11.1.1不等式及其解集（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

11.1.1 不等式及其解集 （教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教2024版七年级数学下册第十一章《不等式与不等式组》第1节《不等式及其解集》，核心内容包括：通过实际问题抽象出不等关系，理解不等式的概念；掌握不等式的解、不等式的解集、解不等式的定义；学会用不等式表示实际问题中的不等关系，能在数轴上直观表示不等式的解集. 2.内容解析 本节课是不等式章节的开篇课，是学生从等式、方程的相等关系学习，过渡到不等关系研究的关键节点.教材从生活中常见的行程问题入手，引导学生感知现实世界大量存在的不等数量关系，通过类比方程的相关概念，构建不等式、不等式的解、解集的知识体系，渗透建模思想与数形结合思想.本节内容既是对前期等式、方程知识的延伸与补充，也是后续学习不等式的性质、一元一次不等式、一元一次不等式组及其应用的基础，在整个初中代数知识体系中起到承上启下的衔接作用，帮助学生建立完整的数量关系分析思维，提升数学应用能力. 基于以上分析，本节课的教学重点是不等式的概念；不等式的解与解集的含义；用不等式表示不等关系、在数轴上表示不等式的解集. 1. 教学目标 （1）理解不等式的概念，能准确识别不等式；掌握不等式的解、解集、解不等式的含义，会判断一个数是否为不等式的解；能用不等式表示简单的不等关系，能熟练在数轴上表示不等式的解集. （2）经历从实际问题中抽象出不等式模型的过程，提升观察、分析、归纳数学概念的能力；通过类比方程的解学习不等式的解与解集，体会类比思想；借助数轴表示解集，感受数形结合的数学思想. （3）感受不等式在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；激发探究数学知识的兴趣，培养严谨的数学思维和规范的解题习惯. 2.目标解析 目标1立足教材基础概念，要求学生不仅能记忆不等式及相关定义，更能实现概念的应用，即区分不等式与等式、判断解的合理性、完成文字语言到不等式的转化、代数语言到数轴图形的转化，夯实本章学习的基础. 目标2遵循七年级学生从具体到抽象、从已知到未知的认知规律，通过实际问题引导自主探究，借助类比、数形结合的方法，让学生主动参与概念形成过程，而非被动接受知识，培养数学核心素养. 目标3结合生活实例设计教学，消除学生对代数知识的陌生感，让学生体会数学的实用性，增强学习自信心，逐步养成主动思考、规范表达的学习品质. 七年级学生已经掌握等式、方程、方程的解等相关知识，具备一定的列式表示数量关系、分析简单实际问题的能力，这为类比学习不等式知识奠定了知识基础.但本阶段学生抽象思维能力较弱，对“解集”这一集合性概念理解存在困难，容易混淆不等式的解与解集，同时初次接触数形结合表示解集，对数轴上点的表示方法容易出错。另外，学生从实际问题中提取不等关系、抓住关键词的能力不足，需要通过实例引导、对比辨析逐步突破学习障碍. 基于以上分析，确定本节课的教学难点深入理解不等式解集的意义，区分不等式的解与解集；准确把握数轴上空心圆圈、实心圆点的用法，规范表示不等式的解集；从实际问题中提炼不等关系并列出不等式. 创设情景，引入新课 问题：一辆匀速行驶的汽车在6:00距离A地210km，要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 引导学生思考：设车速为x km/h，从时间角度：行驶210km的时间小于2小时，即；从路程角度：2小时行驶的路程大于210km，即. (设计意图：结合生活实际问题创设情境，让学生直观感受生活中不等关系的存在，自然引出不等关系的数学表达，激发学生探究兴趣，顺利过渡到新课学习.) 探究点1：不等式概念 展示上述式子，同时补充3x+2>5、x-1≠0、y<4等式子. 引导学生观察对比. 总结共同特征：用“>、<”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 强调不等号的类型，让学生列举不等式实例，判断给出式子是否为不等式. （设计意图：通过多个不等关系式子的对比观察，引导学生自主归纳不等式概念，加深对概念本质的理解，避免死记硬背，培养归纳概括能力.） 探究点2:不等式的解 讨论：当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些值，如对于前面问题中的不等式，我们需要了解满足条件的车速的值例如，当x=90时，，不等式不成立；当x=110时，，不等式成立. 与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，例如，110是不等式的解，而90不是不等式的解. 追问1：针对不等式，车速取80、90、105、110时，不等式是否成立？ 学生代入计算后，类比方程的解，得出：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 追问2：不等式2x>210还有其他解吗？这些解有什么共同特点？ （设计意图：类比已学方程的解的知识，降低新概念学习难度，通过代入验证让学生直观理解不等式的解，同时引发思考，为解集概念的学习做铺垫.） 探究点3:不等式的解集 探究 再取的一些值试一试，看一看哪些是不等式的解. 观察不等式2x>210的解，它们都满足什么条件? 引导学生发现：大于105的所有实数都是不等式2x>210的解，进而给出定义：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式解集的过程叫做解不等式。 讲解解集的两种表示方法：一是用不等式表示（如x>105）；二是用数轴表示，在数轴上找到105对应的点，画空心圆圈，向右画射线表示解集. （设计意图：由单个解过渡到所有解的集合，帮助学生理解解集的整体性，同时引入数轴表示法，渗透数形结合思想，让抽象的解集变得直观.） 典型例题 例1用不等式表示下列不等关系： (1) a与15 的和大于27; (2)b的一半与3的差是负数； (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333猕猴桃、种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. 【分析】结合具体的问题、用不等式描述间题中的不等关系，体会符号化的思想，了解不等式的意义. 【详解】解(1) ； (2)； (3)设这个县原有猕猴桃种植面积为，那么，也可以表示为. 例2．根据下列的数量关系，列出不等式 (1)x与1的和是正数 (2)x除以2的商加上2，大于5 【分析】（1）根据“和是正数”即可列出不等式； （2）根据“大于5” 即可列出不等式； 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得：. (设计意图：分层设计练习，从基础概念辨析、列式，到解集的数轴表示，再到实际应用，逐步提升难度，巩固本节课核心知识，突破易错点和难点，提升学生知识应用能力，强化解题规范性.) 课本课堂P123练习. 参考答案： 2.3.2,4.8,8,12是不等式的解,其余不是. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.设n为正整数，且，则n的值为 ． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：7． (设计意图:强化数学不等式在实际生活中的应用．解题的关键是抓住“限”字来确定不等号．) 1.(2025.五河校考)不等式，的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】，选：B． 2.(2025怀宁校考.)根据下列的数量关系，列出不等式 (1)y的2倍与1的和大于3 (2)c与4的和的大于 (3)a与b的和的平方小于3 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： （3）解：由题意得： （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结:本节课学习了三个核心概念：不等式、不等式的解、不等式的解集；掌握了两种技能：用不等式表示不等关系、在数轴上表示不等式的解集；明确了不等式解集的两种表示形式：代数式表示和数轴表示. 方法总结:学习不等式知识可类比方程的相关知识，降低理解难度；研究不等式解集时，运用数形结合思想，借助数轴让抽象知识直观化；分析实际问题时，抓住“大于、小于、不超过、非负数”等关键词，准确列出不等式. 易错提醒:（1）区分不等式的解（单个数值）与解集（所有解的集合），避免概念混淆.（2）数轴表示解集时，注意空心圆圈（不包含该点）和实心圆点（包含该点）的用法.（3）列不等式时，准确理解“不大于”“不小于”“非负数”等关键词的含义，避免符号用错. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题11.1第1、2、3题. 探究性作业：习题11.1第6题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 11.1 不等式及其解集 探究点1：不等式概念 探究点2:不等式的解 探究点3:不等式的解集 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $