精品解析：山东泰安市新泰中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题

新泰中学2025级高一下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 2. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以是等腰直角三角形， 所以， 所以. 3. 若，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由 ， 则，故， 又的共轭复数是， 故的共轭复数的虚部为. 4. 已知向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】向量在上的投影向量为. 5. 如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（ ） A. 乙船的行驶速度与甲船相同 B. 乙船的行驶速度是海里/时 C. 甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D. 甲､乙两船可能相遇 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出乙船12分钟的航行距离得到乙船速度，再建立方程判断是否存在时间使两船相遇，从而得到正确结论. 【详解】甲船速度海里/时，航行分钟小时，因此海里， 由题意海里，， 因此是等边三角形，得海里，， 在南偏西，因此，且海里， 在​中  ， 解得海里，乙船速度海里/时，和甲船速度相同，因此A正确，B错误； 建立坐标系：设，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 设小时后甲、乙两船于处相遇，则， 乙船起点， 则， 由前分析知两船速度相同，则，则， 即， 整理得， 因为方程无正根，所以两船不会相遇，故C、D错误. 6. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D， 因为轴，轴， 所以， 因为轴， 所以四边形为平行四边形， 故, 又, 轴， 得, 故． 所以四边形面积为, 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形的面积为． 7. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 8. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合已知条件，求出角，向量两边同时平方，由基本不等式可求出面积最大值. 【详解】由及余弦定理得， 由两边平方得： 即 ，整理得： ​ ，解得，当且仅当时取等号， 又因为，所以三角形面积最大值为. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 【答案】AB 【解析】 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 10. 正方体的棱长为1，点是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 与所成的角为 C. D. 过点的平面截该正方体所得的平面图形为正方形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于Ａ，易得，再根据线面平行的判定即可判断；对于B，根据异面直线所成角的概念求解即可；对于C，由，结合三棱锥体积公式计算即可判断； 对于D，取的中点，连接，，易证四点共面，即过的平面截该正方体所得的平面图形为四边形，接着即可判断． 【详解】对于A，如图，在正方体中，，    所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为，所以或其补角为与所成的角， 连接，易知为等边三角形，所以，故B错误； 对于C，， 由正方体性质可知三棱锥的高为， 则，故C正确； 对于D，取的中点，连接，， 因为，， 所以，则四点共面， 所以过的平面截该正方体所得的平面图形为四边形， 又，所以四边形为平行四边形， 易知，，所以平行四边形不是正方形，故D错误． 故选：AC． 11. 已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（ ） A. 当位于点时，的值最小 B. 的值最大为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解． 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系. 则，. 设，则，且. 由， 所以， 所以，. 因为，所以，. 当或，即或时，取得最小值，此时点与或重合； 当，即时，取得最大值，此时点为的中点. 故AB正确； 对C：，， 所以 ， 因为，所以，故C错误； 对D：，， 所以， 因为，所以，所以，故D正确. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或； ②若，则； ③若，且，则； ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误. 13. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为， 圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则， 在中，由余弦定理可得，所以， 因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 14. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】由已知判断平面，然后说明，设，通过勾股定理可求出. 【详解】由已知得平面，又平面，所以， 若CF⊥平面，则必有， 设，则，，， 所以由得，解得或2， 所以当或2时，CF⊥平面. 故答案为：1或2. 四､解答题 15. 已知复数是关于的方程的一个根，其中． （1）求的值； （2）若复数满足，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点与韦达定理计算即得； （2）根据复数的几何意义利用（1）的结论数形结合计算即可. 【小问1详解】 由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. 【小问2详解】 因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 16. 在中，，. （1）求， （2）再从以下条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选条件②或③，存在，周长为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和性质消元，再用二倍角公式化简，约去非零的，直接求得的值； （2）①将已知条件代入余弦定理构建关于的一元二次方程，通过判别式判断方程无实根，从而说明三角形不存在；②先由同角三角函数关系求出、，再用正弦定理求边，最后代入余弦定理构建关于的方程，求解并舍去负根后计算三角形周长；③先用三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理得到的值，通过完全平方公式求出，最终计算三角形周长. 【小问1详解】 因为，， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，又， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以. 【小问2详解】 若选条件①：.因为，由（1）可知， 所以由余弦定理可得，即， 整理得， 因为，方程无解，所以a边不存在，故不存在； 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在中，由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长. 若选条件③：的面积为. 因为，由（1）可知，所以， 由三角形面积公式，得. 再由余弦定理，得，即. 所以，所以. 所以周长. 17. 在正方体中，分别为的中点，，，如图. （1）求证：四点共面； （2）作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）与的交点R就是所求的交点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明直线与、分别相交于同一点，得出与相交，从而证明四点共面； （2）先确定平面与平面的交线为，再根据在平面内，得出与平面的交点即为与的交点. 【小问1详解】 如图，和在同一个平面内且不平行，故必相交，设交点为O，因为F为的中点，所以且，则；同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合.由此可证得，故D，B，F，E四点共面. 【小问2详解】 设平面为.由于，所以四点共面（设为）. 因为，，所以.又，，所以， 所以.同理可证得，从而有.连接，交于点R， 因为，所以与平面的交点就是与的交点. 所以与的交点R就是所求的交点. 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； ②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以 ， 又，与不共线，所以，， 则． 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 所以 ． 又，所以，解得． ②设， 则， ． 又因为∠BAD＝，，， 所以 ． 因为，函数的对称轴为， 所以时，的最大值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）若平面交于点，求证：； （2）求证：平面； （3）判断直线与平面所成角的大小是否可以为？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）不可以，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得线线平行； （2）由线面垂直得线线垂直，再结合线面垂直的判定定理即可证明； （3）由（2）知就是直线与平面所成角，且，再结合正弦值的范围判断即可. 【小问1详解】 因为为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面交于点，所以平面平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为底面，平面，所以， 因为为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为线段的中点，所以， 因为，，平面，所以平面. 【小问3详解】 由（2）知，就是直线与平面所成角， 所以. 设，则，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小不可以为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2025级高一下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 在中，已知，，那么（ ） A. 8 B. C. 12 D. 3. 若，则的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（ ） A. 乙船的行驶速度与甲船相同 B. 乙船的行驶速度是海里/时 C. 甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D. 甲､乙两船可能相遇 6. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 7. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 10. 正方体的棱长为1，点是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 与所成的角为 C. D. 过点的平面截该正方体所得的平面图形为正方形 11. 已知扇形的半径为，，点在弧上运动，，则（ ） A. 当位于点时，的值最小 B. 的值最大为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或； ②若，则； ③若，且，则； ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 13. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 14. 如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 四､解答题 15. 已知复数是关于的方程的一个根，其中． （1）求的值； （2）若复数满足，求的最小值． 16. 在中，，. （1）求， （2）再从以下条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 在正方体中，分别为的中点，，，如图. （1）求证：四点共面； （2）作出直线与平面的交点的位置.并给出理由. 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）若平面交于点，求证：； （2）求证：平面； （3）判断直线与平面所成角的大小是否可以为？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $