精品解析：2025-2026学年度下学期高一年级数学学科第二次综合作业

2025-2026学年度下学期高一年级数学学科第二次综合作业 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. （ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 已知向量，，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 如图所示，在中，，，若，，则（ ） / A. B. C. D. 5. 函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知函数满足+，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 存在使函数为偶函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知，则_____. 14. 已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）求函数的单调递减区间； （3）当时，求函数的最值． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 18. 如图，在中，，，，且，，与交于点. （1）用，表示，； （2）求的值； （3）求的值. 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高一年级数学学科第二次综合作业 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. （ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角的余弦值计算. 【详解】. 故选：C. 2. 已知向量，，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得与共线，充分性成立；由，可得或，必要性不成立，可得结论. 【详解】由，得，，所以与共线， 所以“”是“是与共线”的充分条件； 由，可得，解得或， “”是“与共线”成立的不必要条件， 故“”是“与共线”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解. 【详解】由于，， 则. 故选：A 4. 如图所示，在中，，，若，，则（ ） / A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 5. 函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，再逐项判断即可． 【详解】函数关于对称，则在该点取得最值， 即，解得， 对于A，令，解得，故A正确； 对于B，令，解得，不为整数，故B错误； 对于C，令，解得，不为整数，故C错误； 对于D，令，解得，不为整数，故D错误 故选：A． 6. 已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影数量的定义由数量积直接计算即可. 【详解】在方向上的投影数量为 ． 故选：A. 7. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C 8. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。 详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 = 所以当时，上式取最小值 ，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可判断角的终边落在第三象限，求出，，利用诱导公式即可得解. 【详解】点的纵坐标为，且． 角的终边落在第三象限， 又，（负根舍去）， ，， ，，， 所以AD正确，BC错误. 10. 已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 11. 已知函数满足+，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 存在使函数为偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由满足，可得即可求出周期，进而得到的值．再根据的性质判断对错． 【详解】设函数周期为T， 由可知是函数的最大值，故，∴ ∴，又，∴ ，代入，可得， 又，所以，∴. ，故A错误； ，所以B正确； 时，所以在区间上单调递增，故C正确； 当，即时，为偶函数， 而在内无解，故D错误． 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，， 由可得，解得. 13. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】借助两角和与差的正弦、余弦公式及诱导公式计算即可得. 【详解】因为， 则 . 故答案为：. 14. 已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由给定的零点及对称轴，结合五点法作图可得，再由单调区间确定值，然后分类讨论求出值即可得的最大值. 【详解】函数的最小正周期，由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是， 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，函数在上不单调，不符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意； 当时，，，由， 得，而，则，， 当时，，在上单调，符合题意， 因此或，所以的最大值为6. 故答案为：6 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模. （2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）求函数的单调递减区间； （3）当时，求函数的最值． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为 （2）单调递减区间为 （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数的周期性及对称性计算即可得； （2）由正弦型函数的单调性计算即可得； （3）由正弦型函数的值域计算即可得. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为． 令，则， 函数的对称中心为． 【小问2详解】 令， 则， 函数的单调递减区间为． 【小问3详解】 ，． ． 的最小值为，最大值为. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求； （2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解； （3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； 【小问2详解】 将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，再将图象向右平移个单位长度， 所以； ，则， 所以 所以函数在上的值域： 【小问3详解】 ，则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 18. 如图，在中，，，，且，，与交于点. （1）用，表示，； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得； （3）依题意为向量与的夹角，求出，，再由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以，； 【小问2详解】 因为，，， 所以， 所以 . 【小问3详解】 依题意为向量与的夹角， 又 ， ， 所以. 19. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； （3）若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【小问1详解】 由，得，则 则为偶函数， 于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以， 又，所以，故. 【小问2详解】 因为，所以， 故，， 而恒成立， 即， 整理可得. 令，， 设，，设，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. 【小问3详解】 由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，， 分别恰有个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问零点个数的处理可以考虑研究区间长度为的情况，发现规律后扩充到区间长度为整数倍的上进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $