广东佛山市顺德第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦高中数学核心知识，通过函数、数列、立体几何等模块的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及应用意识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、二项式定理等|基础概念辨析，落实抽象能力| |多选题|3/18|等比数列、函数极值|选项分层，考查推理意识| |填空题|3/15|数列递推、不等式恒成立|简洁设问，检测数学语言表达| |解答题|5/77|导数应用、数列求和、立体几何证明与夹角计算|综合设问，如导数切线与单调性（15题）、数列与不等式证明（16题）、函数零点与等差数列结合（19题），体现创新应用与空间观念|

顺德第一中学2025-2026学年下学期期中考试 数学 满分150分，时间120分钟 一、单选题（每题5分） 1．已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 2．若复数，则z的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】C 【详解】由得， 则z的虚部为1， 故选：C 3．已知均为单位向量且满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，即， 所以, 因为均为单位向量，所以. 所以， 而， 故， 故选：C. 4．的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（    ） A．2 B．±2 C． D．± 【答案】D 【详解】展开式的通项公式是，当时，项的系数为 ，解得：. 故选：D 5．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 即 ， 根据等差数列的性质可知， 所以. 故选:B. 6．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（   ） A．24 B．54 C．72 D．120 【答案】B 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 7．已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数为奇函数， 当时，， 所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数， 由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数. 对于A选项，，即，则，A错； 对于B选项，，即，则，B对； 对于C选项，，即，则，C错； 对于D选项，，即，则，D错. 故选：B. 8．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，则， 则，因为，，当，即时，恒成立， 此时在上单调递增，所以， 当，即时，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，， 又，当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 又时，，时，， 所以时，，不恒成立，所以不合题意， 当时，由，得到（舍）或， 所以时，，时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以时，， 要使对任意，恒成立，也即对任意，， 则或，解得或， 所以， 故选：A. 二、多选题（每题6分） 9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是公差为等差数列 C． D．数列是等比数列 【答案】ACD 【详解】A选项：因为若，，所以，，所以，所以，（舍），故A正确； B选项：，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B错误； C选项：由A知，，所以，，，所以，且，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，故C正确； D选项：由C知，，故D正确； 故选：ACD. 10．已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，将代入，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将代入，， ，故C不正确； 对于D，对求导，， 将代入得到，故D正确. 故选：ABD. 11．已知是函数的极小值点，则（   ） A． B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．方程有3个不同的实数根 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以， 因为是函数的极小值点，所以， 可得，解得，故A正确， 对于B，因为，所以，则，即， 由正弦函数性质得，由余弦函数性质得， 由已知得，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到，故B错误， 对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，得到，， 当时，，当时，， 若讨论的零点个数，则讨论的解的个数， 故讨论与的交点个数即可， 如图，作出符合题意的图象， 由图象可得，当时，与有3个相异的交点， 即有3个相异的零点，故C正确， 对于D，令，若求方程的实数根， 则先求的解的个数，即求的解的个数， 令，则求的零点个数， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 可得，， 由零点存在性定理得存在，作为的零点， 则是的两个解，后续求解与即可， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时有一个解， 当时，，此时有一个解， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时无解， 当时，，此时有一个解， 综上，方程有3个不同的实数根，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分） 12．的展开式中常数项是____________． 【答案】 【详解】由题意，二项式展开式的通项为， 令，可得展开式中的常数项为. 故答案为：. 13．已知数列满足且，若是等比数列，则_______． 【答案】 【详解】由于数列是等比数列，设其公比为， 则， 即，又， 则，解得. 14．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意，对任意的不等式恒成立， 令，则，， ∴在上单调增，且时，，时，， 所以使，即， ∴在上递减，上递增， 故：，即， 而在上单调增，又， ∴，即有时恒成立， ∴， 故答案为：. 四、解答题 15．（13分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. (3)最大值为40，最小值为. 【详解】（1）因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. （2）由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. （3）由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 16．（15分）已知数列中，，且满足（）． (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前n项和，证明：Sn． 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； 所以，故 （2）由（2）知． 所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以Sn 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为棱的中点，. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接. 底面是矩形，是的中点， 又为棱的中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，， 又，，平面，平面， 又平面，. ，E是棱的中点，， 又，平面，又因为平面，. （3）底面，底面为矩形，，DP，DC两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，. 设平面的法向量为， 则，取. 由（2）可知是平面的一个法向量， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以， 解得（负值舍去），即. 18．（17分）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）解：①由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. ②因为对任意的恒成立，所以， 则对任意的恒成立. 令，可得， 所以数列是递减数列， 当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是. 19．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若有3个不同的零点． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）解：当时，， 当时，，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）解：（ⅰ）当时，由得单调递增，且． 当时，， 若，因为，所以，即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意， 若，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，当时， 所以要使有3个零点，则，即，解得． 所以实数的取值范围为 （ⅱ）由题可知，，， 所以， 则①，②． 设公差为，即， 由①可得，，由②可得，， 则，化简得，解得（负值舍去）， 即公差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $顺德第一中学2025-2026学年下学期期中考试 数学 满分150分，时间120分钟 一、单选题（每题5分） 1.已知集合A={x∈Zx202x≤0，则A的元素个数为() A.4 B.3 C.2 D.0 2.若复数z=ii+1,则z的虚部为() A.-1 B.-i C.1 D.i 3.已知a,6均为单位向量且满足aa+2b=0,则a与的夹角为() B c. 2π D. 5π 6 4.(ax+y)的展开式中y3项的系数等于80，则实数a=() A.2 B.±2 C.22 D.±22 5.已知数列{an}与{bn}均为等差数列，且a+b=4,a+b,=8,则a4+b,=() A.5 B.6 C.7 D.8 6.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙 两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说：“你当然不会是最 差的”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为() A.24 B.54 C.72 D.120 7.已知定义在区间引)上的奇函数y=八，对于任意的x0)满足 f'(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f'（x是f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的是() A5r得 B.(>财到 c.水到 D,w rr) 8.已知函数f(x)=(e-2ax)2lnx-ax2-1,若对任意x>0,f(x≤0恒成立，则a的取 值范围是() A[ B. e[ 「13e D. e'2 二、多选题（每题6分，部分对得部分分，有错选得0分） 9.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a+a4=18, a2+a,=12,则下列说法正确的是（) A.9=2 B.数列lgan}是公差为2等差数列 C.Sg=510 D.数列S,+2是等比数列 10.已知fx)=(2x-1)3=a+a,x+a2x2+ax3+a4x+ax3+ax+ax,则下列描述正确的是（） A.a0+a+a2+a3+a4+a5+a6+a,=1 B.a>a C.laol+la1+lazl+la31+lagl+las1+lacl+la-l=37+1 D.a1+2a2+3a3+4a4+5a,+6a6+7a2=14 2 11.己知x=1是函数f(x)=(x2+a)e-的极小值点，则() A.a=-3 B.若0<a<至则f6ina<eosa) C.若0<m<。,则y=f)-m有3个相异的零点 D.方程ff(x)]=-1有3个不同的实数根 三、填空题（每题5分） 12.(2+√)4的展开式中常数项是 13.已知数列{a,}满足a,=1且a1=2an+3”,若{a。+元3}是等比数列，则入= 14.已知对任意的x>0,不等式xe'-lnx-ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为 四、解答题 15.(13分)已知函数f(x)=xa+x2),曲线y=f(x)在点1，f(1月处的切线与直线 3x+y+1=0平行. (I)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数f(x)在[0,4上的最大值、最小值 3 16.(15分)已知数列a中，4=子，且满足a-3a,+1=0(neN). (1)求{an}的通项公式： ②令6，=。3”，S为数列，的前n项和，证明：Sn an·an+l 17.(I5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形，E为棱 PC的中点，PD=CD=2 P E A B (I)证明：PA/∥平面BDE; (2)证明：DE⊥PB; (3)若平面PBD与平面PBC夹角的余弦值为 6 ,求AD 5 18.(17分)已知数列{a,}的前n项和为Sn,a,=3,a1=2Sn+3. (1)求证：数列 是等差数列 ②设6-圣， 数列{bn}的前n项和为Tn ①求Tn; ②若对任意的正整数n,不等式12-T,<1·3"恒成立，求实数1的取值范围. 6 ae-2x,x>0’其中a>0. ae+2x,x≤0 19.己知函数f(x)= (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程. (2)若f(x)有3个不同的零点x,2,x3x<x2<x). (i)求实数a的取值范围； (ⅱ)若x,x2,x3成等差数列，求该数列的公差d