2026年九年级数学中考一轮复习一次函数与几何综合解答题专题突破训练

2026年九年级数学中考一轮复习 一次函数与几何综合解答题专题突破训练 1．如图，已知直线：与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)若点P在直线上，且，求点P的横坐标． (2)根据图象，求出当时，x的取值范围是什么？ 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线和直线的函数表达式； (2)已知为直线上一点，过点作轴的平行线交直线于点．当时，求点的坐标 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移m个单位，分别与x轴，y轴交于C，D两点，E点为线段的中点； ①若，求m，并用尺规作出此时的直线（不写作图步骤，保留作图痕迹）； ②当时，在线段上找一点M，射线交直线于N，若 为等腰三角形，求M 点的坐标． 4．如图平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，将沿直线折叠，使得边落在上，点与点重合．    (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，一次函数的图象与轴，轴分别相交于点和点，点在第二象限且满足，直线交x轴于点． (1)求一次函数的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)点为轴上一点，且以B，D，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点坐标． 6．如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)求点A的坐标； (3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标； (4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标． 7．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数的表达式． (2)点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． (1)若，则的取值范围为 ； (2)求的面积； (3)已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，平面直角坐标系中，点，点，点A的坐标为，点是直线上位于第一象限的一个动点． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为3，求此时点P的坐标． 10．如图，直线分别交轴、轴于点，直线经过点交轴于点. (1)求点的坐标； (2)求的面积： (3)点在内部及边上（与三点不重合），且点的横纵坐标都为整数，请直接写出符合条件的点坐标. 11．如图，一次函数的图象经过点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)直线交轴于点，在轴上是否存在点，使得的和最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接，点是线段上的一动点，直线过两点． (1)求所在直线的解析式； (2)若点的横坐标为1，直线上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长． 13．如图，直线和直线与轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与轴相交于点； (1)A点的坐标是 ；B点的坐标是 (2)求出直线的函数表达式； (3)是轴上一点，若，求点的坐标． 14．如图，已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求点的坐标及直线的函数关系式； (2)若点在线段上，过点作轴的平行线，交直线于点交直线于点． ①如图，当点在线段上时，的面积为，求与之间的函数关系式； ②连接，若，求点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点． 【问题初探】 (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ． (2)若是直线上一点，求直线的函数表达式． (3)【应用探究】在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积的一半？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (4)【拓展延伸】E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B落在x轴上，请直接写出点E的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年九年级数学中考一轮复习一次函数与几何综合解答题专题突破训练》参考答案 1．(1)点P的横坐标为6或2 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据三角形的面积求点的坐标，一次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）先根据函数解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，设，根据三角形面积关系列出方程，然后进行求解即可； （2）联立解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∴； 设， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的横坐标为6或2； （2）解：联立解析式得， 解得：， ， 由图象得：时，直线：的图象在直线：的图象上方， ∴． 2．(1)直线表达式为，直线表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数的解析式，一次函数和几何图形结合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点的横坐标为，则，，分两种情况进行讨论，根据线段的长度列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得， ∴直线表达式为， ∵当时，， 点坐标为， 把点代入得， 即， ∴直线表达式为； （2）解：设点的横坐标为，则， ①当点在点右侧时，， 解得， 坐标为； ②当点在点左侧时，， 解得， ， 坐标为， 综合以上，点的坐标为或. 3．(1) (2)①，作图见解析；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①连接，由平移的性质可得点到直线的距离等于点到直线的距离，进而得到，由题意得，求出，进而得到，在轴上取点（点在点右侧），在轴上方作，作直线交轴于点即可；再设直线的解析为，代入即可求出的值； ②求出直线的解析式为，再求出，，由中点坐标求出，设，利用勾股定理求出，再根据平行线的性质可得，由对顶角相等得到， 为等腰三角形，分三种情况，对应得到三种情况，再将其转化为，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①连接， 由平移的性质可得点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 在轴上取点（点在点右侧），在轴上方作，再作直线交轴于点； 设直线的解析为，则， 解得； ②当时，则直线向下平移16个单位， ∴直线的解析式为， 将代入，则，令，解得， ∴，， ∵E点为线段的中点， ∴，即， 设， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∵， 为等腰三角形， ∴分三种情况， 当时，，则， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴（舍去，此时点不在线段上）或， 则点坐标为； 当时， 同理，得，即， ∴， ∴， 则点坐标为； 当时， 同理，得，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴（此时，点重合，，舍去）或， 则点坐标为； 综上，为等腰三角形时，M 点的坐标为或或． 【点睛】本题综合考查了一次函数的几何变换、一次函数的平移、平行线间距离、三角形面积、中点坐标、等腰三角形的性质、勾股定理、平方根的定义解方程，涉及代数与几何的紧密结合，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 4．(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，等腰三角形的定义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质； （1）根据勾股定理求得，根据折叠的性质，求得，再利用含度角的直角三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，进一步用待定系数法求出一次函数的解析式．过作于．由折叠可知．再由，得到， ，从而可求出的坐标； （2）设．可求得 ， ．然后分三种情况讨论：①以为圆心，为半径作圆与轴交于点；②以为圆心，为半径作圆与轴交于点；③设线段的垂直平分线交轴于． 【详解】（1）解： ， ， 沿折叠、重合， ， ，设，则， ，即，， 设代入得：， 解得：， 直线的解析式是：； 过作于．   沿折叠、重合， ． ， ，， ， ， ， ， 的坐标是： ； （2）设． ， ， ．分三种情况讨论： ①以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则 ， 或； ②以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则 ． ， 与重合， ； ③设线段的垂直平分线交轴于，则， ， 解得：， ．    综上所述：P的坐标为：或或或． 5．(1) (2)点的坐标，点的坐标 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点和点代入中进行求解即可； （2）过C作轴于E，先利用证明，则可求出C点坐标，设直线的解析式为，将和代入其中，即可求出解析式，即可求出点的坐标； （3）设，根据题意可求出，再分为当时或当时或当时三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数过点和点， ∴， 解得 ∴一次函数表达式为：； （2）解：如图，过C作轴于E， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴E点横坐标为，C点坐标为． ∴直线过和， 设直线的解析式为， 将和代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴； （3）解：设， 由题意得，， 当时，如图， ∴ 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图， ∴ 解得或， ∴或； 当时，如图， 解得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或或或． 6．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）联立直线的函数表达式解方程组即可求解； （3）当为直角三角形有两种情况，讨论如下：①时，由翻折可得，，过点作于点，则为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质求解；②时，即轴，则，由翻折可得，，，那么，设，则，，再对运用勾股定理建立方程求解； （3）分两种情况讨论，添加辅助线构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵直线与直线交于点A， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵直线与 x轴交于点C． ∴当，则， 解得， ∴ 当为直角三角形有两种情况，讨论如下： ①时，如图， ∴， 由翻折可得， 过点作于点，则为等腰直角三角形， ∵ ， ∴点的坐标为； ②时，即轴，如图， ∵， ∴， 由翻折可得，，， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上：点的坐标为或； （4）解：设 ①当点M在第二象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图： 则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， ∴； ②当点M在第一象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图： ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求解函数解析式，勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点． 7．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据直角三角形确定点的坐标，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）分两种情况进行讨论，根据直角三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：①当时， 点在一次函数图象上． 解得， ， 且是轴上的动点， ； ②当时， 过点作，垂足为， 由（1）得则，， 设，则， 由勾股定理得，， ， ，由勾股定理得， ， 解得， ， ； 综上，点的坐标为或． 8．(1) (2)12 (3)存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答． （1）根据交点结合图象即可求解； （2）根据题意确定，，利用待定系数法确定，得出，结合图象求面积即可； （3）设点，则，，，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由图象得：当时，的图象在的图象的下方， ∴当，的取值范围为． 故答案为：． （2）解：的横坐标为4，且在上， 代入得：； 当时，得， ∴，． 在上， ∴，解得． ∴． 当时，得， ∴． ． ． （3）解：存在点，使的两条直角边之比为． 如图， 根据题意设点，则，． ∴，． 分两种情况： ①当时， 依题意得：，解得． ∴点． ②当时， 依题意得：，解得． ∴点． 综上所述，存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或． 9．(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与几何，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意设，因为的面积为3，所以，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将，代入得： ， 解得 ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点是直线上位于第一象限的一个动点， ∴设， ∵的面积为3， ∴， ， 当时，， ∴． 10．(1)，， (2) (3)，，， 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，待定系数法求解函数解析式，一次函数与几何综合，直线与坐标轴围成的三角形面积问题等知识点． （1）先根据直线与坐标轴的交点坐标求解方法求解得到点坐标，再由待定系数法求出直线函数表达式，即可求解点坐标； （2）根据三角形面积公式即可求解； （3）画出函数图象以及正方形网格即可判断． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于点， ∴当；当时，，解得， ∴，， ∵直线经过点 ∴将点代入，则， ∴， 当，则 解得， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∴的面积为 （3）解：在坐标系中画出函数图象，以及正方形网格，如图： 由图象可得点，，符合题意， 把代入得， ∴点在直线上，故符合题意， ∴符合条件的点坐标有，，，． 11．(1) (2)4 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数： （1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，利用求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为的和最小时的位置，求出的解析式，令y为0求出P即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 将代入， 得， ， ； （2）解：连接， 当时，， 当时，， ∴， ， ； （3）解：当时，， 作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点， 则点即为的和最小时的位置， 设，将代入，得， ， ． 当时，， ， ． 12．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先由求出，设直线解析式为，代入B、C坐标，解方程组得解析式． （2）先求D点坐标，用待定系数法得解析式；设直线交轴于点，易得均为等腰直角三角形，且，即有点到直线的距离为，然后分E点的横坐标小于1和E点的横坐标大于1两种情况，分别求解即可； （3）设，由翻折得；分（利用三点共线）、（利用平行与勾股）两种情况，列方程求解a． 【详解】（1）把代入，得， ∴点B的坐标为， 设B,C所在直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴B,C所在直线的解析式为； （2）存在点E，使得点E到直线的距离为，理由如下： 把代入，得， ∴点D的坐标为， 设直线，代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线交轴于点，如下图， 由（1）可知，直线解析式为， 令，可得，解得，即， 对于直线，令，可得， 解得，即， 又∵，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴点到直线的距离为， ①当E点的横坐标小于1时，作直线，如图， 设直线解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线解析式和直线解析式， 可得，解得， ∴点坐标为； ②当E点的横坐标大于1时，与关于点D对称， ∴的坐标为； 综上所述：点E的坐标为或； （3）①当时，如图， ∵， ∴， ∴C、M、A三点共线． ∵，，， ∴，，， 设，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即； ②当时，如图，过点M作交Q点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得， 即； 综上所述：的长为或． 【点睛】考查知识点为一次函数解析式求解； 一次函数解析式、点到直线的距离、对称点性质；翻折性质、直角三角形分类讨论、勾股定理． 13．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求函数解析式、一次函数与几何的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，即，易得，再结合点B的位置即可确定点B的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）先联立两直线解析式可求得，再根据可得，再分点E在点B的右侧和左侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴相交于点A， ∴当时，， ∴，即 ∵， ∴，即， 故答案为：，． （2）解：设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为． （3）解：联立方程组，解得， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴当点E在点B的右侧时，；当点E在点B的左侧时，； ∴或． 14．(1)直线的函数解析式为 (2)①（）；②点的坐标为或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． （1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论；②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，当时，利用勾股定理建立方程，求解该方程即可． 【详解】（1）解：由，令，得， ∴， 由得，解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：①∵点，则点，点， 过点作于点，则，如下图所示： 则, 又∵， ∴的面积为， 则（）． ②如图，当点在轴的左侧时，如下图所示： ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则, ∴， ， ， ∴，得， 解得， ∴； 当点在轴的右侧时， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则, ∴， ， ， ∴，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 15．(1)， (2) (3)存在，点D的坐标为或 (4)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）求出时，y的值，可得点B的坐标，求出时，x的值，可得点A的坐标；（2）先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （3求出，进而得到，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积的一半，列出方程求解即可； （4）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴点，， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一点， ∴， 解得， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式是． （3）解：由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 解得或， 当时，， 当时， ∴点D的坐标为或； （4）解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴的负半轴上时， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 综上所述，点E的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $