17.1 平行四边形的性质 分层练习2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 分层练习 利用平行四边形的对边平行且相等求解 1已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　) A. 4 B. 12 C. 24 D. 28 2如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3 如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________． 4如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________. 利用平行四边形的对边平行且相等证明 1如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 2题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等． 已知：如图，四边形是平行四边形． 求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． 其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　） A.， B.， C.， D.， 3如图，在▱中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（    ） ①≌；②；③是等边三角形；④． A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④ 4如图，，四边形是平行四边形，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“      ”（答案不唯一）． 5如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 6 如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF. 利用平行四边形的对角相等求解 1如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D＝110°，则∠B的度数为（　　） A.45° B.55° C.65° D.70° 2如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 3在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　） A.36° B.108° C.72° D.60° 4如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 5如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 6如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D、∠BAD的度数． 利用平行四边形的对角相等证明 1如图，四边形ABCD为平行四边形，若将△ACB沿对角线AC翻折得到△ACE，连接ED，则图中与∠CAD度数一定相等（除∠CAD外）的角的个数有（　　） A.2个 B.4个 C.5个 D.7个 2如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3如图，四边形是平行四边形，点在上．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，．求证：． 4如图，在中，点、分别在、的延长线上，且，分别与、交于点、，求证：． 求平行线间的距离 1已知直线mn，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离（    ） A.只有 B.只有 C.和均可 D.和均可 2如图，，，的面积为，则四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 3如图，在中，，，，则与间的距离为（    ） A.5 B.10 C. D.26 4如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为      ． 5如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 6如图所示，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E在直线AD上，点F，H，G在直线BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D＝110°，线段EH的长是不是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？ 利用平行线间的距离解决问题 1如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积是（    ） A.15 B.20 C.25 D.30 3如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 4如图，的面积为18，点E在上，点F，G在上，则图中阴影部分的面积为      ． 5如图，在中，按下列要求画图并填空： (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 利用平行四边形的对角线互相平分求解 1如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（    ） A. B. C. D. 2如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（    ） A.3 B.4 C.5 D.6 3如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为          ． 4如图，在平行四边形中，，，，则的长为        ． 5如图，的对角线交于点O，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 6综合与实践： 如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，． (1)请判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，，求四边形的周长； (3)若，，，，请直接写出的长． 利用平行四边形的对角线互相平分证明 1证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A. B. C. D. 2平行四边形中，对角线、交于点（如图），则图中全等三角形的对数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 3如图，点O是对角线的交点，过点O分别交于点E，F，则下列结论不成立的是        ．（填序号） ①；②；③；④ 4以下是华师版八年级下册数学教材第78页的部分内容： 例6：如图平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F．求证：． (1)请你写出完整的证明过程； (2)连接，若，的周长是5，则平行四边形的周长是__________． 5[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． [性质应用]如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点． 求证：． [拓展提升]在[性质应用]的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________． 华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 分层练习（参考答案） 1利用平行四边形的对边平行且相等求解 1已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　) A. 4 B. 12 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵平行四边形ABCD的周长是32， ∴2(AB＋BC)＝32， ∴BC＝12. 故选B. 2如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC，则∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝6， 同理可证：DE＝DC＝6， ∵EF＝AF＋DE－AD＝2，即6＋6－AD＝2，解得AD＝10， 故选B. 3 如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________． 【答案】24 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°； ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠DPA， ∴∠DAP＝∠DPA， ∴△ADP是等腰三角形， ∴AD＝DP＝5， 同理：PC＝CB＝5， 即AB＝DC＝DP＋PC＝10， 在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8， ∴BP＝＝6， ∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24. 4如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________. 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠GCE＝∠B＝60°， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE＝2， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥DG， ∴∠G＝90°， ∴CG＝CE＝1， ∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4， ∴DE＝＝＝. 2利用平行四边形的对边平行且相等证明 1如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由作图的痕迹得AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，CD∥AB， ∴∠BAE=∠DEA， ∴∠DEA=∠DAE， ∴DA=DE，所以B选项不符合题意， ∴CD=DE，所以D选项不符合题意， 不能确定DE=BE，所以C选项符合题意． 故选：C． 2题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等． 已知：如图，四边形是平行四边形． 求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． 其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴在“”处应补充的步骤依次是，． 故选：D． 3如图，在▱中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（    ） ①≌；②；③是等边三角形；④． A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】、是等边三角形， ，， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ≌，故正确； ， ， ，故正确； 同理可得：， ， ≌， ， ， ， ， 是等边三角形，故正确； 在等边三角形中， 等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段， 如果，则是的中点，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误． 故选：B． 4如图，，四边形是平行四边形，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“      ”（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一，，，，） 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴，则， 在中，， ∴ , ∵， ∴， 在与中，， ∴ , 在与中，， ∴ , 在与中，， ∴ , 在与中，， ∴ , 故答案为：（答案不唯一，，，，）． 5如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC， ∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE， ∴∆DME≅∆BNE， ∴DM=BN， ∴AM=CN，故①正确； 由图可得：BM>AB≠AD=BC， 故②错误； 连接AE、CE， 四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE， ∴∆ADE≅∆CBE， ∴AE=CE，∠AED=∠CEB， 点A、E、C三点共线，故③正确； 如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点， ∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点， ∴DQ=2EP， ， ， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 6 如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF. 【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△DCF中，BA=DC, ∠ABE＝∠CDF，BE＝DF， ∴△ABE≌△DCF(SAS)， ∴∠BAE＝∠DCF. 3利用平行四边形的对角相等求解 1如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D＝110°，则∠B的度数为（　　） A.45° B.55° C.65° D.70° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠B+∠D＝110°， ∴∠B＝∠D＝55°， 故选：B． 2如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　） A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【解析】∵平行四边形ABCD， ∴BA＝CD，AD∥BC， ∵BA＝BD， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝70°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°， 故选：B． 3在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　） A.36° B.108° C.72° D.60° 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：2：3， 设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x＝360°， 解得x＝36° 则∠D＝108°． 故选：B． 4如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 【答案】23° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝67°， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝67°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝90°－67°＝23°. 5如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠F＝62°， ∵AB＝BE， ∴∠AEB＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝180°－2×62°＝56°， ∴∠D＝56°. 6如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D、∠BAD的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， ∵EA平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝∠AEB， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°. 4利用平行四边形的对角相等证明 1如图，四边形ABCD为平行四边形，若将△ACB沿对角线AC翻折得到△ACE，连接ED，则图中与∠CAD度数一定相等（除∠CAD外）的角的个数有（　　） A.2个 B.4个 C.5个 D.7个 【答案】B 【解析】设AD与CE交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠ODC，，BC=AD， ∴∠CAD=∠ACB， 由折叠的性质可得：AE=AB，∠B=∠AEO，BC=CE， ∴AE=CD，∠AEO=∠CDO，AD=CE， 又∵∠AOE=∠COD， ∴△AOE≌△COD（AAS）， ∴OD=OE， ∴OA=OC， ∴∠CAD=∠ACO，∠OED=∠ODE， ∵∠AOC=∠EOD， ∴∠OED+∠ODE=∠OAC+∠OCA， ∴∠CAD=∠ACO=∠OED=∠ODE， ∴与∠CAD度数一定相等的角的个数为4个， 故选B． 2如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BH， ∴AB=CD=BH，∠A=∠C， ∵DE⊥BC于E，BF⊥CD于F， ∴∠C+∠CBF=∠C+∠CDE=90°， ∴∠CBF=∠CDE， 在△BEH和△DEC中， ∴△BEH≌△DEC， ∴∠BHE=∠C， ∴∠A=∠BHE；所以①正确； ∵△BEH≌△DEC， ∴BE=DE， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BD=BE，∠BEH=∠BDE=45°，所以②③正确； ∵∠BHD=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE， ∵∠BDE＞∠EBH， ∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误； 综上，①②③正确． 故选：C． 3如图，四边形是平行四边形，点在上．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，．求证：． 【答案】证明：根据题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ． 4如图，在中，点、分别在、的延长线上，且，分别与、交于点、，求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ∴， 在和中， , ， ． 5求平行线间的距离 1已知直线mn，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离（    ） A.只有 B.只有 C.和均可 D.和均可 【答案】C 【解析】从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离， 线段和都可以示直线与之间的距离， 故选：C． 2如图，，，的面积为，则四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：B． 3如图，在中，，，，则与间的距离为（    ） A.5 B.10 C. D.26 【答案】B 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴，与互相平分， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故与间的距离为10； 故选：B． 4如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为      ． 【答案】3 【解析】作PM⊥AB于M， ∵AB//CD， ∴PM的长就是两平行线间的距离， ∵三角形PAB的面积为6，AB=4， ∴AB•PM=6，即×4PM＝6， ∴PM=3． 故答案为：3． 5如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 【答案】解：（1）∵， ∴∠BAC=90°， ∵∠1=58°， ∴∠ABC=90°-58°=32°, ∵, ∴∠2=∠ABC=32°． （2）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 所以线段AD的长度等于a与b之间的距离， 因为AB⊥AC， 所以AB·AC=BC·AD， 所以AD= ， 所以a与b的距离为． 6如图所示，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E在直线AD上，点F，H，G在直线BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D＝110°，线段EH的长是不是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？ 【答案】解：是． 理由：因为AB∥EF， 所以∠A＝∠FED＝110°. 因为CD∥EG，所以∠D＝∠AEG＝110°， 所以∠AEF＝∠DEG. 因为EH平分∠FEG， 所以∠FEH＝∠GEH， 所以∠FEH＋∠AEF＝∠GEH＋∠DEG， 即∠AEH＝∠DEH. 而∠AEH＋∠DEH＝180°， 所以∠AEH＝∠DEH＝90°， 所以EH⊥AD， 所以EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离． 6利用平行线间的距离解决问题 1如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】∵，，，， ∴四边形和四边形均为平行四边形， ∴，，，， ∴向右平移即可得到， ∴， ∵平行四边形和平行四边形有公共边和公共的高， ∴， ∴① ② ③ ④都正确， 故选：A． 2如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积是（    ） A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】B 【解析】如图连接， 由平移的性质可得三角形的面积等于三角形的面积， 由平移的定义可得平移距离，， ∴， 由可得、间的距离相等， ∴三角形、三角形和三角形等高， ∴三角形的面积等于三角形的面积，三角形的面积等于2倍三角形的面积， ∵四边形的面积=三角形的面积+三角形的面积+三角形的面积， ∴四边形的面积， 故选：B． 3如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】过点A作于D点E，如图所示． 因为， 所以， ， 所以， 所以， 所以， 即． 4如图，的面积为18，点E在上，点F，G在上，则图中阴影部分的面积为      ． 【答案】9 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， 设和之间的距离是h，则， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为9， 故答案为：9． 5如图，在中，按下列要求画图并填空： (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点E即为所求； （3）∵，， ∴点到直线的距离为4； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7利用平行四边形的对角线互相平分求解 1如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵． ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴A不符合题意， 故选：A． 2如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（    ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 故选：A． 3如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为          ． 【答案】 【解析】连接， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，又， ∴垂直平分线， ∴，又， ∴，则， ∴，则， 在中，， ∴， 故答案为：． 4如图，在平行四边形中，，，，则的长为        ． 【答案】5 【解析】∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：5． 5如图，的对角线交于点O，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴设． ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴. （2）∵四边形是平行四边形， ∴. 6综合与实践： 如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，． (1)请判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，，求四边形的周长； (3)若，，，，请直接写出的长． 【答案】解：（1），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ，，， ， ． （2）， ， ， 又， 四边形的周长． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴. 8利用平行四边形的对角线互相平分证明 1证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：． 2平行四边形中，对角线、交于点（如图），则图中全等三角形的对数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ，，，， 在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 所以图中全等三角形的对数共有4对， 故选：C． 3如图，点O是对角线的交点，过点O分别交于点E，F，则下列结论不成立的是        ．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【解析】∵点O是对角线的交点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，①成立； ∴，但不一定得出， 则不一定等于，②不一定成立； 若，则， 由题意无法明确推出此结论，③不一定成立； 由 得，但不一定得出， 则不一定等于，④不一定成立； 故答案为：②③④． 4以下是华师版八年级下册数学教材第78页的部分内容： 例6：如图平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F．求证：． (1)请你写出完整的证明过程； (2)连接，若，的周长是5，则平行四边形的周长是__________． 【答案】（1）证明：∵为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵的周长是5， ∴，即， ∴平行四边形的周长是10， 故答案为：10． 5[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． [性质应用]如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点． 求证：． [拓展提升]在[性质应用]的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________． 【答案】解：[教材呈现] 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ，； 性质应用 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ； [拓展提升] 如图2，， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 的周长， 四边形是平行四边形， ，， ▱的周长， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $