精品解析：上海市杨思高级中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试卷

上海市杨思高级中学2025学年第二学期期中质量检测 高二数学试卷 满分100分，考试时间90分钟 一、填空题（本大题满分36分，共12题，每题3分） 1. 直线的一个法向量为__________. 【答案】（答案不唯一，） 【解析】 【分析】根据直线斜率，先写出一个方向向量，进而根据向量垂直的坐标关系求出它的一个法向量. 【详解】直线的斜率， 所以该直线的一个方向向量为，其法向量可以为. 故答案为：. 2. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 3. 点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆上的点的横坐标取值范围为， 故答案为：. 4. 圆的圆心坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆心坐标. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心坐标为. 故答案为：. 5. 双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】解析式已知，可表达a、b，焦点在x轴，渐近线方程，代入数值即可. 【详解】根据题意，双曲线的渐近线方程为. 6. 圆的过点的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解. 【详解】圆心，因为，所以在圆上， 则直线与切线垂直，, 所以切线的斜率为， 由点斜式整理得， 故答案为: . 7. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 8. 直线：与椭圆：交于，两点，则弦长___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理确定根与系数关系，再利用弦长公式求得弦长. 【详解】由直线：与椭圆：交于，两点 设， 得 弦长. 故答案为： 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 9. 已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程． 【详解】由椭圆方程，可得焦点为 设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则 故，所以， 所以双曲线的标准方程为： 故答案为： 10. 已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答. 【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A作于点N，交抛物线于M，连MF，如图， 在抛物线上取点，过作于，连接，有， 则有，当且仅当点与M重合时取等号， 因此，此时点M的纵坐标为2，则其横坐标， 所以M点的横坐标为. 故答案为： 11. 若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由斜率公式结合双曲线方程即可求解. 【详解】由题意设， 当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，， 则. 故答案为：. 12. 定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果. 【详解】解：如图，， 要使最小，则最大，即需最小. 设，则， ∴当，即时，，， 此时或，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点. 二、选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分） 13. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 14. 已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆相交圆心距验证各选项即可. 【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足， 故选：C 15. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值. 【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，， 如图，，，则，故， 将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故. 故选：D 三、解答题（本大题满分52分） 17. 已知两条直线 和 （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【小问1详解】 若，则，解得：. 【小问2详解】 若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 18. 已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 联立，解得， 故半径为， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得，即，解得， 故直线l的方程为，即. 19. 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. （1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； （2）为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 【答案】（1） （2）车辆的限制高度为3.8米． 【解析】 【分析】（1）设出抛物线的方程，确定其上的一个点坐标，代入求得p，即可得答案； （2）由题意在抛物线上取点，代入，解得，设出车辆的高，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为． 【小问2详解】 依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米． 20. 已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. （1）求的周长； （2）若，求点的坐标； （3）求动点到点距离的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） （3）最大值为​​​，最小值为 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解； （2）设，由向量垂直确定轨迹方程，再联立椭圆方程即可求解； （3）设，结合两点间距离公式和二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 椭圆，得，，​， 上顶点，焦点， ， 根据椭圆的定义：，焦距， 周长； 【小问2详解】 设，由垂直性质得，  ， ， 点积展开得： ，  又在椭圆上，满足， 代入上式得： ，得， 回代得​，即， 故的坐标为； 【小问3详解】 设， ，则， 距离平方为： ， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 最大值在对称轴处取得：即时，，得， 最小值在端点处取得：即时， ，得 故动点到点距离的最大值为​​​，最小值为. 21. 设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． （1）若，求的值； （2）设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； （3）过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 【答案】（1）2 （2） （3），离心率的取值范围 【解析】 【分析】（1）由点在圆和双曲线上代入可解； （2）由双曲线的性质和在中由余弦定理可得； （3）由与的渐近线平行结合点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离得到与相切，然后由点坐标为方程组的实数解解出，再联立与相切和圆的方程解出点坐标，令可得的范围；由离心率的齐次式计算可得. 【小问1详解】 将分别代入与可得，解得，因为，所以； 【小问2详解】 由题设，． 、的坐标分别为、，即为的两个焦点． 因为，所以点只能在上． 由双曲线的定义，可得，故． 在中，， 故； 【小问3详解】 由题设，直线的方程为，与的渐近线平行，故与有且仅有一个公共点． 由圆的圆心到直线的距离， 得与相切，即与有且仅有一个公共点． 由题意，与及各有一个公共点，依次记为、，且点的横坐标大于． 由点坐标为方程组的实数解，解得 由与相切，得，直线的方程为， 代入圆的方程，解得点的坐标为． 于是，由，即解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨思高级中学2025学年第二学期期中质量检测 高二数学试卷 满分100分，考试时间90分钟 一、填空题（本大题满分36分，共12题，每题3分） 1. 直线的一个法向量为__________. 2. 抛物线的准线方程为______． 3. 点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 4. 圆的圆心坐标是________． 5. 双曲线的渐近线方程为______. 6. 圆的过点的切线方程为___________. 7. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 8. 直线：与椭圆：交于，两点，则弦长___________. 9. 已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为________． 10. 已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为______. 11. 若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则______． 12. 定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________. 二、选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分） 13. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 14. 已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 15. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分52分） 17. 已知两条直线 和 （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 18. 已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. （1）求圆C的标准方程； （2）直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 19. 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线 及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. （1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线 所在抛物线的方程； （2）为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至米） 20. 已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. （1）求的周长； （2）若，求点的坐标； （3）求动点到点距离的最大值和最小值. 21. 设．如图，在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成． （1）若，求的值； （2）设，、分别为与轴的左、右两个交点．第一象限内的点也在上，且，求的大小； （3）过点作斜率为的直线．若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $