算：−x+1； 计算：+∙. ◆2.新知归纳 ◎分式与整式的加减混合运算： 对于分式与整式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再 ，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算. ◎分式的混合运算： 分式的混合运算与有理数的加减乘除及乘方混合运算一样，先算 ，再算乘除，最后进行 运算，有括号，一般要先算 的，再算 的. 注意：计算结果要化为 或整式． ◆3.练一练 1.计算1-的结果是 (　　) A. B.1 C.x+1 D. ●探究二：分式的化简求值 ◆1. 例题分析 例：已知=2,求−−的值. 其他解法：先代入再化简求值. ◆2.知识归纳 利用分式的混合运算化简求值： 利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式 ，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再 即可. ◆3.练一练 3.已知=,则+-等于 (　　) A. B. C. D.- ●探究三：运用分式解决实际问题 ◆1.尝试思考 根据规划设计,某工程队准备修建一条长 1120 m 的盲道。由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期。假设原计划每天修建盲道x m，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天? ◆2.回顾反思 回顾分式运算的学习过程，你对代数式的运算有哪些感悟？ 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1计算:(1)-a+1; (2)++2. 例2先化简再求值：(1-)÷，其中a是不等式组{a−2≥2−a,2a−1<a+3}的最小整数解. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨分式与整式如何进行计算的； B.探讨分式的混合运算及化简求值的解题方法； C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，总结方法. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.化简+a-2的结果是( ) A.1 B. C. D. 2.化简(a-)÷的结果为( ) A.a-1 B.a+1 C. D. 4.化简: (1)-a-1=　 　;  (2)--=　 　.  6.若x2+3x=-1，则x-=　　 　　.  　　　 　　 8. 计算:(-1)÷-. 10.甲、乙两地相距skm,新修的高速公路开通后,两地距离不变,在甲、乙两地间行驶的长途客运车的平均速度提高了50%,已知原来的平均车速为x km/h.请回答以下问题: (1)长途客运车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的多少倍? (2)新修的高速公路开通后,长途客运车所用时间比原来缩短了多少小时? 题型一：分式与整式的计算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 4．计算： (1)； (2)． 题型二：分式的混合运算 5．计算： （1）． （2）． 6．化简： （1）； （2）． 7．计算： （1） （2） 8．计算： （1）； （2）． 题型三：分式的化简求值 9．计算：先化简，再求值：，其中． 10．先化简，再求值：，其中x是满足的整数，请你从中选择一个合适的数代值计算． 11．先化简，再求值：，其中 12．计算：，其中a是不等式组的整数解． 题型四：分式的运算与新定义问题 13．【阅读材料】 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式之和的形式， 如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)填空：①请写出一个含有字母x的真分式：________； ②把下列假分式化成带分式的形式：________． (2)把分式化为“带分式”的形式，并求它的最大值． (3)把分式化为“带分式”的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 14．已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 15．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1．求所表示的代数式． (3)已知分式是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是_____．（直接写出答案即可）． 题型五：分式的实际应用 16．甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走m千米，用代数式表示： （1）此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （2）如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （3）当此人原来从甲地到乙地每小时走20千米/时，速度变化后，此人从甲地到乙地少用多长时间？ 17．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 18．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． ▲1、分式与整式的加减混合运算： 对于分式与整式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再 ，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算. ▲2、分式的混合运算： 分式的混合运算与有理数的加减乘除及乘方混合运算一样，先算 ，再算乘除，最后进行 运算，有括号，一般要先算 的，再算 的. ▲3、利用分式的混合运算化简求值： 利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式 ，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再 即可. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2分式的运算 导学案 第4课时 分式的混合运算 1.明确分式混合运算的顺序，并能熟练地进行分式的混合运算。 2.能解决一些与分式加减乘除有关的简单实际问题，体会分式的模型作用。 学习重点：熟练掌握分式混合运算及简化技巧。 学习难点：将实际问题抽象成分式模型并正确运用运算规则求解。 第一环节 自主学习 温故知新： 知识回顾 1.同分母的分式加减法法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示为： 2.异分母分式相加减法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 用式子表示为： 新知自研：自研课本第138--139页的内容． 【学法指导】 自研课本P138-139页例题上面的内容，思考： ●探究一：公因式是多项式的因式分解 1.尝试交流 计算：−x+1； 计算：+∙. ◆2.新知归纳 ◎分式与整式的加减混合运算： 对于分式与整式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算. ◎分式的混合运算： 分式的混合运算与有理数的加减乘除及乘方混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，有括号，一般要先算括号内的，再算括号外的. 注意：计算结果要化为最简分式或整式． ◆3.练一练 1.计算1-的结果是 (　　) A. B.1 C.x+1 D. 解：D 解：B ●探究二：分式的化简求值 ◆1. 例题分析 例：已知=2,求−−的值. 解：原式= = 因为=2,即x=2y, 所以，原式===. 其他解法：先代入再化简求值. ◆2.知识归纳 利用分式的混合运算化简求值： 利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可. ◆3.练一练 3.已知=,则+-等于 (　　) A. B. C. D.- 解：选C ●探究三：运用分式解决实际问题 ◆1.尝试思考 根据规划设计,某工程队准备修建一条长 1120 m 的盲道。由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期。假设原计划每天修建盲道x m，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天? 解：原计划修建这条盲道需要天；实际修建这条盲道用了天. ∴实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了− ==(天). ◆2.回顾反思 回顾分式运算的学习过程，你对代数式的运算有哪些感悟？ 提示：分式与分数的运算法则和顺序是一致的。分式是分数的抽象与扩展，当分式中的字母表示具体数值时，分式就化为分数，当字母代表变量时，分式便具有普遍适用性。这种从特殊到一般的转化,使得数学的运算与表达获得了质的提升。 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1计算:(1)-a+1; (2)++2. 解: (1)原式=- = =. (2)原式=++2 =++2 =++ = =. 例2先化简再求值：(1-)÷，其中a是不等式组{a−2≥2−a,2a−1<a+3}的最小整数解. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨分式与整式如何进行计算的； B.探讨分式的混合运算及化简求值的解题方法； C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，总结方法. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.化简+a-2的结果是( ) A.1 B. C. D. 解:B 2.化简(a-)÷的结果为( ) A.a-1 B.a+1 C. D. 解:B 解:A 4.化简: (1)-a-1=　 　;  (2)--=　 　.  解:, 解: 6.若x2+3x=-1，则x-=　　 　　.  解:-2 　　　　　 8.计算:(-1)÷-. 解:原式=·- =·-=- =. 10.甲、乙两地相距skm,新修的高速公路开通后,两地距离不变,在甲、乙两地间行驶的长途客运车的平均速度提高了50%,已知原来的平均车速为x km/h.请回答以下问题: (1)长途客运车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的多少倍? (2)新修的高速公路开通后,长途客运车所用时间比原来缩短了多少小时? 解: (1)长途客运车原来所用的时间是 h,新修的高速公路开通后所用的时间是=(h),÷=1.5. 答:长途客运车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的1.5倍. (2)-==(h). 答:新修的高速公路开通后,长途客运车所用时间比原来缩短了 h. 题型一：分式与整式的计算 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 3．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】根据分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） 题型二：分式的混合运算 5．计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把除法运算化为乘法运算，约分即可； 【详解】解：（1）原式• • ＝a（a﹣1） ＝a2﹣a； （2）原式• ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 6．化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简计算括号，再将除法化为乘法，借助于平方差公式和完全平方公式计算； （2）先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算即可． 解答详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．计算： （1） （2） 【分析】（1）先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式2x2y． 【详解】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 8．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算括号，然后利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，最后进行除法运算即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，然后进行乘除运算即可． 【点睛】解：（1）原式 • ； （2）原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 题型三：分式的化简求值 9．计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为， 【分析】先对原式中的分子分母进行因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将a的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， 当时，． 10．先化简，再求值：，其中x是满足的整数，请你从中选择一个合适的数代值计算． 【答案】，2 【分析】先将括号内进行通分计算，再将除式的分子和分母分解因式，然后再把除法转化为乘法，通过约分化简；根据分式有意义的条件，取满足的整数，代入化简的结果进行计算即可． 【详解】解： ， ∵要使原分式有意义，则，且， 解得，且， 又∵且为整数， ， 当时，原式． 11．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 12．计算：，其中a是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】先对原式进行分式化简，再解不等式组得到a的整数解，根据分式有意义的条件确定a的有效取值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： 对于 解第一个不等式得 解第二个不等式得 因此不等式组的解集为，整数解为 分式有意义要求分母不为0， 因此，，， 即，， 因此仅能取 将代入化简后的式子得 ． 题型四：分式的运算与新定义问题 13．（25-26八年级下·广东深圳·期中）【阅读材料】 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式之和的形式， 如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)填空：①请写出一个含有字母x的真分式：________； ②把下列假分式化成带分式的形式：________． (2)把分式化为“带分式”的形式，并求它的最大值． (3)把分式化为“带分式”的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，最大值是4 (3)，或或或． 【分析】（1）根据真分式定义和转化方法解答①②即可； （2）先把化成，再根据x的范围，依次求出的最小值、的最大值即可； （3）把转化成“带分式”形式即：，由题意可知，的值应为5的因数，据此分类讨论即可． 【详解】（1）解：（1）①答案不唯一：如 ② （2）解：原式 ， 的最小值是2 的最大值是1 的最大值是4 即分式的最大值是4． （3） 若这个分式的值为整数，的值应为5的因数， 则或或或， 或或或． 14．已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)， (3)； 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【详解】（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 15．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1．求所表示的代数式． (3)已知分式是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是_____．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2) (3)5 【分析】（1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，整理可得：的表达式； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 不是的“和谐式”； （2）解：∵是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ∵，， ， ， ； （3）解：∵， ∴ ， ∵是的“和谐式”， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴关于的“和谐值”是5． 题型五：分式的实际应用 16．甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走m千米，用代数式表示： （1）此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （2）如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走多长时间？ （3）当此人原来从甲地到乙地每小时走20千米/时，速度变化后，此人从甲地到乙地少用多长时间？ 【分析】（1）（2）利用路程÷速度＝时间列式即可； （3）利用路程÷速度＝时间求得速度变化前后所用时间，求得时间差即可． 【详解】解：（1）100÷m（小时） 答：此人从甲地到乙地需要走小时． （2）100÷（m+5）（小时） 答：此人从甲地到乙地需要走小时． （3）5（小时） 答：此人从甲地到乙地少用（5）小时． 【点睛】此题考查列代数式，掌握速度、时间、路程三者之间的关系是解决问题的关键． 17．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 18．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． ▲1、分式与整式的加减混合运算： 对于分式与整式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算. ▲2、分式的混合运算： 分式的混合运算与有理数的加减乘除及乘方混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，有括号，一般要先算括号内的，再算括号外的. ▲3、利用分式的混合运算化简求值： 利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $