专题3.1 圆 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 圆的定义及表示方法 考点梳理 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 典例引领 考向01 求一点到圆上点距离的最值 【例1】问题提出： （1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、3为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为_______； 问题探究： （2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值； 问题解决： （3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连接，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区域内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】（1）2；（2）；（3）元． 【分析】本题考查动点轨迹是圆的动点问题，解题的关键是能够发现动点的轨迹是圆，利用求点到圆上一点距离最小的方法求线段最小值． （1）画图即可判断； （2）取的中点，连接，根据题意得：G点的运动轨迹是以中点O为圆心，为半径的弧，所以和的长度是定值，因此共线时，取最小值，根据勾股定理计算即可； （3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆，在上取一点T，连接，过点J作于点Q，过点P作于点H，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：（1）过点C作于点H，则， 以点C为圆心，3为半径作圆，交于点P， ∴上一点到直线的最小距离为； （2）取的中点，连接， 根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧， 、为定值，当、、共线时，取得最小值， 四边形是正方形， ，． 是的中点， ． 在中，， 的最小值为． （3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆， 在上取一点，连接，，过点作于点，过点作于点， ，， ， ，则． 为等边三角形， ， ， ， 、、、四点共圆． ，， ． ， 的最小值为， 完成这两种花卉种植的最低种植费用为 （元）． 考向02 已知半径和圆上两点作圆 【例2】已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 考向03 点与圆上一点的最值问题 【例3】如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，当时， ， ， 是线段的中点， 故是的中位线， ， 是以点为圆心，为半径的圆上的动点， ， 考向04 圆的周长和面积问题 【例4】如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积计算方法，该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即可求解． 【详解】外圈半径为 内圈半径为 如图， 该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即 ． 考向05 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 【例5】自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 对点提升 【对点1】在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别作关于的对称点，，进而根据题意可得点到圆上的距离的最大值为，即可求解； ②同①的方法，分别作出线段，，关于的对称图形，观察图形，找到关于的“对称长度”为的线段，即可求解． （2）根据题意，得出正方形关于的对称图形的轨迹，进而根据一点到圆上的距离的最值方法，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，分别作关于的对称点，，观察图形可得，到的最大距离为，符合题意，即关于直线的“对称长度”为； 故答案为：． ②如图所示，观察图形可得关于的对称图形，到的最大距离为，即， 故答案为：． （2）解：如图所示，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，正方形关于的对称点所在轨迹如图所示， ∵， ∴的解析式为 当关于的对称点为时，此时正方形关于的“对称长度”取得最小值， ∵，设，则，即① ， ∴② 由①②得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【对点2】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【对点3】如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O，连接， 由折叠的性质可得， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时， ∵在矩形中，， ， ∴， ． 【对点4】一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 【对点5】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 考点02 点与圆的位置关系 考点梳理 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 典例引领 考向01 判断点与圆的位置关系 【例1】已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 考向02 利用点与圆的位置关系求半径 【例2】已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】 7 【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可． 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． 对点提升 【对点1】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在内． 故选：B． 【对点2】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 考点03 圆的有关概念 考点梳理 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 典例引领 考向01 求圆中弦的条数 【例1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 考向02 求过圆内一点的最长弦 【例2】如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 对点提升 【对点1】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【对点2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 圆的定义及表示方法 考点梳理 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 典例引领 考向01 求一点到圆上点距离的最值 【例1】问题提出： （1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、3为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为_______； 问题探究： （2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值； 问题解决： （3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连接，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区域内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：） 考向02 已知半径和圆上两点作圆 【例2】已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考向03 点与圆上一点的最值问题 【例3】如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 考向04 圆的周长和面积问题 【例4】如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 考向05 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 【例5】自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 对点提升 【对点1】在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 【对点2】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【对点3】如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【对点4】一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【对点5】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点02 点与圆的位置关系 考点梳理 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 典例引领 考向01 判断点与圆的位置关系 【例1】已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 考向02 利用点与圆的位置关系求半径 【例2】已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 对点提升 【对点1】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【对点2】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 考点03 圆的有关概念 考点梳理 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 典例引领 考向01 求圆中弦的条数 【例1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 考向02 求过圆内一点的最长弦 【例2】如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【对点2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $