精品解析：宁夏六盘山高级中学2025-2026学年高二第二学期期中数学测试卷

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高二期中测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：张艳萍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③ 2. 已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（ ） A. B. C. D. 5. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某社区为墙面四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则涂法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 7. 若，且，若能被9整除，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 8. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 某班计划从4名男生、3名女生中选2人分别报名参加春季运动会的跳高和短跑比赛，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的报名方法数为（ ） A. B. C. D. 11. 近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（ ） A. 该蜜柚是优等品的概率为 B. 该蜜柚是合格品的概率为 C. 若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D. 若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量X，Y满足，，则______. 13. 的展开式中的系数为________. 14. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程：． （2）解不等式：． 16. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占60%，合格率为92%，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 18. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 19. 晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金､罩漆､抛光三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.已知某工艺师在描金､罩漆､抛光环节的成功率分别为（各环节相互独立）.若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失25元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功，则为精品.普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立. （1）求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率； （2）该工艺师共制作件漆器，记其中精品的数量为，普品的数量为，若，求的值； （3）该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售，普品每件可获利80元，精品每件可获利300元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴.分别求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高二期中测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：张艳萍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数关系和相关关系的概念，结合图象作出判断. 【详解】对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系； 对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系： 对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系； 对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系， 故选：D． 2. 已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选择三名代表的可能性有种，选出的代表中有2名男生的可能性为， 所以. 3. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. 4. 从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列计数原理可得结果. 【详解】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种. 故选：C. 5. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次取得白球的条件下，袋子中还有9个球，其中红球5个，白球4个， 所以第二次取到红球的概率是. 故选：A 6. 如图，某社区为墙面四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则涂法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 84种 【答案】D 【解析】 【分析】不妨先涂，再分和同色或异色，结合分步乘法和分类加法计数原理进行求解即可． 【详解】解：不妨先涂，共有4种颜色可选， 当和同色时，和有三种颜色可选，也有3种颜色可选， 当和异色时，不妨先涂，则有3种颜色可选，再涂，则有种颜色可选， 最后涂D，则有种颜色可选， 综上，共有种涂法． 7. 若，且，若能被9整除，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 8. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：AD 10. 某班计划从4名男生、3名女生中选2人分别报名参加春季运动会的跳高和短跑比赛，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的报名方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，至少有一名男生，则有1男1女，共种选法， 或者2名男生，共种选法， 再对选出的两人进行排序，则一共有种选法，故A正确； 对于B，表示先从7人中随机选取2人，再减去2人都是女生的情况， 但最后未考虑两人的排序，故B错误； 对于C，表示先从7人中随机选取2人并排序， 再减去选取2名女生并排序的情况，剩余是至少有一名男生的情况，故C正确； 对于D，，对于选取两名男生的情况重复计算，故D错误． 11. 近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（ ） A. 该蜜柚是优等品的概率为 B. 该蜜柚是合格品的概率为 C. 若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D. 若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的概念，判断分布曲线的对称轴和方差，根据正态分布的对称性，以及条件概率公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意，则随机变量服从正态分布，对称轴为，， 因为，即， 所以，A正确； 由，可知， 所以，B正确； 由正态分布曲线的对称轴为，所以，， 设事件为蜜柚重量大于1500克，则，事件为蜜柚为优等品，则， 由条件概率可知蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为，C正确； 蜜柚是合格品的概率为，重量不小于1500克的概率为， 设事件为蜜柚是合格品，则，设事件为蜜柚重量不小于1500克，则， 由条件概率可知蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为，D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量X，Y满足，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数学期望的性质：若，则求解即可. 【详解】因为，， 所以. 13. 的展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故的系数为. 14. 如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果． 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程：． （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数公式化简可得出关于x的方程，再结合且解方程即可； （2）利用排列数公式可得出关于x的不等式，再结合且可得出x的取值集合. 【详解】（1）由题可知且，则 ， 整理得，解得或（舍去），故． （2）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以． 16. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占60%，合格率为92%，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，由条件概率公式即可求解； （2）用表示机器人是乙品牌，由全概率公式即可求解． 【小问1详解】 用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 甲品牌的占40%，合格率为95%，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． 【小问2详解】 用表示机器人是乙品牌， ． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）减区间，增区间 （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【小问1详解】 ，若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 18. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． （1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【答案】（1）（i）（ii）分布列见解析，期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据组合数求概率即可； （ii）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）法1：根据题意可知，，再根据二项分布的期望公式，期望与方差的线性关系求解即可；法2：每位职工培训合格与否相互独立，计算一位职工的期望与方差，可得总的期望与方差，利用方差公式求解． 【小问1详解】 （i） （ii）由题意可知，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 【小问2详解】 法1：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为培训合格的职工人数，则 所以 ，解得 则 从而 法2：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为第个职工创造的年利润， 则 ， 所以 因为 所以 解得， 所以 ， 所以， 所以． 19. 晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金､罩漆､抛光三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.已知某工艺师在描金､罩漆､抛光环节的成功率分别为（各环节相互独立）.若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失25元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功，则为精品.普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立. （1）求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率； （2）该工艺师共制作件漆器，记其中精品的数量为，普品的数量为，若，求的值； （3）该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售，普品每件可获利80元，精品每件可获利300元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴.分别求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好. 【答案】（1） （2） （3）100元，元，方案②更好 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式，将描金、罩漆、抛光三道工序成功的概率直接相乘，得到一件漆器为精品的概率； （2）先确定精品、普品件数服从二项分布，写出各自的期望表达式，再根据两者期望的差值建立方程，解出制作漆器的总数； （3）分别列出两种方案下单件漆器利润的分布列，计算各自的数学期望，通过比较期望大小判断更优方案 【小问1详解】 设事件为“描金成功”，事件为“罩漆成功”，事件为“抛光成功”， 则，且相互独立. 所以该工艺师制作的一件漆器为精品的概率为. 【小问2详解】 由题可知该工艺师制作一件漆器为精品的概率，为废品的概率，为普品的概率. 由题可知， 故. 因为，所以， 解得. 【小问3详解】 当采用方案①时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为 -25 80 300 所以（元）. 当采用方案②时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为 -25 75 320 所以（元）. 因为，所以对该工艺师来说，方案②更好. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $