3.2圆的对称性同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.2圆的对称性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．半圆是弧 C．等弦对等圆心角 D．直径是最长的弦，半径是最短的弦 4．如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 11．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 12．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　） ①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．如图，是的直径，，，则的度数为 ． 14．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 15．如图，是直径，，，的度数是 ． 16．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 17．如图，在中，，则的度数为 ．    三、解答题 18．已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上 求证：．    19．如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 20．如图，点、、、都在上，若，求证：． 21．如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 22．如图，在中，，于，于．求证：． 23．如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：． 24．如图，A，B是上的两点，，C是的中点． (1)求证：四边形为菱形； (2)延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长． 《3.2圆的对称性》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B C B C C A 题号 11 12 答案 B D 1．D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 2．C 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，连接、， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ，故③错误， 若是的中点，连接，而   ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 3．B 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，逐项判断可得答案． 【详解】解：A．等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，故此选项不符合题意； B．半圆是弧，故此选项符合题意； C．在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，故此选项不符合题意； D．直径是最长的弦，半径不是弦，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查圆的认识，在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角的关系．解题的关键是掌握弧、半圆和弦的定义，弦、弧、圆心角的关系． 4．B 【分析】首先由可得，再由可得出． 【详解】解：∵在中， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 7．B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点E，连接， ，， ， ， ， ． 故选：B． 8．C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 10．A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴O到的距离相等， 由题意，不一定成立， 结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意； 故选：A． 11．B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 12．D 【分析】根据弧、弦、角的关系即可判断． 【详解】解：①∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴的度数的度数．①正确； ②在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．②正确； ③∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴和是等弧．③正确； ④在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．④正确； 故选：D 【点睛】本题考查弧、弦、角的关系．熟记相关结论是解题关键． 13． 【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【详解】 解：∵， ∴， 而为直径， ∴， ∴的度数为． 14．3 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：3． 15．/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．/76度 【分析】根据同弧（或等弧）所对的圆心角相等，得。即可求出的度数． 【详解】解：在中， ∵，， ∴； ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查圆心角的计算，属于基础题，理解同弧（或等弧）所对的圆心角相等是解题的关键． 17． 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 18．见解析 【分析】连接，，，根据弧、弦、圆心角的关系证明即可． 【详解】证明：连接，，．    ， ． 【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握定理是解题的关键． 19．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键． （1）连接、，过O作于M，根据等腰三角形的三线合一解题即可； （2）只要证明即可解题． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20．见解析 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 21．见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即C为的中点． 22．证明见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角、角平分线的性质定理、直角三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．连接，先证出，再根据角平分线的性质定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴平分， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23．证明见解析． 【分析】本题考查了圆的有关知识，全等三角形的判定与性质，连接，由为的中点，得到，再得到，根据，分别是，的中点，得到，进而证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ∵为的中点， ， ， 又∵，分别是，的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出等边三角形和等边，推出，即可得出答案； （2）求出，再求出，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵，是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，同理， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，圆的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $