精品解析：上海市位育初级中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试题卷

初一数学试题卷 （时间：90分钟） 一、选择题：（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 已知，下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，正确，不符合题意； B、∵，∴，∴，正确，不符合题意； C、∵，∴，正确，不符合题意； D、时与可能相等，也可能，，故错误，符合题意， 故选：D． 2. 下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ） A. 2，， B. 3厘米，8厘米，10厘米 C. 三条线段之比为 D. 6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 中，如果，则是直角三角形 B. 三角形的三条高交于三角形内的一点 C. 两个锐角的和是钝角 D. 相等的角是对顶角 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．∵三角形内角和为，且 设，则， ∴ 解得 ∴ ∴是直角三角形，A是真命题； B．钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，都不交于三角形内一点，故B是假命题； C．两个锐角的和不一定是钝角，例如当两个锐角为和时，和为，仍是锐角，故C是假命题； D．相等的角不一定是对顶角，故D是假命题． 4. 如图，在下列条件中，能说明AC∥DE的是（　　） A. ∠A＝∠CFD B. ∠BED＝∠EDF C. ∠BED＝∠A D. ∠A+∠AFD＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐项进行分析即可； 【详解】解：A、当∠A＝∠CFD时，则AB∥DF，不合题意； B、当∠BED＝∠EDF时，则AB∥DF，不合题意； C、当∠BED＝∠A时，则AC∥DE，符合题意； D、当∠A+∠AFD＝180°时，则AB∥DF，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析是解题的关键． 5. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】解不等式，得 ， 解不等式，得 ． 因为此不等式组无解， 所以． 故选：D． 二、填空题：（本大题共12小题，每题2分，共24分） 7. “a的2倍减去3的差是一个非负数”用不等式表示为_________． 【答案】2a﹣3≥0 【解析】 【分析】根据“a的2倍”即2a，再减去3，结合差是非负数，即大于等于零，得出答案． 【详解】由题意可得：2a﹣3≥0． 故答案为：2a﹣3≥0． 【点睛】本题考查了用不等式表示不等关系，关键是掌握倍、差、非负数的含义． 8. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 9. 在中，，，则长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 10. 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则另一个角为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴ ∵ ∴； 如图，，， ∵， ∴ ∵ ∴； 综上，另一个角为或． 11. 若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意得，进而得，即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴符合条件的正整数m的值为1． 故答案为：1． 12. 分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 【答案】② 【解析】 【详解】解：①逆命题为如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，两个负数的积也为正数，因此该逆命题是假命题； ②逆命题为内错角相等，两直线平行，因此该逆命题是真命题； ③逆命题为如果一个三角形有两个内角为锐角，那么这个三角形是直角三角形，锐角三角形中有三个锐角，也包含两个锐角，因此该逆命题是假命题． 13. 如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的值，根据角平分线定义求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴． 14. 如图将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________． 【答案】55° 【解析】 【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠B′FC=∠2=70°， ∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°， 由折叠知∠1=∠B′FE， ∴∠1=∠B′FE=55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质． 15. 如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于点，点为焦点，若，，则________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，由题意得，，C、O、D三点共线，则，由平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，进而由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， 由题意得，，C、O、D三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，平分，平分，如果，那么________． 【答案】155 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 17. 某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动．若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人．该数学社团的人数是_____________． 【答案】51或59 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设共分为x组，根据每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人，表示出该班人数以及不等式组，进而可求出班级人数． 【详解】解：设共分为x组， 由题意得， 解得， x为整数， x的值为6或7， 当时，该数学社团的人数是：， 当时，该数学社团的人数是：， 故答案为：51或59． 18. 中，，边上的高，，则的面积是___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 三、计算题：（本大题共2小题，第19题5分，第20题5分，共10分） 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 数轴表示如下： 【解析】 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 20. 解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【解析】 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最大整数解为2． 四、简答题：（本大题共6小题，第21、22题各6分，第23、24题各8分，第25、26题各10分，共48分） 21. 如图，点在射线上，，，． 求证：． 请你补全下面的证明过程： 证明：（已知） ________（ ） ________（ ） （已知） （等量代换） ________（ ） 又（已知） （平行线的传递性） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行． 【解析】 【详解】证明：（已知） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） 又（已知） （平行线的传递性） 22. 如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 23. 如图，，． （1）求证：． （2）若平分．．求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，再根据，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． （2）先由平行线的性质求得，再由角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，已知在中，，，垂足为，点在上，交于点，． （1）点到直线的距离是线段________的长度；如果，，那么与的面积的比值是_______． （2）求证：平分． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；根据三角形中线平分三角形面积可得，再证明得到，据此可得答案； （2）根据三角形内角和定理可得，，再导角证明，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B到直线的距离是线段的长度； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积的比值是； 【小问2详解】 略 25. 某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元． （1）求A，B两种工艺品的单价； （2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？ （3）已知售出一个A种工艺品可获利10元，售出一个B种工艺品可获利18元，该店主决定每售出一个B种工艺品，为希望工程捐款m元，在（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？ 【答案】（1）A种工艺品的单价为80元/个，B种工艺品的单价为120元/个；（2）共有3种进货方案；（3）m的值是3，此时店主可获利1200元． 【解析】 【分析】（1）设A种工艺品的单价为x元/个，B种工艺品的单价为y元/个，根据“A，B两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品个，根据最多购进A种工艺品36个且B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出进货方案的个数； （3）设总利润为w元，根据总利润=单个利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w值与a值无关可得出m的值，再代入m值即可求出w的值． 【详解】（1）设A种工艺品的单价为x元/个，B种工艺品的单价为y元/个， 依题意，得：， 解得：， 答：A种工艺品的单价为80元/个，B种工艺品的单价为120元/个； （2）设购进A种工艺品a个，则购进B种工艺品个， 依题意，得：， 解得：30≤a≤36， ∵a为正整数，为正整数， ∴a为3的倍数，a=30,33,36 ∴共有3种进货方案； （3）设总利润为w元， 依题意，得：w＝10a+（18﹣m）×＝（m﹣2）a+1440﹣80m， ∵w的值与a值无关， ∴m﹣2＝0， ∴m＝3，此时w＝1440﹣80m＝1200， 答：m的值是3，此时店主可获利1200元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据总利润=单个利润×销售数量，找出w关于a的函数关系式． 26. 学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； （2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，保持两个三角尺的顶点，重合，固定三角尺，改变三角尺的摆放位置．当点在直线的下方且这两个三角尺一组边互相平行时，请直接写出所有可能的度数． 【答案】（1）的度数为； （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ， ， ，， ，且， ； （3）角度所有可能的值是或或或或 【解析】 【分析】（1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得，，，进而可得． （3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可． 【小问1详解】 解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，，， ， ， ∵，， ∴，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ； ②当时，如图4②所示： 则， ； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ， ； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ， ． 综上所述，角度所有可能的值是或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学试题卷 （时间：90分钟） 一、选择题：（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 已知，下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组条件中，不能组成三角形的是（ ） A. 2，， B. 3厘米，8厘米，10厘米 C. 三条线段之比为 D. 6厘米，6厘米，6厘米 3. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 中，如果，则是直角三角形 B. 三角形的三条高交于三角形内的一点 C. 两个锐角的和是钝角 D. 相等的角是对顶角 4. 如图，在下列条件中，能说明AC∥DE的是（　　） A. ∠A＝∠CFD B. ∠BED＝∠EDF C. ∠BED＝∠A D. ∠A+∠AFD＝180° 5. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 的度数无法确定 6. 已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 二、填空题：（本大题共12小题，每题2分，共24分） 7. “a的2倍减去3的差是一个非负数”用不等式表示为_________． 8. 不等式的解集是______． 9. 在中，，，则长度的取值范围是________． 10. 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则另一个角为________． 11. 若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为______． 12. 分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 13. 如图，在中，、分别平分、．若，则________． 14. 如图将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________． 15. 如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于点，点为焦点，若，，则________． 16. 如图，，平分，平分，如果，那么________． 17. 某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动．若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人．该数学社团的人数是_____________． 18. 中，，边上的高，，则的面积是___________． 三、计算题：（本大题共2小题，第19题5分，第20题5分，共10分） 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 四、简答题：（本大题共6小题，第21、22题各6分，第23、24题各8分，第25、26题各10分，共48分） 21. 如图，点在射线上，，，． 求证：． 请你补全下面的证明过程： 证明：（已知） ________（ ） ________（ ） （已知） （等量代换） ________（ ） 又（已知） （平行线的传递性） 22. 如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 23. 如图，，． （1）求证：． （2）若平分．．求的度数． 24. 如图，已知在中，，，垂足为，点在上，交于点，． （1）点到直线的距离是线段________的长度；如果，，那么与的面积的比值是_______． （2）求证：平分． 25. 某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元． （1）求A，B两种工艺品的单价； （2）该店主欲用9600元用于进货，且最多购进A种工艺品36个，B种工艺品的数量不超过A种工艺品的2倍，则共有几种进货方案？ （3）已知售出一个A种工艺品可获利10元，售出一个B种工艺品可获利18元，该店主决定每售出一个B种工艺品，为希望工程捐款m元，在（2）的条件下，若A，B两种工艺品全部售出后所有方案获利均相同，则m的值是多少？此时店主可获利多少元？ 26. 学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； （2）如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，保持两个三角尺的顶点，重合，固定三角尺，改变三角尺的摆放位置．当点在直线的下方且这两个三角尺一组边互相平行时，请直接写出所有可能的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $