精品解析：北京市第四中学顺义分校2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷

北京市第四中学顺义分校2025-2026学年度第二学期 高二数学期中试卷 出题人：吴建霞；指导教师：纪荣强（北京四中） 一､选择题（每小题4分，本题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上） 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数及组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 2. 数列满足且，则的值是（ ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系，判断数列是公差为的等差数列，结合等差数列通项公式求结论. 【详解】根据题意，由于， 可知数列是公差为的等差数列， 又， 所以数列的通项公式为， 所以， 故选：C． 3. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，即可求出第二次取到红球的概率． 【详解】解：依题意，第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球， 所以第二次取到红球的概率是：． 故选：B． 【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件的个数是关键，属于基础题． 4. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. -60 B. 60 C. -30 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出二项展开式的通项公式，再令x的指数为4求解. 【详解】∵二项式的展开式的通项公式为：； 令可得：； 故选：B. 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题. 5. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 A. 16种 B. 36种 C. 42种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【详解】解：某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况， 一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有=36种方案， 二是在三个城市各投资1个项目，有=24种方案， 共计有60种方案 6. 设若，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先求解出的值，然后根据二项式系数和求解出的值，从而确定出二项式系数的最大值及其对应的项. 【详解】由题可知，， 当时，， 的展开式中，通项为：， 则常数项对应的系数为：，即，得， 所以，解得：， 则展开式中二项式系数最大为：， 则二项式系数最大的项为： 故选：C． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于的值的求解以及二项式系数最大值的确定；注意：当时，二项式系数是递增的，当时，二项式系数是递减的；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 7. 若随机变量，则（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6 【答案】C 【解析】 【分析】由，求出，进而由线性关系计算出. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 8. 国古代典籍《周易》又称《易经》，分为经部和传部，其中经部之原名就为《周易》，是用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yao）组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻与阴爻，则共有26种情况；一重卦恰有2个阳爻，则有种情况，进而可求得概率. 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有2个阳爻情况有，所以该重卦恰有2个阳爻的概率为. 故选：D. 9. 已知无穷等差数列前项和为，若，则“有最大值”是“公差”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析. 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的函数，若有最大值，则，满足充分性； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：C. 10. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 二､填空题（每小题5分，本题共25分，把答案写在答题卡上） 11. 等差数列－2，1，4，……的前10项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出等差数列的首项与公差，利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】等差数列－2，1，4，……的首项公差 则该数列的前10项和， 故答案为： 12. 已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】根据给定条件的递推公式依次计算求出；再利用累加法求出通项公式即可求解. 【详解】数列满足，由，得； 当时， ， 所以当时，取得最小值. 故答案为：；8 13. 已知，，随机变量的分布列如下： p q P q p 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据表格里的内容得到，然后利用期望公式求出的值，进而可求出结果. 【详解】根据表格可知①. 因为，所以. 将①平方得：. 所以. 故答案为：. 14. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可. 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 15. 记数列满足：为的前项和，则下列正确结论的序号是__________. ① ② ③若为奇数，则 ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由数列的递推公式，逐项计算判断①；由求解判断②；利用并项求和及等差数列前项和公式求解判断③；由为奇数可得，再求得即可判断④. 【详解】对于①，当时，，由，得；当时，，则，①正确； 对于②，当时，得，则，②错误； 对于③，当为奇数时， ，③正确； 对于④，当为奇数，，，两式作差，可得， 由，得，，，，…，则，， 当时，，因此，④正确. 故选：①③④ 三､解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把过程写在答题卡上） 16. 已知是等差数列，，. （1）求的通项公式； （2）设的前项和，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用题中等式建立、的方程组，求出、的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式； （2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，， 数列的通项为； （2）数列的前项和， 由，化简得，即，. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求解，考查等差数列的前项和公式，常用的方法就是利用首项和公差建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题. 17. 一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同 （1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，1个白球的概率； （2）采用放回抽样，每次随机抽取一球，连续取3次，求至少有1次取到红球的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式及互斥事件求和公式即得； （2）根据古典概型概率公式及对立事件概率公式即得. 【小问1详解】 不放回的先后取两次，第一次有6种不同的取法，第二次有5种不同的取法，所以一共有种不同的取法种数， 若恰第一次取红球，第二次取白球共有种，若第一次取白球，第二次取红球，共有4×2=8种， 所以恰好取到一个红球的种数为16种， 所以恰好取到1个红球，1个白球的概率为 ； 【小问2详解】 若放回抽取，每次取一球，连续3次，则不同的取法种数为种， 若3次都取到白球，共有种， 所以根据对立事件概率公式可知，至少有1次取得红球的概率为. 18. 已知数列的前项和为. （1）写出数列的前3项：，，； （2）当取最小值时，求的值； （3）求出的通项公式. 【答案】（1）,, （2）当或时，取最小值. （3） 【解析】 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【小问1详解】 ，， . 【小问2详解】 ， 故当或时，取最小值. 【小问3详解】 当时，， 故. 19. 毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具.已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时.这件作品才算制作成功， （1）求小萌同学制作一件作品成功的概率； （2）若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立.设其中成功的作品数为.求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得出；（2）先确定，写出的可能值，再求出对应的概率即可作答. 【小问1详解】 根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学学制作一作品成功的概率 为：. 【小问2详解】 根据题意知，的可能值为：显然，则 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望： 20. 设是等差数列的前项和，，______. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最值. 从①②③中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 【答案】（1）； （2）最大值为35，无最小值. 【解析】 【分析】（1）选择条件①，列出关于公差，首项的方程组求解；选择条件②，由定义求出公差，进而求出通项公式；选择条件③，利用前项和公式，结合性质求出，进而求出公差即可. （2）由（1）确定数列的单调性，再求出前项和最大值. 【小问1详解】 选①：，设等差数列的公差，依题意，，解得， 所以数列的通项公式. 选②：，则等差数列的公差， 所以数列的通项公式. 选③：，则，即，而， 解得，等差数列的公差， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知，，公差，数列是递减等差数列，且首项， 由，得，由，得，即数列前5项都为正，从第6项起为负， 因此数列前5项和最大，， 所以数列的前项和的最大值为35，无最小值. 21. 2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图： （1）从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率； （2）从2020年7月至12月中随机选取4个月，记为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求的分布列及数学期望； （3）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨．当为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）4.4 【解析】 【分析】（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件，推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率． （2）的所有可能取值为1，2，3，利用超几何概率公式求出概率得到分布列，然后求解期望即可． （3）根据方差的计算公式，结合二次函数的性质即可求解最小值． 【小问1详解】 记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件 由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨 所以 【小问2详解】 因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸 所以7月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月． 的所有可能取值为1，2，3． ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 【小问3详解】 ，当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小． 理由如下：由于2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量分别为，故其平均数为， 2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量方差为 ，其中，，为2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量） 由于为定值，所以只需要取最小即可， 根据二次函数的性质可知当，取最小，所以当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第四中学顺义分校2025-2026学年度第二学期 高二数学期中试卷 出题人：吴建霞；指导教师：纪荣强（北京四中） 一､选择题（每小题4分，本题共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上） 1. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 2. 数列满足且，则的值是（ ） A. B. 4 C. 1 D. 3. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. -60 B. 60 C. -30 D. 30 5. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 A. 16种 B. 36种 C. 42种 D. 60种 6. 设若，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量，则（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6 8. 国古代典籍《周易》又称《易经》，分为经部和传部，其中经部之原名就为《周易》，是用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yao）组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知无穷等差数列前项和为，若，则“有最大值”是“公差”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 二､填空题（每小题5分，本题共25分，把答案写在答题卡上） 11. 等差数列－2，1，4，……的前10项和为______. 12. 已知数列满足，，则______．当______时，取得最小值． 13. 已知，，随机变量的分布列如下： p q P q p 若，则______． 14. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 15. 记数列满足：为的前项和，则下列正确结论的序号是__________. ① ② ③若为奇数，则 ④ 三､解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把过程写在答题卡上） 16. 已知是等差数列，，. （1）求的通项公式； （2）设的前项和，求的值. 17. 一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同 （1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，1个白球的概率； （2）采用放回抽样，每次随机抽取一球，连续取3次，求至少有1次取到红球的概率. 18. 已知数列的前项和为. （1）写出数列的前3项：，，； （2）当取最小值时，求的值； （3）求出的通项公式. 19. 毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具.已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时.这件作品才算制作成功， （1）求小萌同学制作一件作品成功的概率； （2）若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立.设其中成功的作品数为.求的分布列及期望. 20. 设是等差数列的前项和，，______. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最值. 从①②③中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 21. 2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图： （1）从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率； （2）从2020年7月至12月中随机选取4个月，记为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求的分布列及数学期望； （3）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨．当为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $