23.1 一次函数的概念 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章 一次函数 23.1 一次函数的概念 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 一次函数 7. 课堂小结 2. 知识回顾 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 5. 知识点2 正比例函数 6. 知识点3 根据简单实际问题确定一次函数解析式 9. 对接中考 1. 理解一次函数和正比例函数的概念，能说出二者的区别与联系，体会从一般到特殊的思想. 2. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析式，增强模型观念. 学习目标 知识回顾 函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数（function）. 判断一个关系是否是函数关系的方法 1. 看是否在一个变化过程中； 2. 看是否存在两个变量； 3. 看每当变量取定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与其相对应. 三个条件缺一不可！ 新课导入 问题 某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降 6℃. 登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃. y随x变化的规律是什么？用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温. 解：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃. 因此，y关于x的函数解析式为y=5－6x. 这个函数也可以写为y=－6x+5. 当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x=2时函数y=－6x+5的值，即y=－6×2+5=－7(℃). 新课讲解 知识点1 一次函数 思考 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式. (2) 把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化. (1) 一种计算成年人标准体重m(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化. 新课讲解 在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为： (1) ； (2) . 这些函数解析式有哪些共同特征？ 都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. m、y看作“y”；1、-5看作“k”； h、x看作“x”；-105、+50看作“b”. 思考 新课讲解 一般地，形如(k，b是常数，)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量. (k，b是常数，k≠0) 自变量，次数1 一次项系数 常数项 一次函数概念： 一次函数的特征： ① y 关于x 的式子是整式；；③连个变量的次数都是1；④常数b可以是任意实数. 注意 新课讲解 例 1. 下列函数中，哪些是一次函数？ (1) y＝－2x2； (2) y＝； (3) y＝3x2－x(3x－2)； (4) x2＋y＝1； (5) y＝－. 解：(1)因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数. (2)因为y＝＝x＋，k＝，b＝，所以y＝ 是一次函数. (3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它是一次函数. 先化简，再判断 (4)x2＋y＝1，即y＝1－x2. 因为x的次数是2，所以x2＋y＝1 不是一次函数. (5)因为y＝－中的－不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，所以它不是一次函数. 新课讲解 练一练 1. 下列函数中，哪些是一次函数？ (1) y＝－； (2) y＝－； (3) y＝8x2＋x(1－8x)＋1； (4) s＝1＋8t. 解：(1) y＝－，即y＝－，其中k＝－ ，b＝0，所以y＝－ 是一次函数． (2) 因为y＝－中关于自变量x的式子不是整式，所以y＝－ 不是一次函数． (3) y＝8x2＋x(1－8x)＋1经过变形转化为y＝x＋1，其中k＝1，b＝1，所以y＝8x2＋x(1－8x)＋1是一次函数． (4) s＝1＋8t，即s＝8t＋1，其中k＝8，b＝1，所以s＝1＋8t是一次函数． (1) 铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m ( 单位：g ) 随它的体积V ( 单位：cm3 ) 的变化而变化. (2) 每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h ( 单位：cm ) 随练习本的个数n的变化而变化. 新课讲解 知识点2 正比例函数 思考 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式. 新课讲解 思考 在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为： (1) ； (2) . 这些函数解析式有哪些共同特征？ 都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. m、h看作“y”；7.9、0.5看作“k”； V、n看作“x”；0、0看作“b”. 新课讲解 正比例函数概念： 正比例函数的特征： ① y 关于x 的式子是整式；；③两个变量的次数都是1. 注意 特别地，当时，即. 形如(k是常数，)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. (k是常数，) 自变量 比例系数 新课讲解 例 2. 下列函数中，是正比例函数的是( ) ① y＝－； ② y＝－； ③ y＝1＋5x； ④ y＝x2－5x； ⑤ y＝2x. A. ①⑤ B. ①② C. ③⑤ D. ②④ 解：②y＝－中－不是整式； ③y＝1＋5x不符合y＝kx(k ≠ 0)的形式； ④y＝x2－5x中x2－5x不是一次单项式，所以②③④不是正比例函数. ①⑤符合正比例函数y＝kx(k≠ 0)的定义：k为常数且k ≠ 0，两个变量的次数都是1，所以是正比例函数. A 新课讲解 练一练 2. 下列函数中，为正比例函数的是( ) A. y＝3x＋1 B. y＝3x2 C. y＝ D. y＝ D 3. 若y＝(a－2)x＋b是关于x的正比例函数，则a，b应满足的条件是(　　) A．a≠2 B．b＝0 C．a＝2且b＝0 D．a≠2且b＝0 新课讲解 练一练 D 新课讲解 思考 一次函数与正比例函数的关系？ 一次函数 正比例函数 1. 正比例函数()是一次函数()中b＝0的特例，即正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 2. 若已知y与x成正比例，则可设函数解析式为()；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为(k，b是常数，). 新课讲解 例 3. 给出下列函数： ①y=3πx； ②y=8x－6； ③y=； ④y=－； ⑤y=8x2+1. 其中是一次函数的有_________， 是正比例函数的有_______(填序号) ①②④ ①④ 是一次函数，也是正比例函数 是一次函数，但不是正比例函数 不是整式，不是一次函数 是一次函数，也是正比例函数； 自变量x的次数为2，不是一次函数 新课讲解 练一练 解：(1) 根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，且m－1≠0，解得m＝－1， ∴当m＝－1，n为任意实数时，y是x的一次函数． 4. 已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋4． (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ (2) 根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋4＝0，且m－1≠0， 解得m＝－1，n＝－4， ∴当m＝－1，n＝－4时，y是x的正比例函数． 新课讲解 知识点3 根据简单实际问题确定一次函数解析式 例 4. 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2 cm. (1)求弹簧的长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式. (2)当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：(1) 由每挂1kg的物体弹簧伸长2 cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2x cm.因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12. (2) 把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22. 因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm. 新课讲解 例 5. 某地区现有果树12 000棵，计划今后每年栽果树2 000棵． (1) 求果树总数y(单位：棵)关于栽果树年数x(单位：年)的函数解析式，它是一次函数吗？ (2) 预计到第5年末该地区有多少棵果树？ 解：(1) 根据题意，得y＝12 000＋2 000x(x为正整数)，它是一次函数. (2) 当x＝5 时，y＝12 000＋2 000×5＝22 000． 因此，预计到第5 年末该地区有22 000 棵果树． 新课讲解 练一练 5. 用函数解析式表示下列问题中y与x的关系. (1) 直角三角形中一个锐角的度数y(度)与另一个锐角的度数x(度)之间的关系； (2) 正方形的边长y与周长x之间的关系； (3) 一段导线在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0.008欧，电阻y(欧)关于温度x(℃)之间的关系. . . . 新课讲解 练一练 6. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得，如图是其实验装置示意图. 实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(单位：g)与分解的水的质量x(单位：g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y 与x 之间的函数解析式为( ) A. y＝ B. y＝9x C. y＝x D. y＝ 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 C 解：由表格数据知，＝＝＝＝＝＝9. 因此y与x 成正比例，即y是x的正比例函数，且y＝x. 新课讲解 确定一次函数解析式的一般步骤 1. 识别自变量和函数：根据实际问题，确定哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数. 2. 建立相等关系：分析实际问题中的数量关系，根据相等关系列出关于这两个变量的等式. 3. 确定函数解析式：将等式变形，写成函数的一般形式. 课堂小结 从实际问题中确定函数解析式 一次函数 形如(k是常数，)的函数 形如(k，b是常数，)的函数 正比例函数 特殊 b=0 当堂小练 1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ (1)y=-8x； (2)y=-； (3)C=2πr； (4)y=5x²+6； (5)y=2(x-4). 解：(1)(3)(5)是一次函数， (1)(3)是正比例函数. 当堂小练 2. 若y与x成正比例关系，且x=2时，y=8，写出y关于x的函数解析式，并求x为何值时y=-4. 解：设y=kx， 因为当x=2时，y=8，所以8=2k， 解得k=4，即y=4x. 当y=-4时，-4=4x，解得x=-1. 当堂小练 3. 已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k 的值是________. －2 解：根据题意，得解得 所以k＝－2. 当堂小练 解：(1) y=x+1.5%x=1.015x. (2)当x=10 000时，y=1.015×10 000=10 150. 故一年到期时的本息和是10 150元. 4. 某银行一年期存款利率为1.5%，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)存入10 000元，一年到期时的本息和是多少元？ 当堂小练 5. 学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包60元. 张华现有积攒的零花钱480元，记她用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元. (1)求y关于x的函数解析式，以及自变量x的取值范围； (2)若她至少要留下180元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？ 解：(1) y=480-60x (0≤x≤8，且x为整数). (2)由题意，得480-60x≥180，解得 x≤5. 因此她最多能捐献5个书包. 当堂小练 6. 若函数y＝(m＋3)xm2－8－5 是一次函数，则m的值为______. 7. 铁的密度约为7.9 g/cm3，铁的质量m(单位：g)与体积V (单位：cm3)成正比例．一个体积为1 0 cm3的铁块，它的质量为______g． 8. 现定义[p，q] 为函数y＝px＋q的特征数，若特征数为[a－1，a＋2]的函数是正比例函数，这个正比例函数的解析式是___________. 3 79 y＝－3x 当堂小练 9．已知一次函数y＝kx＋b，当x增加3时，y减小2，若y的值增加6，则x的值发生的变化是(　　) A．增加2　 B．减少2 C．增加9　 D．减少9 D 对接中考 D 1. 下列函数中，为正比例函数的是(　　) 对接中考 2. 山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情 况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6 米. (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y (单位：米)与注水时间x (单位：小时)之间的函数解析式； (2)已知蓄水池的底面积为0.4 万平方米，每立方米的水可供发电0.3 千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2 万千瓦时. 解：(1) 由题意可得：蓄水池的水位高度y(单位：米)与注水时间x(单位：小时)之间的函数解析式为y＝6x＋5. (2) 根据题意，得0.4(6x＋5)×0.3＝4.2，解得x＝5. 因此注水5小时可供发电4.2万千瓦时． 拓展与延伸 1. 用函数解析式表示下列问题中y与x的关系，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数. (1)长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数解析式； (2)刚上市时西瓜每千克3.6 元，买西瓜的总价y(单位：元)与买西瓜的质量x(单位：千克)之间的函数解析式； (3)仓库内有粉笔400 盒，如果每个星期领出36 盒，仓库内余下的粉笔盒数y 与星期数x之间的函数解析式； (4)爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000 元，以后每个月存入500 元，存入总数y(单位：元)与月数x之间的函数解析式. (2) y＝3.6x，是正比例函数，也是一次函数． (3) y＝－36x＋400，是一次函数，不是正比例函数． (4) y＝500x＋10 000，是一次函数，不是正比例函数． 解：(1) y＝，不是一次函数，也不是正比例函数． 拓展与延伸 2. 已知等腰三角形ABC的周长为12，设腰AB的长为x，底边BC的长为y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当腰长为4时，求底边的长． (2) 把x＝4代入y＝12－2x，得y＝12－2×4＝4， ∴当腰长为4时，底边的长为4. A．y＝3x＋1 B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝ 解：(1) ∵等腰三角形ABC的周长为12，腰AB的长为x， ∴底边BC的长为y＝12－2x， 根据三角形三边关系可知解得3<x<6， ∴y＝12－2x(3<x<6)． $