8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计课件(第一课时）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第一课时） 温州科技高级中学 张明 二、探究新知 1.问题1.为了研究两个变量之间的相关关系， 我们 建立了一元线性回归模型表达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b? 与函数不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，只能通过成对样本数据估计这两个参数. 参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系,因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 图8.2-1 儿子身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 父亲身高/cm 儿子身高/cm 方法：利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 由yi=bxi+a+ei（i=1,2,…,n)，得|yi-(bxi+a)|=|ei|. 显然|ei|越小，表示点(xi,yi)与点(xi,bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小,这时点直线y=ax+b距离也越小。因为直角边小于斜边。特别地,当ei=0时,表示点(xi,yi)在这条直线上. 我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 因此，可以用 来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的整体接近程度。 在实际应用中,因为绝对值使得计算不方便,所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和 来刻画“整体接近程度” 讲课人：邢启强 儿子身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 父亲身高/cm 儿子身高/cm 残差平方和： 求a，b的值,使Q(a,b)最小 在上式中,xi,yi(i=1,2,3,…,n)是已知的成对样本数据,所以Q由a和b所决定,即它是a和b的函数,因为Q还可以表示为 即它是随机误差的平方和,这个和当然越小越好,所以我们取使Q达到最小的a和b的值,作为截距和斜率的估计值。下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a,b. 讲课人：邢启强 讲课人：邢启强 上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 讲课人：邢启强 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法． 注意： 1、经验回归必过 .2、 都是估计值.3 、 与r符号相同. 讲课人：邢启强 问题7：利用下表的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程。 通过信息技术，计算求得 问1：当x=176时， ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？ 儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响，父亲的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右. 如果把父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体均值的估计值.一般地， 因为E(Y)=bx+a，是bx+a的估计值，所以是E(Y)的估计值. 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 讲课人：邢启强 问2：根据经验回归方程 中斜率的具体含义，高个子的父亲一定生高个子的儿子吗？同样，矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗？ 经验回归方程=0.839x+28.957中，斜率0.839可以解释为父亲身高每增加1cm， 其儿子的身高平均增加0.839cm. 问3：根据模型，父亲身高为多少时，长大成人的儿子的平均身高与父亲身高一样？ 你怎么看这个判断？ 通过经验回归方程=0.839x+28.957，令=x，则x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身高与父亲的身高一样. 高个子父亲有生高个子儿子的趋势,但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高,例如x=185(cm),则=184.172(cm); 矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势,但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高,例如x=170(cm),则=171.587(cm). 同学们，这就是生物学上的高尔顿定律。大家百度即知。不止是身高有高尔顿定律，人的智商也受到高尔顿定律的限制。高尔顿定律很好证明的，用反证法。假如高个子生出来的子女比他还高，矮个子生出来的子女比他还矮，那经过几代，人类社会会产生高几十米的巨人和矮几十厘米的矮人，但现实中从没出现这样的人，所以高尔顿定律正确。若聪明人生出来的子女更聪明，那经过几代，一个家族中就会出现上帝，但现实中都没遇到这种事情，所以高尔顿定律正确。父母聪明，生的子女也聪明，但比父母要笨一点。所以一个家族最终命运就是归于平凡。比如爱因斯坦、鲁迅。大家百度“爱因斯坦后人、鲁迅后人”就知道了。有的同学也知道了，那就是富不过三代。 讲课人：邢启强 我们问人工智能： 我们该如何生活？ 只管耕耘，不问收获；谋事在人成事在天。 我们称yi为响应变量Y的观测值，通过经验回归方程得到的为预测值.为了研究回归模型的有效性，定义残差为=yi-，残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析. 例如,对于右表中的第6个观测,父亲身高为172cm,其儿子身高的观测值为y==176(cm),预测值为96=0.839×172+28.957=173.265(cm),残差为176-173.265=2.735(cm).类似地,可以得到其他的残差,如右表所示. 讲课人：邢启强 问题8：儿子身高与父亲身高的关系，运用残差分析所得的一元线性回归模型的有效性吗？ 残差图：作图时纵坐标 为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图． 观察表可以看到,残差有正有负,残差的绝对值最大是4.413. 观察残差的散点图可以发现,残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定,是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值.可见,通过观察残差图可以直观判新模型是否满足一元线性回归模型的假设. 一般地,建立经验回归方程后,通常需要对模型刻画数据的效果进行分析,借助残差分析还可以对模型进行改进,使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策。 讲课人：邢启强 (1) (2) (3) (4) 思考：观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？ 讲课人：邢启强 图（1）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型； 图（2）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分； 图（3）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大； 图（4）的残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内. 根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值. 所以，只有图(4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设。 讲课人：邢启强 对于一组具有线性相关关系的数据 我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： 称为样本点的中心. 讲课人：邢启强 2、求回归直线方程的步骤： （3）代入公式 （4）写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程. ^ 讲课人：邢启强 由 得： 故所求线性回归方程为： 因此，对于身高172cm的女大学生，由线性回归方程可以预报其体重为： 是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单位时，体重y就增加0.849个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系. 讲课人：邢启强 $