吉林通榆县第一中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二下学期期中数学试卷，聚焦排列组合、导数应用等核心知识，通过演讲比赛站位、航天科学家分配等现实情境，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，层次分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|二项式定理、排列组合、导数应用|演讲比赛站位（题2）考查分步计数，体现数学应用| |多选题|3|导数图像、排列组合、数列|导数图像分析（题9）培养几何直观与推理意识| |填空题|3|计数原理、二项式定理|3名学生报兴趣小组（题12）考查分类讨论思想| |解答题|5|数列综合、函数极值与证明|导数极值讨论（题17）到零点证明（题19），分层提升逻辑推理能力|

通榆一中2024级高二下学期期中考试 数学学科 一、单选题 1．的展开式中含的项的系数为，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 3．从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（    ） A．66 B．60 C．90 D．96 4．已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 8．已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ） A．函数的图象在处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．当时，函数取得极值 D．当时，函数取得极值 10．下列说法正确的是（   ） A．已知，则x的取值为6或7. B．除以8的余数为1 C．由1，1，1，2，3，4这六个数字组成的不同六位数共有120个 D．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有35种不同放法 11．已知数列满足，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前9项和为 三、填空题 12．若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有__________ 种. 13．的展开式中含的项为____. 14．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 四、解答题 15．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． (1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ (3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 16．已知等差数列满足，；等比数列的前3项和为7，前6项和为63. (1)求和的通项公式； (2)若，求的前n项和. 17．已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 18．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 19.已知函数，若有三个实数解，且 (1) 求实数a的取值范围。 (2) 求证： ① ② 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下数学期中考试答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B A B C BC ACD 题号 11 答案 ACD 3．B【详解】若个位数为0，此时一定为偶数，没有重复数字的偶数有个； 若个位数不为0，则第一步先确定个位数，必须为2或4，共种， 其次确定千位数，千位数不能为0，则必须从剩余的一个偶数以及1、3中选，共种，最后从剩余的三个数字中选两个组成有顺序的十位数和百位数，共种，一共有个，所以没有重复数字的四位数为偶数的情况共有个． 4．D【详解】令，则， 所以在上单调递减，因为，所以， 不等式可变形为，即，可得，故选：D. 5．B∴在上单调递减，恒成立，即恒成立，又，所以．故选：B. 6．A【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以时，单调递增，即，而时，， 由题意可知，所以，即.故选：A 7．B【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法；所以不同的安排方式有种；故选：B. 8．C【详解】由题得，故当时，，不符合题意． 当时，令，得，若，则；若．则．由题知必有，故．因为，所以．则A，B正确． 由和知，因为， 所以等号两边取对数得，即， 由对数平均不等式知，即．则C错误． 构造函数． 则，所以单调递增，故，即． 由知， 所以， 因为在上单调递增，所以．则D正确． 故选：C． 10．ACD【详解】对于A，由组合数的性质得或者，得或，故A正确， 对于B，因为， 所以除以8的余数为，故B错误； 对于C，由这六个数字组成的不同六位数共有，故C正确， 对于D，将个相同小球放入个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，有种不同放法，故D正确.故选：ACD 11．ACD【详解】对于选项A：因为， 当时，； 当时，则， 两式相减可得，即； 且符合上式，所以，故A正确； 对于选项B：因为，可知数列为等差数列， 所以的前项和为，故B错误 对于选项C：因为， 所以的前100项和为，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前9项和为，故D正确. 12．64【详解】由分步乘法计数原理，得不同的报名方式有（种）. 13．【详解】可看成6个相乘，的展开式中含的项有以下三种情况：①个多项式取，个多项式取乘积得到，即；②个多项式取，个多项式取，个多项式取乘积得到，即；③个多项式取，个多项式取乘积得到，即；综上所述，的展开式中含的项为. 14．【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去.综上，实数a的取值范围为.故答案为：. 15．【详解】（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法； （2）若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法； （3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式， 若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式. 16．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得. 所以； 设等比数列的公比为， 若，则，显然无解，所以. 所以，所以，解得，所以. 所以. 综上的通项公式为，的通项公式为. （2）设数列的前n项和为，则.因为， ，所以. 即的前n项和为. 17．【详解】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增，； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 18．(1)；【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 19.【详解】（1）令，可得.设，则函数的图象与有三个交点.当时，， 则.则函数在区间上单调递减； 当时，，则.当时，；当时，，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则当时，，当时，，要使直线与函数的图象有三个交点，需使. 即实数的取值范围为. （2）①由（1）可知.设， 则，当时， 因，则，故在区间上单调递增， 故，即，则. 又，故.因， 由（1）知在区间上单调递减，则，即. ②过点和的直线的方程为，由图知直线即为曲线的割线.当时，，则函数的图象总在直线上方. 过点且与函数的图象相切的直线的方程为.当时，，则函数的图象总在直线上方，如图所示.设直线与直线的交点横坐标分别为，则可知，故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高二下数学期中考试答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可回 (正面上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚囚■ ■ ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 6I 请勿在此区域作答或 者做任何标记 ■