上海市杨思高级中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试卷

**基本信息** 上海市杨思高级中学高二数学期中卷，聚焦解析几何，通过基础填空（如直线法向量）、情境解答（如隧道抛物线应用）及创新定义题（如张角问题），分层考查抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/36|直线法向量、抛物线准线、椭圆范围等|基础巩固，覆盖解析几何核心概念| |选择题|4/12|倾斜角、两圆位置关系、阿波罗尼奥斯圆锥曲线|结合数学史，考查空间观念| |解答题|5/52|隧道抛物线方程、椭圆周长与距离最值、双曲线与圆综合|实际应用与创新探究，如第19题建模、第21题跨曲线综合|

上海市杨思高级中学2025学年第二学期期中质量检测 高二数学试卷 满分100分，考试时间90分钟 一、填空题（本大题满分36分，共12题，每题3分） 1. 直线的一个法向量为__________. 1. 抛物线的准线方程为__________. 1. 点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是__________. 1. 圆的圆心坐标是__________. 1. 双曲线的渐近线方程为__________. 1. 已知圆，则过点的圆的切线方程为__________. 1. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________. 1. 直线：与椭圆：交于，两点，则弦长__________. 1. 已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为__________. 1. 已知抛物线的焦点是，点，若抛物线上存在一点使得最小，则点的横坐标为__________. 1. 若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，是该双曲线上任意一点．当直线的斜率都存在时，记为，，则__________. 1. 定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角. 已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为__________. 二、选择题（本大题满分12分，共4题，每题3分） 1. 直线的倾斜角为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（　　） A. 0　　B. 4　　C. 8　　D. 12 1. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点的轨迹为（　　） A. 直线　　B. 两条射线　　C. 椭圆　　D. 双曲线 1. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示，用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 三、解答题（本大题满分52分） 17.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分） 已知两条直线和 （1） 若，求实数的值； （2） 若，求实数的值. 18.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分） 已知圆的圆心为，若圆经过直线：，：的交点. （1） 求圆的标准方程； （2） 直线：与圆交于M，N两点，且，求直线的方程. 19.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分） 某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图，单位：m. （1） 以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程； （2） 为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3米的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？ 20.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分） 已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. （1） 求的周长； （2） 若，求点的坐标； （3） 求动点到点距离的最大值和最小值. 21.（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分） 设.在平面直角坐标系中，是双曲线和圆在第一象限内的交点，曲线由中满足的部分和中满足的部分构成. （1） 若，求的值； （2） 设，、分别为与轴的左、右两个交点，第一象限内的点也在上，且，求的大小； （3） 过点作斜率为的直线，若与恰有两个不同的公共点，求的取值范围以及双曲线的离心率的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $