11.2一元一次不等式（第2课时 解一元一次不等式）（导学案）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式（第2课时 解一元一次不等式） （导学案） (1)熟练掌握解含括号、分母的一元一次不等式的完整步骤；能规范、准确求解复杂一元一次不等式，并在数轴上表示解集；能清晰区分解一元一次方程与一元一次不等式的区别. (2)经历复杂一元一次不等式的求解过程，提升代数变形、运算的严谨性；通过步骤梳理与易错辨析，培养逻辑推理与规范解题能力；体会化归思想在不等式求解中的应用. (3)通过攻克复杂不等式求解难点，增强数学学习自信心；养成严谨细致、规范书写的解题习惯；感受数学知识的系统性，提升代数运算的核心素养. 重点:含括号、分母的一元一次不等式的完整解题步骤；规范求解并准确在数轴上表示解集. 难点:去分母时不漏乘不含分母的项，正确处理分子的括号；去分母、系数化为1时，准确把握不等号方向的变化；避免解题过程中的符号、漏乘等运算错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：解简单一元一次不等式的步骤是什么？不等式的性质3内容是什么？ 2. 基础练习：解不等式2(x-3)-5<3x，学生板演，回顾去括号、移项、系数化为1的基础步骤，纠错巩固. 【学法指导】 新知自研：自研课本第133-134页的内容 【学法指导】自研课本P133-134页内容 (一)复习巩固完整解法 问题：解含分母的一元一次不等式 师生重点分析去分母步骤： ①去分母：两边同乘分母最小公倍数6，不漏乘常数项，2(2x-1)≤6-3(x-2)； ②后续步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为1，全程规范板书，标注每一步依据. 师生共同总结解一元一次不等式的完整步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1→数轴表示解集. （二）用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案. 问题1：七年级举办占诗闻知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不容都扣5分，如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级? 分析:追问1：“初赛成绩超过90分”表示什么意思？ 追问2：“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出什么不等式？ 解:设初赛答对了道题.根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式 去括号，得 移项，合并同类项、得 系数化为1，得 由应为正整数、可得至少为13. 答:初赛至少要答对13道题才能成功晋级. 问题2：某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 说明：万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量(折算为标准煤)，其下降率是街量一个地区节能减排成效的重要指标. 分析:“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即（去年万元地区生产总值能耗）/（今年万元地区生产总值能耗）×100%≥5%.去年万元地区生产总值能耗. 解:设这个市今年万元地区生产总值能耗为xt标准煤.根据题意，列得不等式 去分母，得. 移项，合并同类项，得 系数化为1，得x≤0.304. 答:这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤. 【自研自探】 自研课本P133-134页内容 典型例题 例1. 有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；若每间住8人，则有一间宿舍不满也不空，问宿舍间数是多少？ 【详解】解：设宿舍间数为，学生人数为．根据题意，得，解得．∵是正整数，． 答：宿舍间数有6间． 例2．黄星年级欲购买甲、乙两种奖品以鼓励在本学期有进步的学生，甲种奖品每件15元，乙种奖品每件3元．现要购买甲、乙两种奖品共100件，总费用不超过800元，那么甲种奖品最多购买多少件？ 【分析】设甲种奖品购买了m件，则乙种奖品购买了件，根据“总价=单价×数量”结合总费用不超过800元，建立一元一次不等式求解，再根据实际意义取最大值即可． 【详解】解：设甲种奖品购买了m件，则乙种奖品购买了件， 根据题意可得， 解得 ∵m是正整数， ∴m的最大值为41． ∴甲种奖品最多购买41件． 第二环节 合作探究 1. 讨论解一元一次不等式的一般步骤？类比解一元一次方程的一般步骤. 2. 讨论如何用不等式表示实际问题中的不等关系并求解. 拓展提升：1.“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B，需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元． (1)求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ (2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？ 【详解】（1）解：设A款羽绒服在网上的售价a元，B款羽绒服在网上的售价b元，可得： ， 解得：， 答：A款羽绒服在网上的售价是400元，B款羽绒服在网上的售价是300元； （2）解：设让利的羽绒服有x件，则已售出的有件，根据题意可得： ， 解得：， 的最大整数解是5， 答：个体户让利销售的羽绒服最多是5件． 课本课堂P134练习. 参考答案：1.设该工程队以后几天内平均每天修路x km，则(10-2-2)x≥6-1.2,解得.x≥0.8. 所以该工程队以后几天内平均每天至少要修路0.8 km. 2.设这时已售出x辆自行车，则，解得..由x应为正整数，可得x至少为 114. 所以这时至少已售出114辆自行车. 1．（2025•宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【解答】解：设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80， 解得：x≥12， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对的题数是12道．故选：C． 2．（2025•台湾）如图为金银河影城的价目表．某社团16人去此影城看电影，打算以比赛奖金6000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买多少盒爆米花？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：设可以买x盒爆米花， 根据题意得：320×16+35（16﹣x）+90x≤6000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为5， ∴最多可买5盒爆米花． 故选：C． 3.（2025.淮南校考）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【解答】解：， 去分母，得3（3x﹣1）≤2（2x+1）， 去括号，得9x﹣3≤4x+2， 移项，得9x﹣4x≤2+3， 合并同类项，得5x≤5， 系数化为1，得x≤1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 知识总结：本节课完善了一元一次不等式的完整解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后在数轴上表示解集；掌握了含分母、括号的复杂不等式求解方法；明确了一元一次方程与一元一次不等式解法的核心区别.通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案. 方法总结：解复杂一元一次不等式遵循化归思想，逐步将复杂不等式化为x>a（或x≥a、x<a、x≤a）的最简形式；解题时按步骤有序操作，每一步紧盯符号、不等号方向、是否漏乘；去分母时牢记“两边同乘、各项都乘”的原则.根据实际问题中的不等关系，把实际问题转化为实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为不等式的数学问题、进而通过解得到实际问题的答案. 易错提醒：（1）去分母时，常数项也要乘分母的最小公倍数，严禁漏乘；分子是多项式时，去分母后要加括号.（2）去括号、移项时，注意符号变化，避免符号出错.（3）去分母、系数化为1时，乘除负数必须改变不等号方向.（4）数轴表示解集，区分好空心圆圈和实心圆点，避免画错方向. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2 一元一次不等式（第2课时 解一元一次不等式） （导学案） (1)熟练掌握解含括号、分母的一元一次不等式的完整步骤；能规范、准确求解复杂一元一次不等式，并在数轴上表示解集；能清晰区分解一元一次方程与一元一次不等式的区别. (2)经历复杂一元一次不等式的求解过程，提升代数变形、运算的严谨性；通过步骤梳理与易错辨析，培养逻辑推理与规范解题能力；体会化归思想在不等式求解中的应用. (3)通过攻克复杂不等式求解难点，增强数学学习自信心；养成严谨细致、规范书写的解题习惯；感受数学知识的系统性，提升代数运算的核心素养. 重点:含括号、分母的一元一次不等式的完整解题步骤；规范求解并准确在数轴上表示解集. 难点:去分母时不漏乘不含分母的项，正确处理分子的括号；去分母、系数化为1时，准确把握不等号方向的变化；避免解题过程中的符号、漏乘等运算错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：解简单一元一次不等式的步骤是什么？不等式的性质3内容是什么？ 2. 基础练习：解不等式2(x-3)-5<3x，学生板演，回顾去括号、移项、系数化为1的基础步骤，纠错巩固. 【学法指导】 新知自研：自研课本第133-134页的内容 【学法指导】自研课本P133-134页内容 (一)复习巩固完整解法 问题：解含分母的一元一次不等式 师生共同总结解一元一次不等式的完整步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1→数轴表示解集. （二）用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案. 问题1：七年级举办占诗闻知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不容都扣5分，如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级? 分析:追问1：“初赛成绩超过90分”表示什么意思？ 追问2：“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出什么不等式？ 问题2：某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 说明：万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量(折算为标准煤)，其下降率是街量一个地区节能减排成效的重要指标. 【自研自探】 自研课本P133-134页内容 典型例题 例1. 有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；若每间住8人，则有一间宿舍不满也不空，问宿舍间数是多少？ 例2．黄星年级欲购买甲、乙两种奖品以鼓励在本学期有进步的学生，甲种奖品每件15元，乙种奖品每件3元．现要购买甲、乙两种奖品共100件，总费用不超过800元，那么甲种奖品最多购买多少件？ 第二环节 合作探究 1. 讨论解一元一次不等式的一般步骤？类比解一元一次方程的一般步骤. 2. 讨论如何用不等式表示实际问题中的不等关系并求解. 拓展提升：1.“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B，需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元． (1)求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ (2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？ 课本课堂P134练习. 1．（2025•宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 2．（2025•台湾）如图为金银河影城的价目表．某社团16人去此影城看电影，打算以比赛奖金6000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买多少盒爆米花？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（2025.淮南校考）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 知识总结：本节课完善了一元一次不等式的完整解题步骤： 、 、 、 、 ，最后在数轴上表示 ；掌握了 、 的复杂不等式求解方法；明确了一元一次方程与一元一次不等式解法的 .通过用 表示实际问题中的 ，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过 . 方法总结：解复杂一元一次不等式遵循 思想，逐步将复杂不等式化为 的最简形式；解题时按 操作，每一步紧盯 、不等号 、是否 ；去分母时牢记“两边同乘、 ”的原则.根据实际问题中的 ，把实际问题转化为实际问题中的 ，可以把实际问题转化为 、进而通过 . 易错提醒：（1）去分母时，常数项也要乘 ，严禁 ；分子是多项式时，去分母后要加 .（2）去括号、移项时，注意 ，避免 .（3）去分母、系数化为1时，乘除负数必须 .（4）数轴表示解集，区分好 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $