精品解析：福建省龙岩市长汀县2025-2026学年第二学期期中质量监测九年级数学试题

2025–2026年第二学期期中质量监测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣2） B. （2，2） C. （﹣2，2） D. （﹣2，﹣2） 5. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 从只有红球的袋子中摸出白球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 6. 如图，在平面直角坐标系中，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，，在上，垂直平分，交于点．若，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：_____． 12. 已知一组数据，，，，的众数为3，则平均数为______． 13. 当x________时，分式有意义． 14. 定义：若，则称与互为平衡数，若与互为平衡数，则代数式______ ． 15. 如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 16. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 2026年央视春晚推出了三个极具科技感的热门节目：武术《武》、歌曲《智造未来》、歌咏创意秀《贺花神》． （1）若小明从三个节目中随机选择一个节目回看，恰好是武术《武》的概率是_____； （2）若小丽从三个节目中随机选择两个节目回看，请用列表法或画树状图的方法，求她选择《智造未来》和《贺花神》的概率． 20. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 21. 如图，在中，为边上一点． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 22. 清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到底部处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得． 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 23. 综合与实践 代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍． 【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据： 当时，； 当时，； 当时，； …… 【推理证明】小明做了如下证明： 设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍． （1）【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明． （2）【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除． 24. 如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）______； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 25. 如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，若，，当的值最小时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026年第二学期期中质量监测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合的图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，其中， 将，代入，得． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，故选项不合题意； B．，计算正确，故选项符合题意； C．和不是同类项不能合并，计算错误，故选项不合题意； D．，计算错误，故选项不合题意； 故选：B． 4. 抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣2） B. （2，2） C. （﹣2，2） D. （﹣2，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标． 【详解】∵抛物线为y=（x+2）2﹣2， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键． 5. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过路口，恰好遇到绿灯 B. 从只有红球的袋子中摸出白球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，需根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义判断选项，不可能事件是指一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：A．经过路口恰好遇到绿灯是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； B．袋子只有红球，一定无法摸出白球，该事件一定不发生，属于不可能事件，符合要求； C．任意圆都是轴对称图形，该事件一定发生，属于必然事件，不符合要求； D．抛硬币落地后正面朝上是可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点的横纵坐标乘以或得到其对应点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，将缩小， 而， ∴点的对应点的坐标是或． 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再判断选项中不满足范围的值即可．用到一元二次方程有实根时判别式非负的性质． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 方程中，，，代入得：， 整理得， 解得， ∵四个选项中只有，不满足取值范围． ∴k的值不能为3． 8. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在和中，根据正弦的定义求解，根据余角的性质可得出，然后根据同角的正弦相等判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选项D符合题意． 9. 如图，点，，在上，垂直平分，交于点．若，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理可得、、，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图， 垂直平分， 、、， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 即， 解得， 的半径为． 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提公因式法：观察原式，找到公因式，提出即可得出答案． 【详解】， 故答案为：a（a+2）． 【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用． 12. 已知一组数据，，，，的众数为3，则平均数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了众数和平均数．根据众数和平均数的定义即可求出． 【详解】解：∵一组数据，，，，的众数为3， ∴， ∴这组数的平均数是：， 故这组数的平均数为：2， 故答案为：2． 13. 当x________时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件为2−x≠0，即可求得x的范围． 【详解】解：根据题意得：2−x≠0，，解得：x≠2， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的意义，对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值范围即可． 14. 定义：若，则称与互为平衡数，若与互为平衡数，则代数式______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，新定义问题以及代数式求值，解答本题的关键是明确整式加减的法则．根据题意，与互为平衡数，得，得到，即可求出答案． 【详解】解：与互为平衡数， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 【答案】##25度 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用解二元一次方程组-代入消元法进行计算即可. 【详解】 解：代入，得， 解得 代入，得 原方程的解是 【点睛】此题考查解二元一次方程组-代入消元法，解题关键在于掌握运算法则. 19. 2026年央视春晚推出了三个极具科技感的热门节目：武术《武》、歌曲《智造未来》、歌咏创意秀《贺花神》． （1）若小明从三个节目中随机选择一个节目回看，恰好是武术《武》的概率是_____； （2）若小丽从三个节目中随机选择两个节目回看，请用列表法或画树状图的方法，求她选择《智造未来》和《贺花神》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小明从三个节目中随机选择一个节目回看，恰好是武术《武》的概率是； 【小问2详解】 解：记三个节目《武》、《智造未来》、《贺花神》分别为A，B，C， 法一：列表如下： A B C A B C 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中选择《智造未来》、《贺花神》的结果有2种， 小丽选择《智造未来》、《贺花神》的概率为． 法二：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中选择《智造未来》、《贺花神》的结果有2种， 小丽选择《智造未来》、《贺花神》的概率为． 20. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 【答案】 ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴ 【解析】 【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证. 【详解】略 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 21. 如图，在中，为边上一点． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求； ； （2） 【解析】 【分析】（1）作即可； （2）由平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， 解得：， ． 22. 清溪中学科技社团选择一水槽进行光的折射实验，下面是具体的操作步骤． 【实验操作】 第一步：将长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处射入到底部处，入射光线与水槽边的夹角为． 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，所有点都在同一平面内，测得． 【数据应用】 （1）求折射角的度数； （2）求之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，则，再根据求解即可． （2）根据是的中点，得出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ． 【小问2详解】 解：是的中点， ， ∵， ， ∵， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ． 答：之间的距离约为． 23. 综合与实践 代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍． 【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据： 当时，； 当时，； 当时，； …… 【推理证明】小明做了如下证明： 设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍． （1）【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明． （2）【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除． 【答案】（1） 解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可） 推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则， ， 两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍． （2） 证明：， ． 又为整数， 能被4整除． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，因式分解，二次根式的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）举例按照小红猜想验证即可，设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，则，再仿照小明的证明思路求证即可； （2）先表示出，，再代入，根据二次根式的性质化简证明即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 24. 如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． （1）______； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）3 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 25. 如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，若，，当的值最小时，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ； （2） 证明：如图，作于点，交于点, ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质易证得，结合，从而得出结论； （2）作于点，交于点，易证得，进而证得，再证得，进而得到，最后证得，进而得到，从而得出结论； （3）根据题意易得到、B、C、D四点共圆，则当最长时，最小，此时为四边形外接圆的直径，根据列方程为：，设，，则，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：由（1）得：， ，， 、B、C、D四点共圆， ，， ， 当最长时，最小， 此时为四边形外接圆的直径， ， ， 即， ，， ， 又， 设，， 则， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $