海南海口华中学校2025-2026学年高一下学期期中检测数学试题

**基本信息** 含深圳半程马拉松心率建模等真实情境题，融合集合、向量、三角函数、解三角形等模块，注重数学眼光观察现实、思维逻辑推理与语言表达应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、向量共线、三角函数图像变换|结合函数性质（8题取整函数）考查创新应用| |多选题|3题|三角形重心、投影向量、基本不等式|多选项设计（9题）体现知识辨析与综合| |填空题|3题|向量数量积、三角函数定义、图像面积|结合几何图形（12题等边三角形）考查直观想象| |解答题|5题|解三角形（15题）、向量夹角（16题）、三角函数性质（17题）、马拉松心率建模（19题）|分段函数建模（19题）融合数学抽象与数据分析，体现真实问题解决|

海南省海口华中学校2025-2026学年第二学期高一下学期数学期中检测试题 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出集合，根据并集的定义计算结果即可. 【详解】集合，又， 所以． 故选：A 2．已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解. 【详解】已知向量,,所以， 因为与共线，所以，解得：. 故选：C 3．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换，结合函数解析式，直接判断并选择即可. 【详解】， 故只需把函数的图象向左平移个单位即可. 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对函数的单调性可得与的大小关系即可判断. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以． 故选：B． 5．如图，中，，，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，，，故， ， 因此. 故选：A. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正弦公式同角关系将条件转化为关于，的方程组，解方程求，，再结合两角和正弦公式求结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 7．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦函数、正切函数的性质求出图象的对称中心，结合已知建立方程求解. 【详解】由，得函数图象的对称中心为 由，函数图象的对称中心为， 依题意，对整数，点与重合，则， 因此，，而，所以，，D正确. 8．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 二、多选题 9．在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若G是的重心，则 C．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 D．已知，，则的最大值为10 【答案】BCD 【分析】根据向量的夹角判断一个三角形内角为锐角判断A，根据重心的性质及中线的向量表示判断B，根据向量在向量上的投影向量的计算判断C，根据数量积的定义及运算性质判断D. 【详解】对A，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误； 对B，由G是的重心，可知，故B正确； 对C，因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为 ，故C正确； 对D，因为，当，即同向时等号成立，故D正确. 故选：BCD 10．若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确；   对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11．四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 三、填空题 12．已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使的，则的值为______． 【答案】/ 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 13．点在角终边上，则______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解. 【详解】∵点在角终边上， ∴，， ∴， 故答案为：. 14．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________，___________． 【答案】 【分析】先通过阴影部分的面积平移和拼接可得一个长为宽为的矩形，从而可得， 再根据是的最大值点及是的一个对称中心，结合五点作图法可得. 【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 所以. 因为图中阴影部分的面积为，根据对称性可得阴影部分的面积可以平移拼接为一个宽为长为的矩形,如图： 所以. 又因为在处取得最大值，在处的值为，根据五点作图法， ，，得，代入得. 所以，. 四、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求的值； (2)若.求的面积. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和进行化简即可； （2）由（1）中结果结合正弦定理可得，再根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得， 化简可得：， 又，所以， 所以，因此. （2）由得. 由余弦定理及， 得， 解得， 从而，又因为， 因此. 16．已知向量，满足，，且，向量，，． (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值． (3)若与的夹角为锐角，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由求得，再根据数量积的定义求得与的夹角； （2）根据垂直向量的数量积为0，列出关于的方程，求得实数k的值； （3）利用向量夹角为锐角其数量积大于零，且两向量方向不相同，即可得解. 【详解】（1）由，得，即. 所以. 所以. 因为，所以，即与的夹角为. （2）若，则， 所以， 即，解得. （3）若与的夹角为锐角，则，且与不能同向. 由，得，即，解得； 若与共线，则，即，解得或（舍去）. 当，则，与同向； 所以x的取值范围是． 17．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间是（）． (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数性质即可得到答案； （2）利用整体法再结合三角函数图象与性质得到，解出即可. 【详解】（1）， 所以最小正周期．由， 得，，故函数的单调递增区间是（）． （2），则， 因为，在区间上的最大值为， 则函数在上单调递减，则， 再结合正弦函数性质知，则，解得. 18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据正弦定理化简等式，然后根据和差的正弦公式求解即可. （2）先利用三角形面积求出，然后利用余弦定理得到，最后联立方程组求出结果. （3）根据余弦定理列出等式，然后根据基本不等式的性质求出范围即可. 【详解】（1）根据正弦定理得. 因为，所以， 所以等式变为， 化简得，又，所以， 即，所以，所以，即. （2）因为的面积为，所以，所以①. 根据余弦定理得②，联立①②得. （3）根据余弦定理可得，代入数据得， 即，根据基本不等式的性质可知. 所以，解得当且仅当时等号成立，. 又，所以的取值范围为. 19．深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，. (1)求的解析式； (2)已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长； 【答案】(1) (2)43分钟 【分析】（1）根据周期得出，再代入点的坐标计算得出即可得出解析式； （2）根据已知列不等式，再结合正弦函数性质得出参数范围即可求解. 【详解】（1）“匀速跑心率上升”阶段，时为最低心率60次／分钟，时为最高心率150次／分钟，且振幅为45次／分钟， 周期为120，且，，解得 ， ，，又，， ， “冲刺跑心率波动”阶段，，，显然， ， 又，且当时，心率呈上升趋势，， ，， 综上所述， （2）“匀速跑心率上升”阶段， 的最大值为150，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟， 只需，即 ，，，由解得， “匀速跑心率上升”阶段的“高效燃脂区间”内的运动时长约为分钟， “冲刺跑心率波动”阶段，由（1）可知的最小值为140， 只需，即， 不难知道一个周期内的非“高效燃脂区间”内的运动时长占比为， 一个周期内的“高效燃脂区间”内的运动时长为 共有3个周期，则有20分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长， 综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为43分钟. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口华中学校2025-2026学年第二学期高一下学期数学期中检测试题 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 3．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，设，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（   ） A． B． C． D． 8．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、多选题 9．在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若G是的重心，则 C．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 D．已知，，则的最大值为10 10．若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使的，则的值为______． 13．点在角终边上，则______． 14．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________，___________． 四、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求的值； (2)若.求的面积. 16．已知向量，满足，，且，向量，，． (1)求与的夹角； (2)若，求实数k的值． (3)若与的夹角为锐角，求x的取值范围． 17．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若在区间上的最大值为，求的值. 18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求的取值范围. 19．深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，. (1)求的解析式； (2)已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $