二次函数综合解答题专题突破训练2026年九年级数学中考一轮复习

**基本信息** 以二次函数图像性质为核心，通过13道综合题系统构建"概念理解-方法应用-变式拓展"的解题体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析式与图像|5题|待定系数法、配方法|从点坐标到函数表达式，关联顶点与对称轴性质| |动点几何存在性|6题|分类讨论（等腰/直角三角形）、方程思想|以动点坐标为桥梁，建立代数关系与几何判定的模型| |面积最值|2题|二次函数最值求法、数形结合|通过线段长度表达式转化面积函数，体现模型观念|

2026年九年级数学中考一轮复习-二次函数综合解答题专题突破训练 1．如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 2．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从向运动，动点以每秒个单位长度的速度从向运动，、同时出发，连接，当点到达点时，、同时停止运动，设运动时间为秒． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，当为直角三角形时，求的值； (3)如图，过点作轴于，交抛物线于点，连接，，当为何值时，的面积最大，并求出此时点的坐标和面积的最大值． 4．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 5．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点D是该抛物线的顶点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)请在y轴上找一点E，使的周长最小，求出点E的坐标； (3)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 6．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 7．已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为点M． (1)求这条抛物线的解析式及直线的解析式； (2)P为线段上一动点（点P不与点B、M重合），过点P向x轴引垂线，垂足为Q，设的长为t，四边形的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； (3)在线段上是否存在点N，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 10．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．                       (1)直接写出，，的坐标__________，__________，__________ (2)如图1，点是抛物线第四象限上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，过原点的两条动直线分别交抛物线于点，和点，，直线与直线交于点，求线段的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 2．(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 3．(1) (2)或 (3)当时，的面积最大，此时点的坐标为，面积的最大值为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由二次函数解析式可得点的坐标是，由题意得，，由可得，过点作轴于，由锐角三角函数可得点的坐标是，再分和两种情况解答即可求解； （）利用待定系数法可得所在的直线的解析式是，设，则，可得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过、两点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式是； （2）解：∵， ∴点的坐标是， ∵经过秒，，， ∴点的坐标是， ∵， ∴， 过点作轴于， 则，， ∴， ∴点的坐标是， ①如图， 当时， 点和点的横坐标相同， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， 解得， 即当时，为直角三角形； ②如图， 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得， 即当时，为直角三角形； 综上可得，当为直角三角形，或； （3）解：设所在的直线的解析式是，把和代入得， ， 解得， ∴所在的直线的解析式是， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，， 又∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，此时点的坐标为，面积的最大值为． 4．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 5．(1) (2) (3)的值为或或1或2 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求顶点，则，则当取得最小值时，的周长最小，过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点由对称可得，根据两点间线段最短可得，再求出直线的解析式，令即可求解． （3）分，，三种情况讨论，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是； （2）解：， ∴顶点， ∴， ∴当取得最小值时，的周长最小， 过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点 由对称可得，根据两点间线段最短可得 设直线， 则代入，， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴； （3）解：对于，当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 如图： 设，， 则，， 当时，①， 解得，（舍去）， ②， 解得，（舍去）， 当时，，此时N在x轴上， ， 解得或（舍去 当时，， ， 解得或（舍去， 当是等腰三角形时，的值为或或1或2． 6．(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 7．(1)，顶点坐标为； (2)当时，求点的坐标； (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 8．(1)，； (2)； (3)存在，点或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据四边形的面积等于三角形的面积加上梯形的面积，列出函数关系式，根据点的位置，确定的范围即可； （3）分三种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点， ，解得， ∴二次函数的解析式为， ， ∴， 设直线的解析式为，则有 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵的长为t，， ∴点P的坐标为， ∴ ， ； ∵P为线段上一动点（点P不与点B、M重合）， ∴t的取值范围是． （3）存在；设， ∵， ∴，，； ①当时，，解得（舍去）． 此时； ②当时，， 解得（舍去），此时， ③当时， 解得，此时． 综上：或或． 9．(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，进而分来讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ，， 由得，，， ， ； （3）解：令， 解得或， ， 设， ∵， 则，，， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， 解得， 或； 当时，则， ， 解得， 或； 综上，坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 10．(1)， (2)， (3)存在，或或或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标可得； （3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ，解得， ，则； （2）解：如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； （3）解：设，、， ，，， 当时，，即解得； 当时，，即解得； 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或． 11．(1)抛物线的解析式为 (2)四边形面积的最大值为，P的坐标是 (3)Q的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，勾股逆定理的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）设，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，连接，设，根据四边形面积列出二次函数表达式，再根据二次函数性质求出最值及坐标即可； （3）设，有，分三种情况：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，分别列方程解得t的值，即可求出相应Q的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， 设，把代入得： ， 解得：， ∴， 则抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图： 设， 在中，令得， 令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积， ， ， ∴当时，四边形面积最大为， ∴当时，， ∴P的坐标是； （3）解：在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得是直角三角形，理由如下： 如下图， 由抛物线的对称轴为直线，设， ∵， ∴， 当为斜边时，， ∴， 解得或， ∴此时Q坐标为或； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或或． 12．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 13．(1)；； (2) (3) 【分析】（1）分别求得当和时对应的x的值和y的值，即可解答； （2）设交于点，过点作于，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，令，那么，可知为等腰直角三角形，然后证明，得到，接着求得直线的表达式，代入，即可求得，得到的坐标，然后利用待定系数法求得直线的表达式，联立抛物线与直线即可求得点坐标； （3）不妨设，，，，设直线为：，联立，得到，同理可得，然后用待定系数法求得直线为，直线为，联立得到点 ，推出点在上运动，那么当与垂直时，最短，设交轴于点，交轴于点，然后用面积法求得即可． 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设交于点，过点作于，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，如图所示： 令，那么， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为，代入， 得到，解得， 直线的表达式为， ，都在直线上， ， ， 设直线为，代入， 得到，解得， 直线的表达式为， 联立，解得或， 在第四象限， ； （3）解：不妨设，，，， 设直线为：，联立，得到， 整理得， ， 同理可得， 设直线为代入，， ， ， 直线为， 同理可得直线为， 联立直线与直线，可得， ， ， ， ， ， ， 点在上运动， 当与垂直时，最短， 如图所示，交轴于点，交轴于点， 当时，；当时，； ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与一次函数综合，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $