精品解析：四川广安友谊中学2025-2026学年九年级下学期第一次学情自测数学试卷

四川省广安友谊中学初2023级九下第一次月考试题数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1－6页）和答题卡两部分． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 3．考试结束后，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 小明记录了一星期天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温（℃） 22 24 23 25 24 22 21 A. 22℃ B. 23℃ C. 24℃ D. 25℃ 6. 如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，这是根据（　　） A. 直角都相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的余角相等 D. 同角的补角相等 7. 已知一个两位数，十位上的数字x比个位上的数字y大1，若互换个位与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列出的方程组中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 9. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 要使代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 因式分解4x2－64＝_____________． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 14. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 三、解答题（本题共5小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 16. 近年来，随着全球人工智能大模型等的迅速发展，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座，并开展了“人工智能”知识答题测试．现从该校九年级参加测试的学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：、、、），并绘制出如下两幅不完整的统计图．其中抽取的九年级学生测试成绩在中的数据分别是，，，． 抽取的九年级学生测试成绩扇形统计图 抽取的九年级学生测试成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）一共抽取了________名九年级学生，扇形统计图中的________，并补全频数分布直方图； （2）若该校九年级共有700人参加了此次答题测试，估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数； （3）从九年级抽取的学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这四名学生中任选两名参加市级“人工智能知识”的培训课程，求选中的两名学生恰好都是男生的概率． 17. 如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面的点D处测得潮汐塔顶端A的俯角．，再将无人机沿水平方向飞行到达点E，测得潮汐塔底端B的俯角为（点D、E、A、B在同一平面内），求潮汐塔的高度．（结果精确到）【参考数据：，，】 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 19. 如图等腰，，为上一点，经过点且与相切于点，与交于点，作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． B卷（共50分） 四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置，本题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 当时，函数，为常数有最大值，则的值为_______． 21. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 22. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为_____________． 23. 如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是__．（填序号） 24. 如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________． 五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，地6小题10分，第27小题12分，共30分） 25. 我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高500元，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元； （2）该校计划购买两种设备共50台，且型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并结合的取值范围求出费用最少的购买方案？ 26. 如图，正方形，连接，是边上一点，连接、，交于点，连接． （1）求证：； （2）当是的中点时，请判断与的位置关系，并证明你的判断． 27. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学初2023级九下第一次月考试题数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1－6页）和答题卡两部分． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 3．考试结束后，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 3. 用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，则从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解左视图的定义，即从几何体的左面观察所得到的平面图形． 根据左视图的定义，从几何体的左面去观察这个由5个小立方块搭成的组合体，确定看到的小正方形的个数和排列方式，从而选出正确选项． 【详解】从左面看这个几何体，有两列．左边一列能看到上2个小正方形，右边一列只能看到1个小正方形，且在下方，符合这种情况的是选项B． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握同底数幂的相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故A正确，符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：A． 5. 小明记录了一星期天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温（℃） 22 24 23 25 24 22 21 A. 22℃ B. 23℃ C. 24℃ D. 25℃ 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：21，22，22，23，24，24，25， 中位数是23． 故选B． 【点睛】本题考查了中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 6. 如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，这是根据（　　） A. 直角都相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的余角相等 D. 同角的补角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据余角的概念证明，即可得到答案． 【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°， ∴∠1＝∠2， 依据是同角的余角相等， 故选：C． 【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补． 7. 已知一个两位数，十位上的数字x比个位上的数字y大1，若互换个位与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列出的方程组中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出互换前后的两位数，然后根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，若个位与十位数字的位置互换，得到新数比原数小9，列方程组即可． 【详解】解：由题意得， 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 8. 如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 9. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H,分别算出当0≤x≤4时和当4＜x≤8时的函数表达式,从而得出图象. 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝4cm， ∴BH＝CH， ∵∠B＝30°， ∴AH＝AB＝2，BH＝,AH＝2， ∴BC＝2BH＝4， ∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s， ∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s， 当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x， 在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x， ∴y＝•x•x＝x2， 当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4 在Rt△BDQ中，DQ＝CQ＝（8﹣x）， ∴y＝•（8﹣x）•4＝﹣x+8， 综上所述，y＝． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质,关键在于对动点情况进行分类讨论. 10. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 要使代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式及分母有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负；根据分式有意义的条件，分母不为零；综合两者求交集． 【详解】要使代数式有意义，需同时满足以下条件： 对于分子，有，即； 对于分母，有，即； 因此，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 因式分解4x2－64＝_____________． 【答案】4（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），进行分解，即可求出答案． 【详解】解：4x2-64 =4（x2-16） =4（x+4）（x-4）． 故答案为：4（x+4）（x-4）． 【点睛】本题考查了提公因式法及公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和求圆锥的高，理解题意是解决本题的关键． 根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 故答案为：16． 三、解答题（本题共5小题，第15小题10分，第16、17、18小题各8分，第19小题10分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）5；（2），. 【解析】 【分析】（1）由题意直接根据实数的运算法则计算即可； （2）由题意对原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了实数的运算以及分式的化简求值，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键． 16. 近年来，随着全球人工智能大模型等的迅速发展，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座，并开展了“人工智能”知识答题测试．现从该校九年级参加测试的学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：、、、），并绘制出如下两幅不完整的统计图．其中抽取的九年级学生测试成绩在中的数据分别是，，，． 抽取的九年级学生测试成绩扇形统计图 抽取的九年级学生测试成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）一共抽取了________名九年级学生，扇形统计图中的________，并补全频数分布直方图； （2）若该校九年级共有700人参加了此次答题测试，估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数； （3）从九年级抽取的学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这四名学生中任选两名参加市级“人工智能知识”的培训课程，求选中的两名学生恰好都是男生的概率． 【答案】（1），， 补全的频数分布直方图如图．   （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查频数直方图，扇形图，样本估计总体，树状图法求概率，从统计图中获取信息，是解题的关键： （1）根据的人数与占比求得总人数，用的人数除以总人数求出的值即可，根据；的人数补全直方图即可； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据频数直方图可得的人数为1，根据扇形统计图可得占比为 ∴总人数为 ∵中的数据有个， ∴的人数为：人； ∴， ∴； 补全的频数分布直方图略 【小问2详解】 解：（人） 答：估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数为人 【小问3详解】 解：名男生用，表示，名女生用，表示， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选中的两名学生都是男生的结果数为， 选中的两名学生都是男生的概率． 17. 如图①，潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图②所示．无人机在距水平地面的点D处测得潮汐塔顶端A的俯角．，再将无人机沿水平方向飞行到达点E，测得潮汐塔底端B的俯角为（点D、E、A、B在同一平面内），求潮汐塔的高度．（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先根据题意得到对应线段的长度，再根据特殊的三角函数得到的长度，进而得到的长度，再根据解直角三角形得到答案即可； 【详解】解：由题意可知：，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴ 即潮汐塔的高度约为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据可求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数与不等式的关系，根据一次函数图象在反比例图象下方，可得答案． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ， 将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图， 设与轴交于点， 当时， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：由图象可知：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴当时，或． 19. 如图等腰，，为上一点，经过点且与相切于点，与交于点，作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB． ∵OD=OC， ∴∠ACB ＝∠ODC． ∴∠B＝∠ODC． ∴OD∥EF． ∵DF⊥AB， ∴∠DFA＝90° ∴∠ODF＝90°． ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）9． 【解析】 【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质可证明∠ODC＝∠B，得出OD∥EF，再由平行线的性质可证得∠ODF＝90°，即可证明DF是⊙O的切线； （2）先利用正方形的判定得出四边形OEFD是正方形，则可根据正方形性质求得OE ＝DF＝4，再由勾股定理求出OA的长，即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接OE， ∵AB，DF是⊙O的切线，DF⊥AB， ∴∠OEF＝∠ODF＝∠AFD＝90°． ∴四边形OEFD是矩形． ∵OD=OE， ∴矩形OEFD是正方形， ∴OE ＝DF＝4， 在Rt△AOE中，AE ＝3， 由勾股定理得：． ∴AC＝OA＋OC＝OA＋OE＝9． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理及正方形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并熟练运用． B卷（共50分） 四、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置，本题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 当时，函数，为常数有最大值，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）的增减性（时随增大而增大，时随增大而减小）是解题的关键．先将函数整理为，再根据一次项系数的正负，判断函数在上的增减性，分别求出最大值对应的值，代入函数列方程求解 【详解】解：， 当时，函数随的增大而增大， 时，最大， ， 解得， 当时，函数随的增大而减小， 时，最大， ， 解得， 故答案为： 21. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 22. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的性质得到，再证，得，然后由等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，，，垂足分别是E、F， ，， 在和中， ， ， ， 又是的角平分线， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 23. 如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是__．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后再根据对称轴判定与0的关系，得到；当时，；然后由图像确定当取何值时，． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1 ∴ ∴ ∴， 故②正确； ∵a≠0 ∴，故①正确； ∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 结合题意，当时， ∴ 故③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 设点A坐标为 当时， 故⑤错误； 将代入a+b≥m（am+b） ∴ ∴ ∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下 ∴ ∴ ∵恒成立 ∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________． 【答案】（3，） 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，由DE⊥BD，取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD，设AE=x，利用相似三角形求出x，再根据三角形相似求出点E的横纵坐标即可. 【详解】∵A(4,0)，B（0,3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵DE⊥BD， ∴∠BDE=90°， 取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD， 设AE=x，则BF=EF=DF=， ∵∠ADF=∠AOB=90°， ∴DF∥OB ∴△ADF∽△AOB ∴ ∴， 解得x=， 过点E作EG⊥x轴， ∴EG∥OB， ∴△AEG∽△ABO， ∴， ∴, ∴EG=，AG=1， ∴OG=OA-AG=4-1=3， ∴E（3，）, 故答案为：（3，）. 【点睛】 此题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，本题借助半圆解题使题中的DE⊥BD所成的角确定为圆周角，更容易理解，是解此题的关键. 五、解答题（本题共3个小题，第25小题8分，地6小题10分，第27小题12分，共30分） 25. 我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高500元，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台． （1）求，型设备单价分别是多少元； （2）该校计划购买两种设备共50台，且型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并结合的取值范围求出费用最少的购买方案？ 【答案】（1）型设备单价为3000元 型设备单价为2500元 （2），购买型设备13台，型设备37台，总费用最少 【解析】 【分析】（1）设每台A型设备的价格为x万元，则每台B型号设备的价格为万元，根据“用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可； （2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：设每台A型设备的价格为x元，则每台B型号设备的价格为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每台A型号设备的价格为3000元，则每台B型设备的价格为2500元； 【小问2详解】 解：设购买台型设备，则购买台B型设备， ∴， 由实际意义可知，， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当自然数取最小值13时总费用最小， ∴购买型设备13台，型设备37台，总费用最少． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 26. 如图，正方形，连接，是边上一点，连接、，交于点，连接． （1）求证：； （2）当是的中点时，请判断与的位置关系，并证明你的判断． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： 如图，设交于点P， ∵， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）先证明，可得，从而得到，进而得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $