小升初应用题专练：立体图形（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

**基本信息** 聚焦立体图形体积与表面积计算，通过18道题构建“观察-转化-建模”三阶解题体系，融合空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积计算|5题（1/3/4/16/17）|三视图计数法、排水法、等积变形|从基本体积公式到不规则体积转化，渗透“不变量”思想| |表面积计算|6题（2/5/10/11/12/13）|无盖表面积、切割增面法、组合体表面积|从完整表面积到实际场景（粉刷/烟囱），强化空间切割想象| |综合应用|7题（6/7/8/9/14/15/18）|图表分析、跨立体图形转化|整合体积与表面积，结合生活情境（测量土豆/蓄水池），发展模型意识与推理能力|

小升初应用题专练：立体图形-2025-2026学年数学六年级下册人教版 1．用几个体积为1立方厘米的小正方体搭了一个立体图形，下面是从不同方向看该立体图形时看到的图形。这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 2．一间教室长8米，宽6米、高4米，门窗和黑板的面积一共是20平方米，要粉刷这间教室的四周和房顶，粉刷的面积是多少平方米？ 3．把一块长12米的长方体木料锯成完全相同的两个小长方体（如图所示），表面积增加了0.8平方米，这块木料原来的体积是多少立方米？ 4．将一个体积为120立方厘米的石块完全浸没在装有水的长方体容器中，长方体容器的底面积为30平方厘米，水面高度为10厘米，把石块捞出来后，水面高多少厘米？ 5．做一个长8分米、宽4分米、高2.8分米的无盖鱼缸， 用角钢做它的框架，至少需要角钢多少分米？至少需要玻璃多少平方分米？最多可盛水多少升？ 6．华华想测量一个土豆的体积，他找来了一个装有水的容器，接着把土豆放进水里（完全浸没），在实验过程中他测量了一些数据。 (1)要求“这个土豆的体积”需要的数据是( )。（填序号） (2)我是这样计算土豆的体积的： 7．德化县地处福建省中部，是中国陶瓷文化的发祥地之一。每次做完一件陶瓷作品，都会剩余一些陶土，为了避免陶土浪费，聪聪把剩下的陶土做成大小一样的陶粒。现在有一个长7厘米、宽5厘米、高10厘米的长方体容器，容器里水深8厘米，聪聪把69个大小一样的陶粒放入这个容器内，陶粒全部浸入水中且水溢出26.6毫升。每个陶粒的体积是多少？ 8．如果把一个高18厘米的圆柱形木料沿着两条互相垂直的直径切成完全相同的四块，它的表面积将增加720平方厘米（如图）。如果把这个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，应削去多少立方厘米木料？ 9．工人叔叔要建造一个圆柱形蓄水池，从里面量得底面直径是2米，深是4米。在蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥20千克，一共需要水泥多少千克？ 10．把一个圆柱沿底面直径切成形状、大小完全相同的两部分，切面是一个长8厘米、宽6厘米的长方形（如图）。原来这个圆柱的表面积是多少？ 11．一节圆柱形铁皮烟囱长2m，管口是直径为20cm的圆形，制作这个烟囱至少需要多少平方米铁皮？ 12．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。下图是一个棱长为3分米的正方体木块，李叔叔准备分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1分米的小正方体，做成一个连接构件。这个连接构件的表面积是多少平方分米？ 13．“二月二日，祀土地神，吃撑腰糕。”崇明有吃撑腰糕的习俗，下图是崇明的李师傅现场做的一块正方体的撑腰糕，将其竖切1刀分成2个相同的长方体，再横切2刀分成6个相同的小长方体。切开后6个小长方体的表面积总和是多少？ 14．左下图是一个宽5分米的长方体容器，被一块垂直于底面的薄铁皮（不计厚度）分割成A、B两部分。现以每分钟20升的均匀流量向A部分注水。右下图记录了从注水开始直到容器装满，A部分水面高度的变化情况。 (1) 隔板的高度是( )分米。 (2)整个长方体容器的长是多少分米？ (3)容器的A部分与B部分的底面积之比是( )。 15．下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14） (1)在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？ (2)如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？ 16．一个容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，且圆柱和圆锥的底面直径相等，如下图。现在容器中圆柱部分盛有6厘米深的水，那么这个容器最多还能盛多少毫升水？ 17．一个密封的长方体水箱，从里面量，长90cm，宽30cm，高30cm。当水箱如图①放置时，水深20cm，当水箱如图②放置时，水深多少厘米？ 18．一个装满水的圆锥形容器，底面半径为4厘米，高为30厘米。将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别为10厘米、6厘米、15厘米。（π取3） （1）这个长方体水槽中水的深度是多少厘米？ （2）如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，圆柱形铁块A的高度是多少厘米？ （3）在（2）的条件下，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米？若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初应用题专练：立体图形-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 1．5立方厘米 【分析】根据从上面看到的图形看作，这个立体图形的下层有4个小正方体，从前面和右面看到的图形可知，这个立体图形有2层，上层1个小正方体，由此可知，这个立体图形一共有1＋4＝5个小正方体。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出1个小正方体的体积，再乘正方体的个数，即可解答。 【详解】1＋4＝5（个） 1×1×1×5 ＝1×1×5 ＝1×5 ＝5（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是5立方厘米。 2．140平方米 【分析】根据题意，需要粉刷的部分包括教室的房顶和四周墙壁，共5个面，地面不需要粉刷。因此，先求出长方体这5个面的表面积之和，即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，再减去门窗和黑板不需要粉刷的面积，即可求实际粉刷的面积。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2－20 ＝48＋（32＋24）×2－20 ＝48＋56×2－20 ＝48＋112－20 ＝140（平方米） 答：粉刷的面积是140平方米。 3．4.8立方米 【分析】把长方体木料锯成完全相同的两个小长方体，增加的表面积等于2个横截面的面积，用增加的表面积除以2求出横截面的面积，再根据长方体的体积＝横截面的面积×原长方体木料的长解答。 【详解】0.8÷2×12 ＝0.4×12 ＝4.8（立方米） 答：这块木料原来的体积是4.8立方米。 4．6厘米 【分析】石块完全浸没在水中时，石块的体积等于它排开水的体积。当把石块捞出后，水面会下降，下降部分水的体积等于石块的体积。据此先利用长方体体积公式的变式“高＝体积÷底面积”，求出水面下降的高度，再用原来的水面高度减去下降的高度，即可求出现在的水面高度。 【详解】（厘米） （厘米） 答：水面高6厘米。 5．59.2分米；99.2平方分米；89.6升 【分析】用角钢做它的框架，至少需要角钢多少分米，就是求长方体鱼缸的棱长总和，求至少需要玻璃多少平方分米，就是求无盖长方体鱼缸的表面积，求最多可盛水多少升，就是求长方体鱼缸的容积，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，无盖长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）× 2，长方体的容积＝长×高×宽，把数值代入公式解答，最后一问注意把立方分米转换成升。 【详解】（8＋4＋2.8）×4 ＝14.8×4 ＝59.2（分米） （8×2.8＋4×2.8）×2＋8×4 （22.4＋11.2）×2＋8×4 ＝33.6×2＋32 ＝67.2＋32 ＝99.2（平方分米） 8×4×2.8 ＝32×2.8 ＝89.6（立方分米） 89.6立方分米＝89.6升 答：至少需要角钢59.2分米，至少需要玻璃99.2平方分米，最多可盛水89.6升。 6．(1)①③④ (2)432立方厘米 【分析】把土豆完全浸没在水中且从图中可知水没有溢出时，此时土豆的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的底面积等于长方体容器的底面积，上升部分水的高度＝放入土豆后水面高度－放入土豆前的水面高度，且长×宽＝长方体容器的底面积，所以要求这个土豆的体积需要的数据是：容器里面的长、宽，放入土豆前的水面高度和放入土豆后的水面高度，最后再根据：长×宽×（放入土豆后水面高度－放入土豆前的水面高度）＝土豆的体积，计算即可。 【详解】（1）要求“这个土豆的体积”需要的数据是容器里面的长、宽，放入土豆前的水面高度和放入土豆后的水面高度，即①③④。 （2）18×12×（12－10） ＝18×12×2 ＝216×2 ＝432（立方厘米） 答：这个土豆的体积是432立方厘米。 7．1.4立方厘米 【分析】根据题意，陶粒全部浸入水中且水溢出，说明69个陶粒的总体积等于容器内水面上方空余部分的体积与溢出水的体积之和。先根据长方体的体积=长×宽×高，求出容器内空余部分的体积，加上溢出水的体积得到陶粒总体积，最后除以陶粒个数即可求出每个陶粒的体积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 【详解】26.6毫升＝26.6立方厘米 容器内空余部分的体积： 7×5×（10－8） ＝7×5×2 ＝70（立方厘米） 69个陶粒的总体积：70＋26.6＝96.6（立方厘米） 每个陶粒的体积：96.6÷69＝1.4（立方厘米） 答：每个陶粒的体积是1.4立方厘米。 8．942立方厘米 【分析】增加了2×2个宽是底面直径、长是圆柱高的长方形的面；每个切面的面积＝增加的表面积÷增加的面数；圆柱的底面直径＝每个切面的面积÷圆柱的高；底面半径＝；圆柱的体积＝；最大的圆锥体积＝圆柱的体积×；削去的木料＝圆柱的体积－圆锥的体积。 【详解】 （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：应削去942立方厘米木料。 9． 565.2千克 【分析】蓄水池抹水泥的部分包括一个底面和侧面，不含上面。先根据圆柱侧面积公式和底面积公式求出抹水泥的总面积，再乘每平方米用水泥的质量求出一共需要水泥的质量。 【详解】3.14×2×4＋3.14×（2÷2）2 ＝3.14×2×4＋3.14×12 ＝25.12＋3.14×1 ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 28.26×20＝565.2（千克） 答：一共需要水泥565.2千克。 10．207.24平方厘米 【分析】圆柱沿底面直径切开，得到的切面长方形的一组邻边分别对应圆柱的底面直径和高。先根据切面的长和宽确定圆柱的底面直径和高，再依据圆柱表面积公式计算，圆柱的表面积＝2个底面积＋侧面积，其中底面积＝π×半径2，侧面积＝π×底面直径×高，代入对应数值即可求出圆柱的表面积。 【详解】圆柱的底面直径：6厘米 圆柱的高：8厘米 底面半径：6÷2＝3（厘米） 两个底面积之和： 3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（平方厘米） 侧面积： 3.14×6×8 ＝18.84×8 ＝150.72（平方厘米） 表面积：56.52＋150.72＝207.24（平方厘米） 答：原来这个圆柱的表面积是207.24平方厘米。 11． 1.256 平方米 【分析】烟囱是通风管道，没有上下两个底面，因此制作烟囱所需的铁皮面积即为圆柱的侧面积。根据圆柱侧面积公式“侧面积＝底面周长×高”进行计算。题干中给出的直径单位是厘米，长度单位是米，结果要求是平方米，需要先将直径的单位换算成米，再代入公式计算。 【详解】20cm＝0.2m 3.14×0.2×2 ＝0.628×2 ＝1.256（平方米） 答：制作这个烟囱至少需要1.256平方米铁皮。 12．78平方分米 【分析】正方体木块的棱长是3分米，挖去小正方体的棱长是1分米，1＋1＝2（分米），因为2分米＜3分米，所以正方体木块没有挖穿，每挖去一个小正方体就增加小正方体四个侧面的面积，正方体一共有6个面，一共增加（4×6）个小正方形的面积，先根据“”求出正方体木块的表面积，再加上（4×6）个小正方形的面积。 【详解】1×1×4×6＝24（平方分米） 3×3×6＋24 ＝54＋24 ＝78（平方分米） 答：这个连接构件的表面积是78平方分米。 13．432平方厘米 【分析】由题意可知，将大正方体竖切1刀分成2个相同的长方体，此时大正方体的表面积增加了2个切面的面积；如果大正方体再横切2刀，此时的表面积又增加了4个切面的面积，由此可知，切开后6个小长方体的表面积总和比原来大正方体的表面积增加了6个切面的面积，先根据“”求出大正方体的表面积，再加上6个切面的面积。 【详解】（1＋2）×2 ＝3×2 ＝6（个） 6×6×6＋6×6×6 ＝216＋216 ＝432（平方厘米） 答：切开后6个小长方体的表面积总和是432平方厘米。 14．(1)3 (2)12分米 (3)2∶1 【分析】（1）观察折线统计图，折线往上表示A部分水面逐渐升高，平缓无变化这一段，表示A部分已经注满，水开始越过隔板流往B部分，平缓无变化对应的高度就是隔板高度。 （2）观察折线统计图，可以确定注水时间30分钟和容器高度10分米，每分钟注水量×注水时间＝容器容积，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式计算即可。 （3）观察折线统计图可知，A部分注水时间为6分钟，B部分注水时间为3分钟，每分钟注水量×注水时间＝容器容积，分别计算出两部分容积，将升换算为立方分米（1升＝1立方分米）；长方体体积（容积）＝底面积×高，分别用两部分的容积除以隔板的高求出底面积；写出对应的底面积之比，再根据比的基本性质，将其化简为最简整数比即可。 【详解】（1）隔板的高度是3分米。 （2）20×30＝600（升） 600升＝600立方分米 600÷5÷10 ＝120÷10 ＝12（分米） 答：整个长方体容器的长度是12分米。 （3）20×6＝120（升） 120升＝120立方分米 20×3＝60（升） 60升＝60立方分米 （120÷3）∶（60÷3）＝40∶20＝（40÷20）∶（20÷20）＝2∶1。 所以，容器的A部分与B部分的底面积之比是2∶1。 15．(1)12.56升 (2)分米 【分析】（1）因为铁柱与长方体一样高，所以，放入后溢出的水的体积就相当于圆柱的体积；最后再把体积化为容积即可；可列式为：3.14×（2÷2）2×4。 （2）把这个铁柱锻造成一个实心圆锥，使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。意思是以长方体的宽为直径，锻造一个实心圆锥，求圆锥的高；根据圆锥的体积公进行解答。 【详解】（1）3.14×（2÷2）2×4 ＝3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝3.14×4 ＝12.56（立方分米） 12.56立方分米＝12.56升 答：会溢出12.56升水。 （2）12.56×3÷[3.14×（6÷2）2] ＝12.56×3÷[3.14×32] ＝37.68÷[3.14×9] （分米） 答：这个圆锥的高是分米。 16． 392.5毫升 【分析】先用直径除以2，求出底面半径；接着根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14）求出底面积；再用圆柱总高9厘米减去已装水深6厘米，求出圆柱剩余高度为3厘米；然后用底面积乘剩余高度，求出圆柱部分还能装的水量；再用底面积乘圆锥的高6厘米，再乘，求出圆锥部分的容积；最后把两部分体积相加，换算成毫升，就是容器还能盛的水量。 【详解】半径：10÷2＝5（厘米） 底面积：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆柱剩余部分的高度：9－6＝3（厘米） 圆柱剩余部分的容积：78.5×3＝235.5（立方厘米） 圆锥部分的容积：78.5×6× ＝471× ＝157（立方厘米） 总共还能盛水的体积：235.5＋157＝392.5（立方厘米） 392.5立方厘米＝392.5毫升 答：这个容器最多还能盛392.5毫升水。 17．60cm 【分析】首先根据图①中水箱的长、宽和水深，利用长方体体积公式求出水的体积，然后再根据图②中水箱的长和宽，求出此时的水深。 【详解】水的体积为： 水深： 答：当水箱如图②放置时，水深60cm。 【点睛】本题的重点在于理解不管怎么放置，水的体积是不变的。 18．（1）8厘米 （2）13厘米 （3）3.2厘米 【分析】（1）已知装满水的圆锥形容器的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 再将这些水全部倒入一个长方体水槽中，则水的体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此求出这个长方体水槽中水的深度。 （2）根据题意，放入圆柱形铁块A后，铁块仍有露出水面的部分；那么长方体水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去圆柱形铁块的底面积，根据长方体的底面积S＝ab，圆柱的底面积S＝πr2，代入数据计算，求出此时水槽内水的底面积；水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度，也就是铁块浸入水中的长度； 把圆柱形铁块的全长看作单位“1”，露出水面的部分占全长的，则铁块浸入水中的部分占全长的（1－），单位“1”未知，用铁块浸入水中的长度除以（1－），求出圆柱形铁块的全长。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分；仿照（2）的解法，此时水槽内水的底面积等于长方体的底面积减去2个圆柱形铁块的底面积，水的体积不变，根据公式h＝V÷S求出此时水槽内水的高度；再与圆柱形铁块的高度进行比较，得出两个铁块没有露出水面的部分，即是完全浸入。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出两个铁块的体积之和，再加上原来水的体积，即是两个铁块完全浸入水中的总体积；用总体积除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的高度，再减去（2）的水深，求出水面上升的高度。 【详解】（1）水的体积： ×3×42×30 ＝×3×16×30 ＝480（立方厘米） 水的深度： 480÷（10×6） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：这个长方体水槽中水的深度是8厘米。 （2）放入圆柱形铁块A后水的深度： 480÷（10×6－3×22） ＝480÷（10×6－3×4） ＝480÷（60－12） ＝480÷48 ＝10（厘米） 铁块A的高度： 10÷（1－） ＝10÷ ＝10× ＝13（厘米） 答：圆柱形铁块A的高度是13厘米。 （3）假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，此时水的深度为： 480÷（10×6－3×22×2） ＝480÷（10×6－3×4×2） ＝480÷（60－24） ＝480÷36 ＝（厘米） ＞13，两个铁块没有露出水面的部分。 两个铁块的体积： 3×22×13×2 ＝3×4×13×2 ＝312（立方厘米） 放入两个铁块后水槽内水的深度： （480＋312）÷（10×6） ＝792÷60 ＝13.2（厘米） 水面上升了： 13.2－10＝3.2（厘米） 答：此时两个铁块没有露出水面的部分。长方体水槽中的水面上升了3.2厘米。 【点睛】（1）本题考查圆锥、长方体的体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 （2）因为往长方体水槽内放入1个圆柱形铁块后，铁块有露出水面的部分；此时水的底面积不再是长方体水槽的底面积，而是水槽的底面积减去圆柱的底面积的差，因为水的体积不变，根据公式h＝V÷S即可求出此时水槽内水的深度，再根据分数除法的意义求出铁块的高度。 （3）先假设放入两个铁块后，铁块还能有露出水面的部分，仿照上一题的算法，求出此时水的深度，与圆柱形铁块的高度进行比较，确定铁块没有露出水面，即完全浸入。根据完全浸入时水的深度的求法，用原来水的体积加上2个铁块的体积，再除以长方体水槽的底面积，即可求出此时水的深度。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $