精品解析：江西宜春市第八中学2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

宜春八中2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式， ∴选项A：，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 选项B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； 选项C：被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 如图，从电线杆离地面的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴； 故处到电线杆底部处的距离为. 3. 如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍长6米，点到点的距离（ ） A. 2.5米 B. 3米 C. 3.5米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结果. 【详解】解：由题意，为的中点，， ∴， 即：点到点的距离为3米. 4. 水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆的周长是圆的半径的函数 B. 是变量 C. 圆的周长和圆的半径是变量 D. 关于的解析式是 【答案】B 【解析】 【分析】根据常量、变量与函数的定义判断各选项说法，选出不正确的选项即可． 【详解】解：由圆的周长公式得与的关系式为， ∵圆周率是固定不变的常数，为常量，圆的半径随水波扩大不断变化，周长随变化也不断变化，和都是变量，且对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数， ∴A、C、D选项说法正确，B选项说法错误． 5. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可. 【详解】解：∵将沿对角线翻折， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 6. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角形的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图②，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角形的较长的直角边长为， ， 即， 解得（负值舍去）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 8. 如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得出结果. 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴. 9. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，根据题意求得正六边形的内角和，进而即可求得的度数． 【详解】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形． ∵正六边形的内角和为， ∴每一个内角为 ∴． 故答案为： 10. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长进而求出的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∴， ∵数轴上点A所表示的数为a， ∴a的值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键． 11. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，在矩形中，，，点从点A向点以每秒的速度运动，同时点以每秒的速度从点出发，在，两点之间做往返运动，点到达点时，，两点同时停止运动，这段时间内，当运动时间为______s时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与平行四边形的判定与性质，解题关键是要注意数形结合与方程思想的应用； 利用矩形对边平行且的性质，明确当时，四边形是矩形． 根据点在不同时间段的运动方向，分、 、 、这几个时间段，分别表示出和的长度表达式．在各时间段内令列方程求解，并根据实际情况对解进行取舍，从而得出满足条件的时间值． 【详解】根据题意可知：当点P到达点D时，点Q将由运动， 因为四边形是矩形， 所以，， 则 ， 当时，四边形是矩形 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ． 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ． 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ． 当时 ： 点从向运动，，， ， 令 ，即 ， 解得 ， 此时点到达点，点也停止运动，这种情况不符合构成四边形的条件，应舍去． ∴当运动时间为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 14. 现有一块长方形木板，某木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． （1）木板中截出的正方形木板的边长为_____（结果保留根号）； （2）求木板中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质可求解； （2）先求得正方形木板A、C的边长，再利用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解． 【小问1详解】 解：在长方形木板上截出面积为的正方形木板， 正方形木板的边长为； 【小问2详解】 解：∵在长方形木板上截出面积分别为，的正方形木板，， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板C的边长为， ∴木板中剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 15. 为落实劳动教育要求，宜春八中开辟了劳动实践基地，现将一块四边形绿地规划为班级责任菜地，已知，，，，的面积是． （1）求的度数； （2）求这块四边形绿地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的面积公式求得，再根据勾股定理的逆定理可判断； （2）求出的面积即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，的面积是， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴这块四边形绿地的面积为． 16. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； （2）在图2中，若，请作出的平分线． 【答案】（1） 如图1，直线即为所作 （2） 如图2，射线即为所作 【解析】 【分析】（1）作的对角线，，交于点，作直线交于点，直线即为所作； （2）作射线即可得的平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17. 如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵BE=AB， ∴BE=CD． ∴四边形BECD是平行四边形． ∵AD=BC，AD =DE， ∴BC=DE． ∴平行四边形BECD是矩形． （2） 【解析】 【详解】分析： （1）由已知条件易得四边形BECD是平行四边形及AD=BC，结合ED=AD可得BC=ED，由此可得平行四边形BECD是矩形； （2）如下图，连接AC，由已知条件和（1）中结论易得BC=AD=4，BE=CD=AB=2，∠AEC=90°，由此在Rt△BCE中，可得CE=，这样在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC=. 详解： （1）略 （2）如下图，连接AC， ∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形， ∴AB=BE=CD=2,BC=AD=4，∠AEC=90°， ∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE=， ∴在Rt△ACE中，AC=. 点睛：熟悉“平行四边形的性质与判定和矩形的判定方法”是正确解答本题的关键. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 19. 某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？ 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 项目主题：选择更优惠的快递公司 素材1：甲、乙两个快递代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重3元． 素材2：快递代办点所寄物品的快递费用（元）与物品重量之间存在函数关系，关系式为：，？ 其中，的函数图象如图所示． 问题解决： （1）直接写出与之间的函数关系式． （2）绘制图象在图中画出的函数图象． （3）解决问题若该小组某成员需要邮寄一个的包裹，根据图象推断哪个快递代办点更优惠． 【答案】（1） （2）的函数图象如图所示 （3）乙快递代办点更优惠 【解析】 【分析】（1）根据题意列出与之间的函数关系式； （2）根据与之间的函数关系式作出的函数图象即可； （3）根据图象即可推断出哪个快递代办点更优惠． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，； 当时，． ∴； 【小问2详解】 解：绘制的函数图象如图所示； 【小问3详解】 解：由图知：时，，甲乙两家一样， 则时，，即甲快递代办点优惠； 时，，即乙快递代办点优惠， ∵， ∴邮寄一个的包裹，选择乙快递代办点更优惠． 20. 如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，，进而推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据勾股定理和三角形的中线性质求出，，进而求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）； （2）如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，． 判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； 如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由： （3）如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）④ （2） ①四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是“神奇四边形”． ②四边形是“神奇四边形”，理由如下： ∵点M，N，P，Q分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，且， ∴四边形是“神奇四边形”． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可； （2）①根据正方形的性质可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证； ②根据三角形中位线定理可得，，，，从而证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得，由①可得，，可得，证得四边形是正方形，再根据正方形的性质即可得证； （3）延长交于点S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理列方程求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形是“神奇四边形”， 故答案为：④． 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：延长交于点S， 由折叠的性质得，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查新定义、折叠的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春八中2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，从电线杆离地面的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍长6米，点到点的距离（ ） A. 2.5米 B. 3米 C. 3.5米 D. 4米 4. 水中涟漪（圆形水波）从里到外不断扩大，记圆的半径为，圆的周长为，则下列说法不正确的是（ ） A. 圆的周长是圆的半径的函数 B. 是变量 C. 圆的周长和圆的半径是变量 D. 关于的解析式是 5. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角形的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图②，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数中，自变量的取值范围是_____． 8. 如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 9. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 10. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 11. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 12. 如图，在矩形中，，，点从点A向点以每秒的速度运动，同时点以每秒的速度从点出发，在，两点之间做往返运动，点到达点时，，两点同时停止运动，这段时间内，当运动时间为______s时，以，，，四点为顶点的四边形是矩形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 14. 现有一块长方形木板，某木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，． （1）木板中截出的正方形木板的边长为_____（结果保留根号）； （2）求木板中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）． 15. 为落实劳动教育要求，宜春八中开辟了劳动实践基地，现将一块四边形绿地规划为班级责任菜地，已知，，，，的面积是． （1）求的度数； （2）求这块四边形绿地的面积． 16. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； （2）在图2中，若，请作出的平分线． 17. 如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 19. 某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？ 【设计实践任务】根据“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 项目主题：选择更优惠的快递公司 素材1：甲、乙两个快递代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重3元． 素材2：快递代办点所寄物品的快递费用（元）与物品重量之间存在函数关系，关系式为：，？ 其中，的函数图象如图所示． 问题解决： （1）直接写出与之间的函数关系式． （2）绘制图象在图中画出的函数图象． （3）解决问题若该小组某成员需要邮寄一个的包裹，根据图象推断哪个快递代办点更优惠． 20. 如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求菱形的面积． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）； （2）如图， 在正方形中， E为上一点， 连接， 过点B作于点H， 交于点G， 连，． 判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由； 如图2， 点M，N，P，Q分别是，，，的中点． 判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由： （3）如图3， 点F，R分别在正方形的边，上， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $