11.1.2不等式的性质（第2课时 不等式性质的应用）（导学案）数学新教材人教版七年级下册

11.1.2 不等式的性质（第2课时 不等式性质的应用） （导学案） (1)熟练掌握不等式的三条基本性质，能准确区分性质2与性质3；熟练运用不等式性质，将各类复杂不等式化为最简形式；能根据实际问题中的不等关系列不等式，并利用性质求解. (2)经历不等式变形、求解的过程，掌握一元一次不等式化简的步骤与方法；通过实际问题建模，提升分析不等关系、解决实际问题的能力；在解题中培养逻辑推理和规范表达能力. (3)在运用性质解决问题的过程中，感受数学知识的实用性；养成严谨、规范的解题习惯，提升克服困难的信心；体会数学与生活的联系，激发数学应用意识. 重点:运用不等式的性质，将不等式化为x>a（或x≥a<a、x≤a）的形式；规范完成不等式变形的解题步骤. 难点:含负数系数、分数系数、括号的不等式变形，准确运用性质3，避免不等号方向出错；从实际问题中提炼准确的不等关系，列出符合题意的不等式. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：不等式的三条基本性质分别是什么？用符号语言如何表述？性质2和性质3的核心区别是什么？ 2. 快速抢答：判断下列变形是否正确，说明理由 （1）由x+2>5，得x>3；（2）由-2x>4，得x>-2；（3）由3x≤6，得x≤2。 【学法指导】 新知自研：自研课本第126-127页的内容 【学法指导】自研课本P126-127页内容 (一)用不等式性质解不等式 追问1：我们是怎样利用等式的性质解方程的？ 追问2：与解方程类似，解不等式怎样借助不等式的性质来解？ 问题1：利用不等式的性质解下列不等式， （1）；（2）；（3）；（4）. （二）在数轴上表示不等式的解集 追问1：怎样在数轴上表示上面第一个不等式的解集？ 追问2：怎样在数轴上表示上面第二个不等式的解集？ 分组练习：在数轴上表示上面第三、四个不等式的解集. （三）认识“≥”和“≤”号 问题：除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.例如，x≥3 表示x>3 或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等 于”，也可以说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.符号“≥”与“>” 的含义有什么区别?“≤"与“<”呢? 追问1：不等式性质对用符号“≥”和“≤”表示的不等关系，也适用吗？如何使用？ 追问2：如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h，最高车速应为100km/h如果用v(单位:km/h)表示汽车的速度，则v应满足的不等式是什么？ . 追问3：回到本节开头的问题，如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h，那么车速x应满足什么条件? 【自研自探】 自研课本P126-127页内容 典型例题 例1.根据不等式的性质解不等式，并在数轴表示不等式的解集. 例2. 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5dm，高7dm。若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水.用V(单位:)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示， 第二环节 合作探究 1.讨论系数复杂时的二元一次方程组变形策略. 2.讨论代入消元的优化策略. 3.讨论如何整体代入法解方程组. 拓展提升： 1.现有代数式，其中m为负整数，嘉嘉和淇淇给出了不同的条件：    (1)根据嘉嘉给出的条件，求代数式的值； (2)根据淇淇给出的条件，求m的值． 课本课堂P128练习. 1．（2025.银川校考）在公路上，我们经常能看到不同的交通标志，它们有着不同的含义，若设汽车的载重为x，速度为y，宽度为a，高度为h，请你用不等式表示下面图中各标志的意义．    2．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 3．（2025•吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 4.（2025•河北）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集； 知识总结：本节课核心是 ，掌握了利用不等式性质解一元一次不等式的步骤： 、 、 、 ；明确了每一步变形对应的 ；学会结合数轴表示 ，能解决 . 方法总结：解不等式时，每一步变形都要依据 ，杜绝 ；系数化为1时，先判断 ，再确定 ；解决实际问题时，先抓关键词提炼 ，再列 、用 求解. 易错提醒：（1）系数化为1时，除以或乘 ，一定要 ，这是最常见错误.（2）去括号时，注意 变化，避免漏乘 .（3）实际问题中，准确区分 等关键词，正确选择 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.2 不等式的性质（第2课时 不等式性质的应用） （导学案） (1)熟练掌握不等式的三条基本性质，能准确区分性质2与性质3；熟练运用不等式性质，将各类复杂不等式化为最简形式；能根据实际问题中的不等关系列不等式，并利用性质求解. (2)经历不等式变形、求解的过程，掌握一元一次不等式化简的步骤与方法；通过实际问题建模，提升分析不等关系、解决实际问题的能力；在解题中培养逻辑推理和规范表达能力. (3)在运用性质解决问题的过程中，感受数学知识的实用性；养成严谨、规范的解题习惯，提升克服困难的信心；体会数学与生活的联系，激发数学应用意识. 重点:运用不等式的性质，将不等式化为x>a（或x≥a<a、x≤a）的形式；规范完成不等式变形的解题步骤. 难点:含负数系数、分数系数、括号的不等式变形，准确运用性质3，避免不等号方向出错；从实际问题中提炼准确的不等关系，列出符合题意的不等式. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：不等式的三条基本性质分别是什么？用符号语言如何表述？性质2和性质3的核心区别是什么？ 2. 快速抢答：判断下列变形是否正确，说明理由 （1）由x+2>5，得x>3；（2）由-2x>4，得x>-2；（3）由3x≤6，得x≤2。 【学法指导】 新知自研：自研课本第126-127页的内容 【学法指导】自研课本P126-127页内容 (一)用不等式性质解不等式 追问1：我们是怎样利用等式的性质解方程的？ 利用等式的性质将方程转化为. 追问2：与解方程类似，解不等式怎样借助不等式的性质来解？ 将不等式利用不等式的性质逐步化为或(m为常数)的形式. 问题1：利用不等式的性质解下列不等式， （1）；（2）；（3）；（4）. 引导学生分析怎样把不等式转化为或(m为常数)的形式，每一步变形依据，规范解题步骤，重点强调第（4）题系数化为1时，除以负数需改变不等号方向；同时示范数轴表示解集的方法. (1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变。所以x-7+7>26+7，x>33. (2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x-2x<2x+1-2x,x<1. (3)根据不等式的性质2，不等式两边乘一，不等号的方向不变，所以,x>75. (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以一4，不等号的方向改变，所以，. （二）在数轴上表示不等式的解集 追问1：怎样在数轴上表示上面第一个不等式的解集？ 如下图，强调所画线在端点的右侧，端点用空心圆点表示. 追问2：怎样在数轴上表示上面第二个不等式的解集？ 如下图，强调所画线在端点的左侧，端点用空心圆点表示. 分组练习：在数轴上表示上面第三、四个不等式的解集. （三）认识“≥”和“≤”号 问题：除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.例如，x≥3 表示x>3 或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等 于”，也可以说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.符号“≥”与“>” 的含义有什么区别?“≤"与“<”呢? 符号“≥”和“≤”分别比和“<”，“>”，各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号的合写形式，要理解这两个符号蕴含的逻辑关系.通常我们把用符号“≥”和“≤”表示大小关系的式子，也称为不等式. 追问1：不等式性质对用符号“≥”和“≤”表示的不等关系，也适用吗？如何使用？ 它们具有类似前面所说的不等式的性质，只是要把“>”和“<”改为“≥”和“≤”，因此用“≥”和“≤”表示的不等式的解法可以不单独讨论. 追问2：如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h，最高车速应为100km/h如果用v(单位:km/h)表示汽车的速度，则v应满足的不等式是什么？ v≥80且v≤100，或表示为80≤v≤100. 追问3：回到本节开头的问题，如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h，那么车速x应满足什么条件? 车速x应满足的条件是:105<x≤120. 【自研自探】 自研课本P126-127页内容 典型例题 例1.根据不等式的性质解不等式，并在数轴表示不等式的解集. 【分析】根据不等式将不等式化为系数化为1的不等式可得. 【详解】解：两边同减得： 系数化为1得：， 在数轴上表示：   . 例2. 如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5dm，高7dm。若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水.用V(单位:)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示， 【分析】:问题中的不等关系是:已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. 【详解】解：解:因为“已有水的体积十新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以 , 解得 V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是 0≤V≤210. 在数轴上表示V的取值范围如图所示. 第二环节 合作探究 1.讨论系数复杂时的二元一次方程组变形策略. 2.讨论代入消元的优化策略. 3.讨论如何整体代入法解方程组. 拓展提升： 1.现有代数式，其中m为负整数，嘉嘉和淇淇给出了不同的条件：    (1)根据嘉嘉给出的条件，求代数式的值； (2)根据淇淇给出的条件，求m的值． 【详解】（1）当， ． （2）当时， ，利用不等式的性质解得： 因为m为负整数，所以． 课本课堂P128练习. 参考答案：1.（1）（2）（3） 2.（1）（2）（3） （3）（数轴表示略） 3. 1．（2025.银川校考）在公路上，我们经常能看到不同的交通标志，它们有着不同的含义，若设汽车的载重为x，速度为y，宽度为a，高度为h，请你用不等式表示下面图中各标志的意义．    【详解】解：由题意可知，限重，限宽，限高，限速中的“限”字的意义就是不超过，也就是“”的意义， 即：，，，． 2．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 【解答】解：∵a＞b， ∴a+c＞b+c． 故选：A． 3．（2025•吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【解答】解：∵x﹣3＞2，∴x＞2+3， x＞5，故选：A． 4.（2025•河北）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集； 【解答】解：2x≤6， x≤3， 数轴表示如下： ． 知识总结：本节课核心是不等式性质的应用，掌握了利用不等式性质解一元一次不等式的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1；明确了每一步变形对应的不等式性质；学会结合数轴表示不等式解集，能解决简单的不等式实际问题. 方法总结：解不等式时，每一步变形都要依据不等式性质，杜绝随意变形；系数化为1时，先判断系数正负，再确定不等号方向；解决实际问题时，先抓关键词提炼不等关系，再列不等式、用性质求解. 易错提醒：（1）系数化为1时，除以或乘负数，一定要改变不等号方向，这是最常见错误.（2）去括号时，注意符号变化，避免漏乘括号内的项.（3）实际问题中，准确区分“至少”“至多”“超额”“不超过”等关键词，正确选择不等号. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $