2025-2026学年苏科版九年级数学下册 第九周周测试题

2025-2026学年第二学期初三数学第九周滚动练习 一．选择题（共8小题） 1．图纸上某一零件长度是25mm，若比例尺是1：16，则该零件实际长度是（　　）mm． A． B． C．400 D．300 2．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 ； B．三角形的外心到三角形三边的距离相等； C．平分弦的直径垂直于弦； D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦。 第2题第4题第5题 4．如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（　　） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 5．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若BE＝2，则AB的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 6．已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　） A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1 7．如图（1），在▱ABCD中，点O为其中心，∠ABC＝60°，∠BAO＝45°．动点P从点A出发，沿AB运动到点E，再从点E沿直线运动到BC上的点F．设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y（当点A，O，P共线时，y＝0），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则BC的长为（　　） A． B． C．3 D．4 第7题第8题 8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则下列结论：①abc＞0；②x＝1时，函数的最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤2c＜3b．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 9．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是　 　 ． 10．若点（a，b）在一次函数y＝2x+1的图象上，则代数式4a﹣2b的值是　 　 ． 11．如图，太仓市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中的转角为α．若这段圆弧的半径OA＝9m，α＝60°，则图中危险区（阴影部分）的面积为　 　 m2． 12．当x取任意实数时，二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是 　 　 ． 13．平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：　 　 ． 14．在△ABC中，.若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径的最大值是　 　 ． 15．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接EF，BD，则BM，MN，ND之间的数量关系为　 　 ． 第11题第15题第16题 16．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共11小题） 17．计算：． 18．求不等式组． 19．先化简，再求值：，其中 20．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴是直线x＝1． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）当﹣2＜x≤3时，y的取值范围是　 　 ． （3）若，请画出y1的函数图象，记作W．当直线y＝x+b与W恰有3个交点时，则b的值为　 　 ． 21．已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x﹣4m（m为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当该函数图象的顶点纵坐标的值最大时，m的值为 　 　 ． 22．如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF、AB于点C、D，若CB＝CD． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，OD＝1，求BC的长． 23．已知正方形ABCD，点F是边CD上的动点（不与点C，D重合），点E在BF上． 【基础回顾】 （1）如图1，连接AE并延长，交边BC于点G，若AE⊥BF，求证：AG＝BF； 【初步探究】 （2）如图2．当AE＝AB时，连接CE，若CE⊥BF，求tan∠EBC； 【变式探究】 如图3，在矩形ABCD中，点F是边CD上的动点（不与端点重合），点E在BF上，且AE＝AB，连接DE并延长交BC于点P， （3）若AB＝4，BC＝6，当点F为边CD的中点时，求的值； （4）设∠FBC＝α，用α的三角函数表示　 　 ； 24．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m． （1）把桥拱看作一个二次函数的图象，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m，宽为7.5m（横断面如图②），以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 25．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ （2）描点并画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E、F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是　 　 ； （ii）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 27．两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与行驶的时间t（单位：时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是　 　 千米/时； （2）求图象中线段MN所在直线的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）甲车出发后　 　 小时，两车距C市的路程之和是460千米． ∴∠BDE＝∠DAE＝90°﹣∠ADB＝30°，∵BE＝2，∴DE＝2BE＝4，∴AE＝2DE＝8， ∴AB＝AE﹣BE＝6，故选：C． 题图答图 【点评】此题重点考查等边三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 6．已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　） A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1 【解答】解：把A（3，2），B（﹣1，﹣2）分别代入y＝ax2+bx+c得， ∴b＝﹣2a+1，c＝﹣3a﹣1，把C（2，n）代入y＝ax2+bx+c得4a+2b+c＝n， ∴4a+2（﹣2a+1）﹣3a﹣1＝n，∴an，∴当n＝2时，a；当n＝1时，a＝0（不符合题意）；当n＝0时，a；当n＝﹣1时，a， ∴当n＝﹣1时，a的值最大．故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 7．如图（1），在▱ABCD中，点O为其中心，∠ABC＝60°，∠BAO＝45°．动点P从点A出发，沿AB运动到点E，再从点E沿直线运动到BC上的点F．设点P运动的路程为x，△AOP的面积为y（当点A，O，P共线时，y＝0），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则BC的长为（　　） A． B． C．3 D．4 题图答图 【解答】解：如图，连接OC，过F作FH⊥AB于H，结合题意可得A，O，C三点共线， 由函数图象可得：当时，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点E， ∴AE＝x，当时，动点P从点E沿直线运动到BC上的点F，此时△AOP的面积y不变，∴EF∥AO，，∴∠BEF＝∠BAO＝45°， 由条件可知，∵∠B＝60°，∴1，BF2， ∴，由平行线性质知1，∴BF＝CF，∴BC＝2BF＝4；选：D． 【点评】考查平行四边形的性质，动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（﹣1，0），顶点为（1，2），则结论：①abc＞0；②x＝1时，函数最大值是2；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤2c＜3b．其 ∴Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），∴∠AOC＝∠BOC＝30°， ∴，∴， ∴危险区（阴影部分）的面积为，故答案为：（）． 【点评】考查切线的性质，扇形面积的计算，掌握其相关知识点是解题的关键． 12．当x取任意实数时，二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是 m　 ． 【解答】解：b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4m2＜0，解得：m．故答案为：m． 【点评】本题考查了抛物线与x轴交点个数由b2﹣4ac的符号确定，当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 13．平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：y＝x2﹣2x+3　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为y＝x2﹣2x+3． 故答案为：y＝x2﹣2x+3． 【点评】考查二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 14．在△ABC中，.若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径的最大值是　1　 ． 【解答】解：设△ABC的内切圆⊙O的半径为r，⊙O与AB、AC、BC分别相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，如图1，则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥AB，OE⊥AC， OF⊥BC，AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵BC＝2， ∴BF+CF＝2， ∵OD＝OE，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AO平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠OAE＝30°， ∵tan∠OAD＝tan30°， ∴ADODr＝AE， ∴AB+AC＝AD+BD+AE+CE＝2r+2， ∴当r最大时，AB+AC最大， 延长BA至C′，使AC′＝AC，连接CC′， 则∠C′＝∠ACC′， ∵∠BAC＝∠C′+∠ACC′=60°，又∠C′＝∠ACC′ ∴∠C′＝∠ACC′＝30°，∵BC＝2， ∴点C′在以BC为弦，所对圆周角为30°的圆弧上运动， 作△BCC′的外接圆⊙O′，当BC′为⊙O′的直径，即点A与点O′重合时，AB+AC的值最大，此时，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2，∴2r+24，∴r＝1， ∴△ABC的内切圆⊙O的半径为r的最大值为1，故答案为：1． 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直径是圆中最大弦是解题关键． 15．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接EF，BD，则BM，MN，ND之间的数量关系为MN2＝BM2+ND2 ． 题图图1 【解答】解：如图1：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′， ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠NDM′＝90°，∴NM′2＝ND2+DM′2，∵∠BAD＝∠MAD+∠BAM＝90°， ∴∠EAM′＝∠BAM+∠MAD＝∠DAM′+∠MAD＝90°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAM′＝∠EAF＝45°， 在△ANM′和△AMN中，，∴△ANM′≌△AMN（SAS）， ∴MN＝NM′．∵BM＝DM′，∴MN2＝ND2+BM2．故答案为：MN2＝ND2+BM2． 【点评】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 16．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是　2PD＜4　 ． 题图答图 【解答】解：如图，设AB与DP交于点O，连接OC， ∵四边形ADBP是平行四边形，∴AO＝BO＝2，DP＝2OP， ∵△ABC是等边三角形，AO＝BO，∴OC⊥AB，∠BOC＝90°， ∴∠BCO＝30°，∴OCOB＝2，当点P与点C重合时，此时OP有最大值， ∴DP的最大值为4，当OP⊥AC时，此时OP有最小值， ∵S△AOCAO×COAC×OP，∴OP，∴DP的最小值为2， ∴2PD＜4，故答案为2PD＜4． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 三．解答题（共11小题） 17.-3； 18.-2小于X小于等于6；19.略。 20．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴是直线x＝1． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）当﹣2＜x≤3时，y的取值范围是　﹣1≤y＜8　 ． （3）若，请画出y1的函数图象，记作W．当直线y＝x+b与W恰有3个交点时，则b的值为　0或　 ． 【解答】解：（1）∵y＝x2+mx的对称轴是直线x＝1，∴，解得：m＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； （2）∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣1开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，取得最小值为﹣1，∵|1﹣（﹣2）|＞|3﹣1|， ∴当x＝﹣2时，y取得最大值为：y＝（﹣2﹣1）2﹣1＝8， ∴当﹣2＜x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y＜8，故答案为：﹣1≤y＜8； （3）y1的函数图象W，如图即为所求； ∵，顶点坐标为（1，1）； y＝x+b是由y＝x平移得到的且y＝x过（1，1）；由图可知， ①当b＝0时，y＝x恰与W有3个交点； ②将y＝x的图象向上平移后与y＝﹣x2+2x（0≤x≤2）只有一个交点时，y＝x+b与W恰有三个交点，令﹣x2+2x＝x+b，整理得：x2﹣x+b＝0， ∵y＝x+b与只有一个交点，∴Δ＝（﹣1）2﹣4b＝0，解得：， 综上所述，当直线y＝x+b与W恰有3个交点时，b的值为0或， 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象与性质． 21．已知二次函数y＝x2+（2m﹣2）x﹣4m（m为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当该函数图象的顶点纵坐标的值最大时，m的值为 　﹣1　 ． 【解答】（1）证明：当y＝0，x2+（2m﹣2）x﹣4m＝0， ∵Δ＝（2m﹣2）2﹣4×1×（﹣4m）＝4m2+8m+4＝4（m+1）2， 又（m+1）2≥0，∴Δ≥0．∴方程有实数根．∴该函数的图象与x轴总有公共点； （2）∵函数图象的顶点纵坐标为（m+1）2， ∴当m＝﹣1时，该函数图象的顶点纵坐标的值最大．故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 22．如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF、AB于点C、D，若CB＝CD． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，OD＝1，求BC的长． 题图答图 【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，由条件可知∠CBD＝∠CDB， ∵∠ADO＝∠CDB，∴∠CBD＝∠ADO，由条件可知∠A+∠ADO＝90°， ∴∠OBD+∠CBD＝90°，∴∠CBO＝90°，∴OB⊥EF， ∵OB是⊙O的半径，∴直线EF与⊙O相切； （2）设BC＝CD＝x，则OC＝x+1，由勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12，∴BC＝12． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握该知识点是关键． 23．已知正方形ABCD，点F是边CD上的动点（不与点C，D重合），点E在BF上． 【基础回顾】 （1）如图1，连接AE并延长，交边BC于点G，若AE⊥BF，求证：AG＝BF； 【初步探究】 （2）如图2．当AE＝AB时，连接CE，若CE⊥BF，求tan∠EBC； 【变式探究】 如图3，在矩形ABCD中，点F是边CD上的动点（不与端点重合），点E在BF上，且AE＝AB，连接DE并延长交BC于点P， 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质是解题的关键． 24．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m． （1）把桥拱看作一个二次函数的图象，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平面直角坐标系，求这个函数的表达式； （2）有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m，宽为7.5m（横断面如图②），以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由． 【解答】解：（1）∵AB为16m，∴A（﹣8，0），B（8，0）． ∴可设此函数的表达式为y＝a（x+8）（x﹣8）． ∵当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m，∴D（6，1.4）． 把x＝6，y＝1.4代入y＝a（x+8）（x﹣8），∴1.4＝a（6+8）×（6﹣8）， ∴．∴，即； （2）船不能安全通过此桥．理由如下： 由题意，把，代入，∴． ∵当船行至桥时水位上升高度为40÷5×0.25＝2（m）， ∴船顶距AB高为．∵，∴船不能安全通过此桥． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法求二次函数的解析式是关键． 25．某数学兴趣小组在探究函数y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时，经历以下几个学习过程： （1）列表（完成以下表格）： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 0 0 3 15 ⋯ （2）描点并画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象； （3）根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线y＝8与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点E、F，E（﹣1，8），F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是x＜﹣1或x＞5　 ； （ii）设函数y＝|x2﹣4x+3|的图象与x轴交于A、B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C． ①求直线BC的解析式； ②探究应用：将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，求此时m的值． 题图 【解答】解：（1）当x＝0时，y1＝3，y＝3；当x＝2时，y1＝﹣1，y＝1；当x＝5时，y1＝8，y＝8， 列表如下： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 ⋯ ⋯ 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 ⋯ y＝|x2﹣4x+3| ⋯ 15 8 3 0 1 0 3 8 15 ⋯ （2）函数y＝|x2﹣4x+3|的图象，如图1即为所求； （3）（i）如图2， 由图象可知，当x＜﹣1或x＞5时，函数y＝|x2﹣4x+3|＞8， ∴不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是x＜﹣1或x＞5，故答案为：x＜﹣1或x＞5； （ii）①如图3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由表格可知点 B（3，0），C（0，3）， 把 B（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b得：，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； ②把x＝2代入y＝﹣x+3，得：y＝﹣2+3＝1，∴点（2，1）在直线y＝﹣x+3上， 由函数图象可知，此时直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，即m＝0； 由图象可知，直线BC只有向上平移才能与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点， ∴平移后的直线解析式为y＝﹣x+3+m，由﹣x2+4x﹣3＝﹣x+3+m，得：x2﹣5x+6+m＝0， 当平移后的直线与抛物线y＝﹣x2+4x﹣3只有1个交点时，直线BC与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点，此时Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6+m）＝0，解得：； 综上所述，当m＝0或时，直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有3个交点． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c，可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如图1，∵PM⊥x轴，∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4），∴MN＝8﹣4＝4； 图1图2 ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t，将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at），∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如图2， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线，若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则，解得， 学科网（北京）股份有限公司 $