专题3.2 圆的对称性（知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦“圆的对称性”核心知识点，系统梳理圆的轴对称（过圆心的直线为对称轴，无数条）与中心对称（圆心为对称中心，旋转不变性），进而构建圆心角、弧、弦的关系（同圆或等圆中一组量相等则其余量相等），并通过易错点拨（如“直径所在直线是对称轴”）搭建从概念理解到应用的学习支架。 资料以“知识梳理+考点讲练+真题演练+分层练”为框架，特色在于易错点拨培养几何直观（如区分直径与直径所在直线），典例与变式训练发展推理能力（如利用弧弦关系求解角度），中考真题与分层练习强化应用意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

专题3.2 圆的对称性 【知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆的对称性 1 知识点梳理02：圆心角、弧、弦的关系 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 2 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 5 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 25 知识点梳理01：圆的对称性 1. 圆的对称性 圆的对称轴是任意一条过圆心的直线。 【易错点拨】 ①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴； ②圆的对称轴有无数条。 2. 圆是中心对称图形 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。 知识点梳理02：圆心角、弧、弦的关系 1. 圆心角 角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。 2. 弦心距 圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦的关系： （1）定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【易错点拨】 ①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，再根据直角三角形的性质计算即可． 【规范解答】解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏南京·月考）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【规范解答】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由可得，即得，再根据邻补角的性质即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练3】（2025·陕西安康·二模）如图，已知劣弧和其所在圆的圆心，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【思路点拨】本题考查了圆心角与弧的关系、角平分线的尺规作图，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．先连接，再利用尺规作图作的角平分线，交劣弧于点即为所求． 【规范解答】解：如图，点即为所作．（作图方法不唯一） ． 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（2025·上海金山·二模）已知：矩形的对角线与以为圆心为半径的圆弧相交于点，过点作的垂线分别与直线、、交于点、、． (1)当点在边延长线上时，如图所示． ①联结，与交于点，求证：； ②若，求的比值； (2)联结，若为等腰三角形，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或1或 【思路点拨】（1）证明，得出，即可证明； ②根据，设，，那么，根据矩形的对边相等，得出，证明，求出，在中，勾股定理求出，即可求出． （2）若为等腰三角形，分为当时，可证为等边三角形，求出，即可求解；当时，可证四边形为正方形，得出，即可求解；当时，设，，可证，得出，求出，在中，勾股定理列方程得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：①四边形为矩形，， ，， 在和中， ，， ， ， 在圆中，， ； ②， 设，，那么， 矩形的对边相等， ， ∵， ∴， ， ， ， 在中，，即， ， ． （2）解：若为等腰三角形， 当时， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和， ， ， ， 又 ∵， ， 连接， 由（1）①可知， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为正方形， ， ； 当时，设，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， 在中，， ，整理得：， ， ． 综上所述，的值为或1或． 【变式训练1】（2025·河南平顶山·一模）如图，为的外接圆，，过点作交于点，过点作的切线交射线于点．连接，作射线交射线于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接并延长交于，连接，根据切线的性质得，然后证明为的中垂线，即可得，最后根据平行四边形的判定解答即可； （2）先根据“弧，弦，圆心角的关系”得，再根据垂径定理得，接下来根据勾股定理求出， 然后设的半径为，则，根据勾股定理求出，进而得，再证明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【规范解答】（1）证明：如图，连接并延长交于，连接， 与相切于点， . ，， 为的中垂线， ， . ， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， 即， ， ， . 在中，， 设的半径为，则， 在中，，解得， ． ， ， ， 即， 解得， ． 【变式训练2】（24-25九年级下·重庆江北·月考）如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆心角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到 ，，得到，求出，可证明是等边三角形，继而得到得出阴影部分的面积，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，连接， 平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 弓形面积弓形面积， 阴影部分的面积， 故选：A 【变式训练3】（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【规范解答】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 1．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 【答案】100 【思路点拨】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，连接、、．根据圆心角、弧、弦的关系证明、均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出，再由圆周角定理求出，根据“”求出即可．熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 【规范解答】解：连接、、． 是半圆的直径， ， ， ， ， 、均是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（2024·湖南岳阳·中考真题）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 【答案】相等 【思路点拨】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用等腰三角形性质和平行线性质得到，再结合弧、弦、圆心角之间的关系求解，即可解题． 【规范解答】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：相等． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，求出，根据相似三角形的判定和性质证明，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可． 【规范解答】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·广东广州·中考真题）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，圆的周长和面积，连接，过点作于点，于点，由点到直线与点到直线的距离相等得，再判断，求出，进一步可得出该圆的周长与面积之比． 【规范解答】解：连接，过点作于点，于点，如图， ， ∵， ∴， ∴, ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的周长与面积之比为， 故选：A． 5．（2024·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 基础夯实 1．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【思路点拨】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【规范解答】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了圆和扇形的面积计算. 设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可． 【规范解答】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【规范解答】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·山东威海·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了弦与圆心角的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；取的中点，连接，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，取的中点，连接， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， 即弧的度数为； 故答案为：． 8．（24-25九年级下·辽宁大连·月考）如图，在中，已知弦．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了弧、弦间的关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，相等的弦所对的弧相等；由得，则有，从而得． 【规范解答】证明：， ， ． ， ． 9．（24-25九年级下·广东茂名·月考）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【规范解答】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，熟知圆心角，弧及弦之间的关系是解题的关键， 根据圆心角，弧及弦之间的关系即可解决问题． 【规范解答】∵， 培优拔高 11．（2025·江苏泰州·三模）如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作交延长线于点，连接、，由垂直平分半径，得到，，在中利用余弦的定义推出，则有，根据点C是弧的中点，得出，解求出、的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，作交延长线于点，连接、， 垂直平分半径， ，， ， 在中，， ， 点C是弧的中点， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ． 故选：D． 12．（2025·山东聊城·三模）如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了旋转的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 连接，依题意得：，由旋转的性质得，则，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 13．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 【规范解答】解：连接，，如图： ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 【答案】13 【思路点拨】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【规范解答】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 15．（2025·天津·模拟预测）在中， 则（1）的面积最大值是 ； （2）的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】（1）过点O作于点E，延长交于点D，则，当点C与点D重合时，的面积最大，根据圆周角定理，特殊角的三角函数值解答即可； （2）解：作的垂直平分线，垂足为M，在垂直平分线上截取，则，连接，根据垂径定理的逆定理，得， 故，延长交于点F，连接，过点B作于点D，， 当最大时，取得最大值，延长交于点G，根据直径是圆的最大弦，得当点F与点G重合时，最大，此时， 故的最大值为． 本题考查三角形的外接圆、圆周角定理、等腰直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，正切函数的应用，圆的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：（1）设的外接圆为，连接， ∵ ∴ ∴ ∴， 过点O作于点E，延长交于点D， 则， ∴当点C与点D重合时，的面积最大，最大面积为 ， 故答案为：． （2）解：取的中点M，过点M作，且使得， 则， 连接，根据垂径定理的逆定理，得， 故， 延长交于点F，连接， 则， ， 过点B作于点D， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当最大时，取得最大值， 延长交于点G，根据直径是圆的最大弦，得当点F与点G重合时，最大， 此时， 故的最大值为， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·广东中山·月考）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理．作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值． 【规范解答】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：． 17．（2025·重庆巴南·二模）如图，四边形内接于，连结，为的直径，E是的中点．过点E作的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，的半径为 ． 【答案】 5 【思路点拨】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 【规范解答】解：连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为， 故答案为：5；． 18．（2025·广东广州·二模）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【规范解答】证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（24-25九年级下·上海·月考）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由四边形是菱形，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）由E为弧中点，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：为弧中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即 20．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知，都是的直径，D是上一点，若，且，请写出与相等的角． 【答案】，， 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧间的关系求得，由对顶角的定义知即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与相等的角有：，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 圆的对称性 【知识梳理+2个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共33题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆的对称性 1 知识点梳理02：圆心角、弧、弦的关系 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 2 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 4 中考真题 实战演练 5 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 9 知识点梳理01：圆的对称性 1. 圆的对称性 圆的对称轴是任意一条过圆心的直线。 【易错点拨】 ①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴； ②圆的对称轴有无数条。 2. 圆是中心对称图形 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。 知识点梳理02：圆心角、弧、弦的关系 1. 圆心角 角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。 2. 弦心距 圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦的关系： （1）定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【易错点拨】 ①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏南京·月考）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025·陕西安康·二模）如图，已知劣弧和其所在圆的圆心，请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（2025·上海金山·二模）已知：矩形的对角线与以为圆心为半径的圆弧相交于点，过点作的垂线分别与直线、、交于点、、． (1)当点在边延长线上时，如图所示． ①联结，与交于点，求证：； ②若，求的比值； (2)联结，若为等腰三角形，求的值． 【变式训练1】（2025·河南平顶山·一模）如图，为的外接圆，，过点作交于点，过点作的切线交射线于点．连接，作射线交射线于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【变式训练2】（24-25九年级下·重庆江北·月考）如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 1．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 2．（2024·湖南岳阳·中考真题）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 4．（2024·广东广州·中考真题）已知为O的直径，为圆上（异于）的一点，连接，若点到直线与点到直线的距离相等且均为，则该圆的周长与面积之比为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 基础夯实 1．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 6．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 7．（24-25九年级下·山东威海·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且，若，则弧的度数为 ． 8．（24-25九年级下·辽宁大连·月考）如图，在中，已知弦．求证：． 9．（24-25九年级下·广东茂名·月考）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 10．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图，点在上，．求证：． 培优拔高 11．（2025·江苏泰州·三模）如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 12．（2025·山东聊城·三模）如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 13．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 15．（2025·天津·模拟预测）在中， 则（1）的面积最大值是 ； （2）的最大值为 ． 16．（24-25九年级下·广东中山·月考）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 17．（2025·重庆巴南·二模）如图，四边形内接于，连结，为的直径，E是的中点．过点E作的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，的半径为 ． 18．（2025·广东广州·二模）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 19．（24-25九年级下·上海·月考）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 20．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知，都是的直径，D是上一点，若，且，请写出与相等的角． 学科网（北京）股份有限公司 $