专题3.2 圆的对称性 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 《圆的对称性》同步练通过基础达标、能力提升、拓展培优三层递进设计，实现从单一概念到综合应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|圆的对称性核心概念（圆心角、弧、弦关系）|基础选择填空+简单证明，强化概念理解与基本运算| |能力提升|命题辨析与综合应用（结合三角形、切线）|中档解答题，培养逻辑推理与知识迁移能力| |拓展培优|动态问题与跨知识整合（尺规作图、网格）|探究性问题，发展空间观念与创新意识|

圆的对称性 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过邻补角的性质得到的度数，再由圆心角定理即可求得结果． 【详解】在中，C，D是上的点，， ∴， ∴． 2．下列结论正确的是（    ） A．相等的圆周角所对的弦相等 B．相等的弧所对的弦相等 C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【分析】根据圆中弦、弧、圆心角、圆周角的关系逐一排除即可． 【详解】解：由于圆中弦、弧、角的等量结论大多需要“在同圆或等圆中”的前提才能成立， 、未指明同圆或等圆，相等的圆周角所对的弦不一定相等，故该选项错误，不符合题意； 、∵相等的弧是指能完全重合的弧，本身隐含同圆或等圆的条件， ∴相等的弧所对的弦一定相等，故该选项正确，符合题意； 、未指明同圆或等圆，且同圆中一条弦对应两条弧，相等的弦所对的弧不一定相等，故该选项错误，不符合题意； 、未指明同圆或等圆，半径不同时相等的圆心角所对的弧不相等，故该选项错误，不符合题意． 3．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，利用弧、弦、圆心角的关系即可得的度数． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 4．在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，连接、，通过判断为等边三角形，求出弦所对的圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵的直径为， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 即弦所对的圆心角是， 故选：C． 5．已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对A进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对B进行判断；根据圆周角定理直接对C进行判断；根据两点之间线段最短可对D进行判断． 【详解】解：连接， 由作法得， ， 所以A正确； ， 当时，为等边三角形， ， ， 所以B正确； ， ， ， 所以C正确； ， ， 所以D错误． 6．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点， ∴，， 此时，的最小值为的长度， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 即的最小值为． 7．如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键． 先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 故选：． 8．如图，已知在纸上有一点．按下列尺规作图的步骤进行： ①以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交半圆于点； ③连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接，． 下列结论不正确的是（    ） A．四边形是菱形 B．是的中点 C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图、圆的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定． 由可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：，所以可以判定是等边三角形，由可知，所以可以判定是等边三角形，从而可以判定是等边三角形，所以可得，，所以可得四边形是菱形，所以可得A、B正确；由，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可知点是的中点，所以B选项正确；根据等边三角形的性质和勾股定理可得，根据菱形的面积公式可以得到，所以D选项错误．进而可得答案． 【详解】解：如下图所示，连接、，直线交于点， 由可知是的垂直平分线， ， 又， 是等边三角形，且， 由可知， 又， 是等边三角形，， ， 又， 是等边三角形，，， ， 四边形是菱形， 故选项A、选项C正确，不符合题意； 由A选项可知， ∴，即点是的中点， 故B选项正确，不符合题意； 由可知是中边上的高，是等边三角形， , ， ， 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 10．如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路．已知隧道的最大高度为，隧道入口宽为，该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，则这个圆的半径是_________． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理，可求出，根据勾股定理，则，即可． 【详解】解：连接，设圆的半径为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为：． 故答案为：． 11．如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，则______°． 【答案】40 【分析】根据“圆心角、弧、弦的关系”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 13．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可． （1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可； （2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴为的中点； （2）解：为的中点，为的中点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，直径与弦相交于点E，于点F，连接与相交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用直角三角形两锐角互余得出，可得，再利用等角对等边即可得证； （2）连接，利用，证明，再利用，证明，即可证明，得出，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 2．下列命题中，正确的是（   ） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于圆的性质，根据圆的确定条件、弧与圆心角的关系、垂径定理的逆定理以及弦与弧的关系逐一判断各选项． 【详解】解：A选项：当三点共线时，不能确定一个圆，故A选项错误； B选项：等弧一定在同圆或等圆中，所以等弧所对的圆心角相等，故B选项正确； C选项：当被平分的弦是直径时，则平分弦的直径不一定垂直于这条弦，故C选项错误； D选项：在同圆或等圆中，同一条弦所对的弧有优弧和劣弧，这两段弧不一定相等，故D选项错误． 故选：B． 3．下列事件为必然事件的是（   ）． A．相等的弦所对的弧相等 B．三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 C．关于的方程有两个不相等的实数根 D．有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件的概念，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形内切圆性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据必然事件的概念，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形内切圆性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定定理，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A选项：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧才相等，否则不相等，故该事件不是必然事件，不符合题意； B选项：三角形内切圆的圆心（内心）到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等，仅当三角形为等边时成立，故该事件不是必然事件，不符合题意； C选项：方程化为，判别式， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根，为必然事件，符合题意； D选项：两组边和一组角相等可能对应情况，不一定全等（如非直角三角形的），不必然成立，故该事件不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 4．有下列四个命题，其中正确的是（    ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②圆中最长的弦是直径；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④在同圆或等圆中，等弧对等弦． A．①②④ B．②③④ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括圆心角、弦、弧之间的关系，需根据初中教材内容判断各命题的正确性． 【详解】解：命题①“相等的圆心角所对的弧相等”需在同一个圆或等圆中才成立，缺少条件， 故①错误； 命题②“圆中最长的弦是直径”正确； 命题③“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中，若弦为直径，则平分弦的直径不一定垂直于该弦， 故③错误； 命题④“在同圆或等圆中，等弧对等弦”正确； ∴ 正确命题为②和④， 故选：C 5．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点E，连接， ，， ， ， ， ． 故选：B． 2、 填空题 6．如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题,垂线的定义理解，利用弧、弦、圆心角的关系求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据垂直的意义得出，从而可得，结合，可求得，再利用弧的中点得出，从而可利用两角的差求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为弧中点， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知中，，延长到点D，使，过点A、D分别作、的平行线交于点E，连接，则线段的取值范围为______． 【答案】 【分析】先证得四边形是平行四边形，再确定点A的轨迹是在以为弦的圆弧上，求出弦所对的圆心角，设B为坐标原点，直线为x轴，建立坐标系，再确定点E的轨迹，及圆心坐标，求出，即可解答． 【详解】解：∵，延长到点D，使， ∴，， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵中，， ∴点A在以为弦的圆弧上，弦所对的圆心角为， 设这个圆的圆心为，半径为R， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A在这个圆上运动（不含B、C两点）， 作，于点F， ∴， 设B为坐标原点，直线为x轴，则：，，， 设点，则由（即平行于x轴），， ∵，， 点E的轨迹，就是点A的轨迹圆向右平移6个单位得到的圆，半径仍为2， ∴，，， ， 点E在圆，因此的取值范围为： ，即． 3、 解答题 8．如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可求证； （2）先连接，过点作，垂足为，再运用勾股定理分别求出，根据弧相等圆心角相等推出，推出，然后结合根据（1）中推出，即，代入线段长度即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 在中，根据勾股定理，， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴，即，解得． ∴的半径为． 9．如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先由角平分线定理得到，再由直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由圆中弦、弧和圆周角的关系得出，再由直角三角形全等的判定定理证得，得出即可得证． 【详解】证明：过点作于点，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 10．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与交于点，连接，． (1)求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)的长为5． 【分析】（1）如图，连接，根据题意得到，，根据等腰三角形的定义得到，则，即可求解； （2）根据题意可证，得到，即，由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 又， ， ， ， ． （2）解：，     ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， 的长为5． 拓展培优 一、选择题 1．如图，已知在纸上有一点O．按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．四边形是菱形 B．点C是弧的中点 C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，根据已知条件可证和为等边三角形，结合菱形的判定定理可判断A选项；根据，可以推出B正确；求出，可以判定C正确；在中，可求出的长，进而可得四边形的面积即可判断D选项． 【详解】解：连接，设交于点H， 由题意可知，为线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， 由尺规作图可知， ， ，即为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； ， ， 点C是弧的中点，故选项B正确，不符合题意； ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 在中，， ， 四边形的面积为，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 2．在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 3．如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 二、填空题 4．如图，，，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接，过点C作交于点Q．则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，根据题意易得，证明点共圆，垂直平分，得到，得到，易证是等腰直角三角形，得到，求出，以为斜边，向上作等腰直角，则点Q在以E为圆心，的长为半径的圆上，故当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵，点P是上的一动点， ∴点共圆，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 以为斜边，向上作等腰直角， ∵都是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴劣弧所对圆周角为， ∵， ∴点Q在以E为圆心，的长为半径的圆上， 故当三点共线时，有最小值， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．如图，在中，以点C为圆心，为半径作弧交于点D，点E在线段上，，，，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】延长至点，使得，证明，利用相似三角形的性质求出，进而得到，根据，推出，易证四点共圆，结合，根据圆周角定理推出，由三角形外角的性质结合已知得到，易证是等腰直角三角形，进而得到，再求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 6．如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握好圆的基本概念是关键． 根据圆心角与弧的关系证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 7．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．      (1)在图（1）中，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画出所有的点D，使； (2)在图（2）中，E 、F是圆与格线的交点，画出的角平分线，再画弦，使． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【分析】本题考查圆的圆心确定（垂直平分线的性质）、弦长相等的作图、角平分线的网格作图．解题关键利用无刻度直尺的“连接格点、作直线”功能，结合网格的几何特征（对称、垂直、等长）．易错点忽略网格的对称性，导致圆心或点的位置找错． （1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可； （2）如图所示：找到格点，连接与交于点，连接并延长与圆交于点，连接，即为所求；连接并延长与圆交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接，相交于点O， 由网格可得，， 由网格的特点可得， ∵点A，C，B，在同一个圆上 ∴ ∴点和即为所要求作的D点； ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心， ∴点O即为所求作的点； （2）解：如图所示：找到格点，连接与交于点，连接并延长与圆交于点，连接，即为所求；连接并延长与圆交于点，连接，即为所求； 由网格特点可知为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为的角平分线， 故即为所求； 由格点性质可知垂直平分， ∴， ∴， 故即为所求； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的对称性 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列结论正确的是（    ） A．相等的圆周角所对的弦相等 B．相等的弧所对的弦相等 C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 3．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 5．已知锐角，如图： （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A． B．若则 C． D． 6．如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 7．如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知在纸上有一点．按下列尺规作图的步骤进行： ①以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交半圆于点； ③连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接，． 下列结论不正确的是（    ） A．四边形是菱形 B．是的中点 C． D．四边形的面积为 二、填空题 9．如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 10．如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路．已知隧道的最大高度为，隧道入口宽为，该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，则这个圆的半径是_________． 11．如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 12．如图，在中，，，则______°． 三、解答题 13．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 14．如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 15．如图，在中，直径与弦相交于点E，于点F，连接与相交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 能力提升 1、 选择题 1．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，正确的是（   ） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 3．下列事件为必然事件的是（   ）． A．相等的弦所对的弧相等 B．三角形内切圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 C．关于的方程有两个不相等的实数根 D．有两组边和一组角分别相等的两个三角形全等 4．有下列四个命题，其中正确的是（    ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②圆中最长的弦是直径；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④在同圆或等圆中，等弧对等弦． A．①②④ B．②③④ C．②④ D．②③ 5．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 2、 填空题 6．如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 7．已知中，，延长到点D，使，过点A、D分别作、的平行线交于点E，连接，则线段的取值范围为______． 3、 解答题 8．如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 9．如图，是的直径，为弦，的平分线交于点，过点的的切线交的延长线于点，且．求证：． 10．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与交于点，连接，． (1)求的度数． (2)若，，求的长． 拓展培优 一、选择题 1．如图，已知在纸上有一点O．按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．四边形是菱形 B．点C是弧的中点 C． D．四边形的面积为 2．在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 3．如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，，，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接，过点C作交于点Q．则的最小值为______． 5．如图，在中，以点C为圆心，为半径作弧交于点D，点E在线段上，，，，若，则的长为_______． 三、解答题 6．如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6，求证：． 7．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．      (1)在图（1）中，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画出所有的点D，使； (2)在图（2）中，E 、F是圆与格线的交点，画出的角平分线，再画弦，使． 1 / 5 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